☉江蘇省鹽城市初級中學　陳冠軍

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例談?？季韼缀尉C合題的命制

☉江蘇省鹽城市初級中學陳冠軍

一、寫在前面

中考?？季硗l(fā)揮著考生參加中考前的熱身、適應(yīng)、評估的作用.本文呈現(xiàn)的是我在某次?？季砻}過程中對一道幾何綜合題命制的思考與體會，現(xiàn)成文如下，供分享和研討.

二、一道幾何綜合題的命制歷程

（一）考題原型

（一道八年級試題）如圖1，在正方形ABCD中，E是BC上一點，F(xiàn)是AE上一點，過點F作GH⊥AF，交直線AB 于G，交直線CD于H.

（1）求證：BG=CH-BE；

（2）如圖2，若F是AE延長線上一點，其余條件不變，試探究：BG、BE、CH之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖3，若K為CD邊上一點，AD=3，∠DAK=30°，M為AK的中點，過點M的直線分別交邊AD、BC于P、Q點，且PQ=AK，則AP的長為多少？

圖1

圖2

圖3

思路簡述：前兩問比較簡單，屬于常規(guī)題，第三問有一定的難度，筆者曾預設(shè)制作了如圖4所示的PPT，在八年級講評該題.

圖4

經(jīng)過圖4這樣的動畫漸次呈現(xiàn)思路啟發(fā)，并追問學生的理解之后，取得了較好的教學效果.從命題角度看，前兩問“相聚”在題干下是恰當?shù)?，而第三問與題干中的條件和信息無關(guān)，屬于獨立問題，沒有必要作為該題的（3），特別是第三問中的圖形并不需要給出，條件敘述得很清楚，圖形應(yīng)該由練習者自己構(gòu)造.這樣的解題教學、命題反思過程啟發(fā)筆者在接下來的?？碱}命制中生成幾何綜合題的初稿.

（二）幾何模考題命制歷程

第1稿：如圖5，點E為正方形ABCD的邊AD上一點，連接BE，∠AEB=60°.

（1）利用尺規(guī)作圖補全圖形.（要求：保留作圖痕跡，并簡述作圖步驟）

圖5

（2）取BE的中點M，過點M的直線交邊AB、CD于點P、Q.

①當PQ⊥BE時，求證：BP=2AP；

設(shè)計意圖：這道綜合題主要受到“原型問題”的第三問啟發(fā)，融入尺規(guī)作圖，讓學生作出點E，并繼續(xù)引導研究相關(guān)問題，后兩問之間緊密聯(lián)系，逆向設(shè)問，但又需要考慮分類討論，如圖6，需要考慮PQ、P′Q′兩種不同位置關(guān)系，相應(yīng)的△BPM就有兩種不同的解.

圖6

但考慮到作為全卷倒數(shù)第2題，最后一問的難度還偏低，不足以滿足“高層次”學生的區(qū)分作用，故打磨成第2稿.

第2稿：（限于篇幅，前面不變，只是將最后一問更改如下）

②小舟同學發(fā)現(xiàn)：當PQ=BE時，點Q、D、E、M在同一個圓上，請判斷“小舟的發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說明理由.

設(shè)計意圖：將問題解題視角向四點共圓拓展，追求較高的拓展和生長，但考慮到《課標（2011年版）》弱化了圓的學習與考查要求，故還是放棄四點共圓的拓展，打磨成第3稿.

第3稿：（限于篇幅，前面不變，只是將最后一問更改如下）

②當PQ=BE時，延長BE、CD交于N點，猜想NQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

設(shè)計意圖：通過延長BE、CD，增加解題層次，需要分類討論、猜想數(shù)量關(guān)系，并說明理由，應(yīng)該能達到較好的區(qū)分功能.但是命題組有老師認為題干的表述不太自然，于是我們重新表述題干后，定稿如下.

定稿：如圖5，四邊形ABCD為正方形.在邊AD上取一點E，連接BE，使∠AEB=60°.

（1）利用尺規(guī)作圖補全圖形.（要求：保留作圖痕跡，并簡述作圖步驟）

（2）取BE的中點M，過點M的直線交邊AB、CD于點P、Q.

①當PQ⊥BE時，求證：BP=2AP；

②當PQ=BE時，延長BE、CD交于N點，猜想NQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

接下來是整理參考答案與制訂評分標準：由于評分標準常常不為有些命題老師所重視，使得閱卷時造成評分隨意，不能準確體現(xiàn)試題的診斷、評估功能，故這一環(huán)節(jié)在命題過程中也是十分重要的，以下給出我們制定的簡要評分說明.

（1）如圖7，分別以點B、C為圓心，BC長為半徑作弧，交正方形內(nèi)部于點T，連接BT并延長交邊AD于點E……3分

圖7

★評分提醒：該題的作法眾多，估計學生會有n種成功作法，評卷老師注意結(jié)合考生的作圖語句敘述仔細辨認，慎重評分.命題意圖是引導學生重視古老的尺規(guī)作圖及其背后的理由，平面幾何的理性思維的價值也在于此，這也是《課程標準（2011年版）》上所倡導的.

（2）這里證明是常規(guī)思路，為節(jié)約篇幅不展示.

（3）需學生考慮兩種情形（如圖8、9），分析出NQ= 2MQ或NQ=MQ.

圖8

圖9

三、命題反饋與辯護

考試之后，我們收集了一些反饋意見，比如有人認為：覺得第一問的起點有些高，打著尺規(guī)作圖的幌子其實是個腦筋急轉(zhuǎn)彎，而且從最近幾年的中考看，雖然在考試范圍內(nèi)，但尺規(guī)作圖一直沒有怎么考過.很多學生說＂死在第一問＂上，于是就都空白了.

作為命題人，給出一些辯護：覺得到了第27題（全卷倒2的位置），“很多學生”應(yīng)該“有為有不為”，可能并不適合他們……如果智慧一點，懂得取舍，可能會搶到第二問的分，同時還會啟發(fā)他們做第一問、第三問的一半.臨近中考，應(yīng)試策略與機智往往區(qū)分了學生的能力.當然，如果是高利害的中考試卷，確實要適當降低起點.作為?？碱}，主要基于如下考慮.

第一，尺規(guī)作圖及作法在課標中明確要求，應(yīng)該值得教學重視，這是幾何教學的重要價值.另外就尺規(guī)作圖來說，基本作圖的適當變式、草圖分析等都盡顯智慧，且這是第27題，并不是第20題的位置，考生應(yīng)該有心理準備.

第二，對于第一問做不出來的考生，即將參加中考，仍不知道“跳步解答”（羅增儒語），這說明備考策略、應(yīng)試策略還有很多要做的事……

第三，如果懂得跳步解答，先做后面的設(shè)問，也許會反過來提醒自己第一問的作圖本質(zhì)，把智慧數(shù)學或數(shù)學中的智慧理解成腦筋急轉(zhuǎn)彎，只能說考生對問題缺少深入思考，沒有揭示或洞察問題的深層結(jié)構(gòu).

第四，本題幾個設(shè)問，命題技術(shù)上只是玩了一個“多元表征”理論.

四、寫在最后

寫文章、創(chuàng)作詩詞，最怕的是無厘頭的語句、段落，那么命題領(lǐng)域，這種現(xiàn)象廣泛存在……很多命題人以為只要把幾個小問湊在一個問題下就完事，其實拼湊取向、個人的旨趣，影響了數(shù)學的面貌，只會讓練習者討厭數(shù)學，問題很大……數(shù)學命題的專業(yè)隊伍建設(shè)之路漫漫.當然，上乘的命題藝術(shù)，一如繪畫、詩詞，前后看似毫無關(guān)聯(lián)，卻于留白處引人入勝，并會遇到知音、引發(fā)共鳴.

參考文獻：

1.羅增儒.數(shù)學解題學引論［M］.西安：陜西師范大學出版社，2008.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

3.劉東升.經(jīng)歷問題生成，深刻理解教材——人教八上“每日一題”的命題實踐與思考［J］.中學數(shù)學（下），2014（4）.

4.劉東升.以本為本：習題變式的視角與可能［J］.中小學數(shù)學（初中），2016（1）.Z