☉江蘇省如東縣實驗中學　謝桂芬

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一題一課：讓復習課走向簡約與關(guān)聯(lián)
——以一元二次方程章末復習課為例

☉江蘇省如東縣實驗中學謝桂芬

一、寫在前面

張奠宙教授曾對復習課研究提出一些指導意見，建議要加強章末復習課的研究.從近兩年《中學數(shù)學》（初中版）刊載文章來看，確實出現(xiàn)了不少優(yōu)秀的章末復習課例成果，展示出老師們對復習課型的最新思考和教學流程，筆者也受益其中.適逢學校近期一次教研活動，有機會執(zhí)教一元二次方程章末復習課，筆者也構(gòu)思了一節(jié)“一題一課”，得到觀摩老師的一致好評，本文記錄該課的教學設(shè)計與教后反思，與更多的同行分享與研討.

二、一元二次方程章末復習課例

（一）開課階段，情境引入

情境問題：用一根長為24m的繩子圍出一個長方形.

（1）當長是寬的2倍時，長和寬各是多少？

（2）當它的面積是32m2時，長和寬各是多少？

教學預設(shè)：（1）設(shè)寬為xm，長為2xm，2x+4x=24，6x= 24，解得x=4，于是2x=8，所以長是8m，寬是4m.

有學生會覺得，老師用這個例子想說明什么呢？這里是復習一元二次方程呀，怎么變成一元一次方程了呢？其實我們只要把問題稍作變式，到了第二問，一元二次方程就出來了！

（2）類似地可設(shè)長為xm，可得方程x（12-x）=32，這是一個什么方程呢？是一元二次方程嗎？

學生應該能確認這種方程的類型：一元二次方程.

但也有少數(shù)學生可能還沒有看“清楚”，這是因為還沒有把x（12-x）=32變形成一般形式：-x2+12x-32=0，還可進一步變形為：x2-12x+32=0.（注意追求二次項系數(shù)為正的，有利于后續(xù)運算或求解）這里需要再強調(diào)一下一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，其中a≠0）.

從一般形式中對常數(shù)a、b、c的限制來看，b、c是可以為任意實數(shù)的，比如上面得到的一元二次方程x2-12x+ 32=0，如果做些刪減，變成：x2=0，x2-12x=0，x2+32=0，它們還是一元二次方程嗎？（注意對照定義來判定）回答是肯定的.

（二）復習解法

針對上面得到的三個“簡化”后的方程：x2=0，x2-12x=0，x2+32=0，安排學生求解.

教學預設(shè)：對于前兩種方程、學生利用直接開方、因式分解，都可以順利求解，不是本課復習重點.而x2+32= 0，根據(jù)平方根的意義是不能求解的，也就是說這雖然是一元二次方程，但它卻沒有實數(shù)解！

（2）繼續(xù)復習，配方法解方程：x2-12x+32=0.

教學預設(shè)：將其配方成x2-12x+36=4，（x-6）2=4，x-6=±2，所以x-6=2或x-6=-2，即x1=8，x2=4.

（3）復習推導一元二次方程的求根公式.

教學預設(shè)：引導學生推導出一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：

教學預設(shè)：待學生推導出來之后，安排學生利用公式法解方程x2-12x+32=0！

明確提出規(guī)范表達的要求：

教學預設(shè)：需要提醒學生的是，運用公式法解方程，不宜跳步，要規(guī)范表達上述步驟，因為隨意跳步不但會增加算錯的風險，還是對規(guī)范表達的漠視，可不是一個好習慣呀！比如，提供一個錯誤解答讓學生參與辨析.

錯例辨析：解方程：x2-4x+1=0.

分析：這個學生喜歡跳步解答，因為“跳”，就出現(xiàn)了代入算錯的情形.

（三）根的判別式及應用

拓展問題：用一根長為24m的繩子圍成的長方形，面積能否等于40m2？

教學預設(shè)：根據(jù)前面的經(jīng)驗，學生可以列出方程：x（12-x）=40，并且變形為一般形式：x2-12x+40=0，運用配方或求根公式法都會發(fā)現(xiàn)該方程是無解的，從而發(fā)現(xiàn)面積不可能等于40m2.

繼續(xù)追問：用一根長為24m的繩子圍成的長方形，最大能圍成的面積是多少呢？

教學預設(shè)：引導學生將這個問題“數(shù)學化”：關(guān)于x的方程為x（12-x）=S，求S的最大值.

將其“一般化”：x2-12x+S=0.根據(jù)一元二次方程求根公式中根的判別式，Δ=b2-4ac=144-4S≥0時，方程有實數(shù)解，即S≤36，即S的最大值為36，也就是用一根長為24 m的繩子圍成的長方形，最大能圍成的面積是36m2.

（四）小結(jié)與檢測

（1）把上面提到的一些知識或方法用下圖總結(jié)出來，供學生復習與體會：

（2）由于課堂教學時間原因，這一章還有很多值得拓展復習的內(nèi)容，比如一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的應用問題等.

（3）限時檢測（一共6小題，每小題20分，滿分120分，限時10分鐘）

已知一元二次方程x2+bx+c=0.解答下列各題：

（1）當b=2，c=1時，直接寫出方程的兩個實數(shù)根；

（2）當b=4，c=3時，用配方法解方程；

（3）當b=5，c=4時，用求根公式法解方程；

（4）當b=6時，方程一定有實數(shù)根，求c的取值范圍；

（6）若點（b，c）在直線y=x-1上，試判斷方程解的情況，并說明理由.

三、教后反思

1.一題一課讓復習環(huán)節(jié)走向關(guān)聯(lián)

坦率地講，當下不少復習課仍然存在著以大量習題訓練講評代替復習課的教學設(shè)計，導致學生復習期間課上做題、課后做題，機械重復，特別是優(yōu)秀學生“空轉(zhuǎn)”現(xiàn)象嚴重.所以預設(shè)“一題一課”可以讓不同復習環(huán)節(jié)走向關(guān)聯(lián)，將不同的復習內(nèi)容放置在一個大的情境問題的背景之下，使學生理解由一個問題出發(fā)，以點帶面，復習整章內(nèi)容，而且使這一章的諸多內(nèi)容獲得了一個主線，讓學過的知識像葡萄一樣串成一條線.

2.一題一課讓復習流程平滑轉(zhuǎn)場

我們知道，優(yōu)秀文學、影視作品都努力經(jīng)營著轉(zhuǎn)場效果，使得前后片斷的轉(zhuǎn)接自然而然.然而，我們現(xiàn)在看到的很多數(shù)學課堂，多是講解新知后加一個例題，再來一個不同方向的例題，一組基本無關(guān)的練習，這樣的教學流程讓數(shù)學變得機械而無趣.所以我們構(gòu)思一題一課還有一個好處，就是讓不同的教學流程之間變得可以平滑轉(zhuǎn)場.比如，本文中在拓展思考時就是針對開課前的情境，很自然地思考圍成長方形的面積能否達到40m2，引出根的判別式的復習，并進一步思考圍成面積的最大值.

3.一題一課需要對話追問和訓練

當一題一課使得課堂環(huán)節(jié)變得簡約之后，就需要預設(shè)不同教學環(huán)節(jié)之中的對話與追問，通過對話拓展學生的思考，暴露學生的思維，使得學生理解得更全面、深刻，讓不同的人有不同的理解深度.同時也要加強訓練，比如引入錯題剖析，小結(jié)時及時檢測反饋，確保復習效果.

四、寫在最后

一題一課的實踐還很初步，在《中學數(shù)學》（初中版）上也散見少數(shù)課例體現(xiàn)了簡約、關(guān)聯(lián)的追求，期待有興趣的同行一起研究、豐富案例.

參考文獻：

1.章建躍.從數(shù)學整體觀看“同底數(shù)冪的乘法”的教學［J］.中國數(shù)學教育，2013（7/8）.

2.嚴莉.對一份“習題單”式導學案的商榷——以“有理數(shù)乘法（第1課時）”為例［J］.中學數(shù)學（下），2014（11）.

3.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數(shù)學通報，2013（6）.Z