☉江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)　李慧祥　范才鳳☉江蘇省興化市教育局教研室　陳德前

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問題驅(qū)動激活經(jīng)驗方式多元培養(yǎng)思維*
——蘇科版八年級上冊“平面直角坐標(biāo)系（1）”教學(xué)實錄與點評

☉江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)李慧祥范才鳳
☉江蘇省興化市教育局教研室陳德前

在2015年11月19日舉行的江蘇省青年初中數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課比賽與觀摩活動中，筆者設(shè)計執(zhí)教的蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第五章第二節(jié)“平面直角坐標(biāo)系（第1課時）”，就如何在課堂教學(xué)中利用問題驅(qū)動激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，變化教學(xué)方式培養(yǎng)學(xué)生的思維能力進行了有益的嘗試，取得了預(yù)期的效果，獲得省一等獎，給與會專家和老師留下了深刻的印象.以下是課堂實錄與點評思考，敬請指教.

一、實錄與點評

1.情境創(chuàng)設(shè)，激活經(jīng)驗

師：同學(xué)們，請看大屏幕（如圖1）.小麗想去音樂噴泉，你能描述音樂噴泉的位置嗎？

圖1

生1：北京西路北邊200m，中山北路西邊400m.

師：按照生1的描述，小麗能找到音樂噴泉嗎？

生眾：能.

師：如果按照下面的描述，小麗能找到音樂噴泉嗎？為什么？（屏幕呈現(xiàn)下列問題）

①北京西路北邊，中山北路西邊；②北京西路200m，中山北路400m；③北京西路北邊200m.

（思考交流后）生2：都不能，①缺少了距離，②缺少了方向，③僅有一個方向和距離.

師：不錯，生活經(jīng)驗告訴我們，在平面內(nèi)確定物體的位置需要兩個方向和兩個距離.

點評：從生活實際出發(fā)，通過對找出音樂噴泉位置的討論，激活學(xué)生已有的經(jīng)驗，學(xué)生就很容易理解確定音樂噴泉的位置要用兩個數(shù)來表示.

2.問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)

師：若把音樂噴泉看作點A，你會用上節(jié)課學(xué)過的知識，借助于數(shù)對來表示它嗎？

生3：可用數(shù)對（400，200）來表示點A.

生4：也可用數(shù)對（200，400）來表示點A.

生5：不行，一個點怎么可以用兩個不同的數(shù)對來表示呢？

師：是的，為了使表示方法唯一，可類比教室里的座位（如圖2），列在前，行在后，這樣點A只能用數(shù)對（400，200）來表示.這種有先后順序的兩個實數(shù)叫作一對有序?qū)崝?shù)或有序?qū)崝?shù)對.

師：如圖3，若把圖書館看作點B，又如何用數(shù)對表示它呢？

圖3

生6：（400，200）.

師：都用（400，200）來表示點A、B，怎么區(qū)分呢？

生7：向東400m用400表示，向西400m用-400表示.

師：你能用所學(xué)過的數(shù)學(xué)模型來描述這兩個量嗎？

生8：將北京路抽象為一條直線，規(guī)定向東為正方向，十字路口為原點，一個單位長度為100m，則可用數(shù)軸來描述，如圖4，此時由原點向西400m可用-4來表示，由原點向東400m可用4來表示.

圖4

師：好！我們利用數(shù)軸很好地刻畫了小麗在北京路上沿東西方向運動的距離，那能用這條數(shù)軸刻畫小麗在中山路上沿南北方向運動的距離嗎？

生9：不行，需要沿南北方向再建立一條數(shù)軸.

師：如圖5，要刻畫點A或點B的位置，僅僅用其中的一條數(shù)軸可以嗎？怎么辦？

圖5

生10：不行，需要同時用這兩條數(shù)軸.

師：那這兩條數(shù)軸有怎樣的特殊關(guān)系呢？

生11：公共原點、互相垂直.（教師板書）

師：在這個模型中，若把100m看作“1”，此時點A和點B怎么表示呢？

生12：點A為（-4，2），點B為（4，2）.

點評：設(shè)計問題串引導(dǎo)學(xué)生自主探究，先將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，借助已有的數(shù)學(xué)模型——數(shù)軸來描述直線上點的位置，進而引發(fā)學(xué)生思考：如何描述平面內(nèi)點的位置呢？再啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進行思考，進而聯(lián)想到通過構(gòu)建有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸，即可準(zhǔn)確、快速地描述出平面內(nèi)點的位置.這樣的教學(xué)過程由淺入深，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

3.活動探究，數(shù)學(xué)抽象

活動一：平面直角坐標(biāo)系的概念.

師：這個圖形就是平面直角坐標(biāo)系（板書）.你能由剛才歸納的特征給它下個定義嗎？

生13：具有公共原點且互相垂直的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.

師：對，可簡稱為直角坐標(biāo)系，請大家閱讀課本第120頁平面直角坐標(biāo)系的有關(guān)概念，然后在練習(xí)紙上畫一個平面直角坐標(biāo)系（教師巡視后找出學(xué)生中的典型錯誤進行展示糾錯）.

點評：讓學(xué)生嘗試畫平面直角坐標(biāo)系，及時糾錯，可加深對平面直角坐標(biāo)系的理解.

活動二：由點寫坐標(biāo).

師：有了平面直角坐標(biāo)系，點A就可用（-4，2）表示.那圖6中的點C怎樣表示呢？

圖6

生13：（-3，-2）

師：-3，-2是怎么確定的？

生14：過點C分別作x軸和y軸的垂線，垂足所表示的數(shù)分別是-3，-2.

師：對于點P，如何找出其對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對呢？

生15：過點P分別作x軸和y軸的垂線，垂足所對應(yīng)的數(shù)分別是a，b，則點P對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為（a，b）.

師：當(dāng)點P的位置發(fā)生變化時，a、b的值也發(fā)生變化.由此可見：在直角坐標(biāo)系中，任一點的位置都可以用一對有序?qū)崝?shù)來表示（板書：點的位置→有序?qū)崝?shù)對）.

活動三：由坐標(biāo)找點.

師：反之，已知有序?qū)崝?shù)對，你能確定點的位置嗎？例如（2，-3）對應(yīng)的點是M，請在你所畫的平面直角坐標(biāo)系中找出點M.畫好后小組內(nèi)交流，分享你的畫法，然后全班匯報.

生16：在x軸上找到表示2的點，過該點畫x軸的垂線；再在y軸上找到表示-3的點，過該點畫y軸的垂線；兩條垂線的交點就是點M.

師：如果x軸上的點所表示的數(shù)用a來表示，y軸上的點所表示的數(shù)用b來表示，你能確定點P的位置嗎？

生17：過x軸上表示數(shù)a的點畫x軸的垂線，過y軸上表示數(shù)b的點畫y軸的垂線，兩條垂線的交點就是點P.

師：（用幾何畫板演示）當(dāng)a變化時點P的位置在變化，當(dāng)b變化時點P的位置在變化，當(dāng)a、b都變化時點P的位置也變化.可見在平面直角坐標(biāo)系中，一對有序?qū)崝?shù)也可確定一個點的位置（板書：點的位置←有序?qū)崝?shù)對）.這樣的有序?qū)崝?shù)對叫作點的坐標(biāo).例如（a，b）就是點P的坐標(biāo)，通常點的坐標(biāo)與表示該點的字母寫在一起.a 是x軸上的點所表示的數(shù)，稱之為橫坐標(biāo)；b是y軸上的點所表示的數(shù)，稱之為縱坐標(biāo).橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后.

點評：從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生歸納出由點得到有序數(shù)對和由有序數(shù)對找點的方法，并通過幾何畫板的演示說明其唯一性，進而得出點的坐標(biāo)的概念，滿足學(xué)生的認(rèn)知需求.

4.知識應(yīng)用，拓展延伸

師：請大家用剛才所學(xué)的知識完成下面的問題.

（1）寫出圖7中點A、B、C的坐標(biāo)；

圖7

（2）任寫3個點D、E、F的坐標(biāo)，讓同桌在圖7中描出各點.

教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生完成后進行展示點評.

師：兩條坐標(biāo)軸將平面分成4個區(qū)域，要迅速地在這4個區(qū)域內(nèi)找點，就要先明確點在哪個區(qū)域，這種區(qū)域叫作象限.x軸的正半軸和y軸的正半軸圍成的象限稱作第一象限，按逆時針順序分別是第二象限、第三象限、第四象限.請大家思考兩個問題：（1）各象限內(nèi)點的坐標(biāo)符號有何特征？（2）坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)有何特征？

（學(xué)生獨立思考并在小組內(nèi)進行交流）.

師：哪位同學(xué)能和大家分享你們交流的結(jié)果？

生18：第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號都是（+，+）.

師：你能解釋一下嗎？

生19：因為過第一象限內(nèi)的點分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別在x軸和y軸的正半軸上.

師：其他象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號有何特征呢？

生20：第二象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號都是（-，+），第三象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號都是（-，-），第四象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號都是（+，-）.

師：點在x軸上呢？點在y軸上呢？如何用字母表示它們呢？

生21：x軸上的點的縱坐標(biāo)是0，y軸上的點的橫坐標(biāo)是0，可分別表示為（a，0）和（0，b）.

師：那坐標(biāo)軸屬于哪個象限呢？

生22：坐標(biāo)軸不屬于任何象限.

師：請大家運用各象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征完成下列問題.

（1）平面直角坐標(biāo)系中，點（2，-1）在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，位于第三象限的點是（）.

A.（0，-1）B.（1，-2）

C.（-1，-2）D.（-1，2）

（3）在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)是（a，b）.若ab＞0，則點P在第______象限；若ab＜0，則點P在第______象限；若ab=0，則點P在______.

點評：讓學(xué)生思考后分小組進行討論、交流，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新問題的意識.

5.回顧反思，滲透數(shù)學(xué)史

師：通過本課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識和方法？獲得了哪些活動經(jīng)驗？還有什么疑惑？

學(xué)生從知識、方法、經(jīng)驗和疑惑等方面發(fā)表自己的見解.

點評：通過小結(jié)，讓學(xué)生建構(gòu)對平面直角坐標(biāo)系的知識系統(tǒng)，總結(jié)學(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗，提出自己的疑惑，同時鍛煉學(xué)生的口頭表達能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)表自己見解的能力.

師：我們學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系，你知道它是誰發(fā)明的嗎？請大家閱讀大屏幕上的“閱讀材料”《笛卡爾介紹》.

點評：組織學(xué)生閱讀“閱讀材料”，不僅增強了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且有機滲透了數(shù)學(xué)史，提升了課堂的數(shù)學(xué)文化品味.

6.布置作業(yè)，課后延伸

分為必做題—課本題和選做題—通過網(wǎng)絡(luò)了解坐標(biāo)系的種類及其發(fā)展史.

點評：通過分層練習(xí)，努力使每個學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到適合自己的發(fā)展，進而促進班級教育的均衡發(fā)展.

二、思考與總評

平面直角坐標(biāo)系是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要載體，是實現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)識從一維發(fā)展到二維的典型素材，也是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)、平面解析幾何等知識的必備基礎(chǔ).“平面直角坐標(biāo)系（1）”是蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第五章第二節(jié)的內(nèi)容，主要是認(rèn)識平面直角坐標(biāo)系，了解點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，能根據(jù)坐標(biāo)描出點，能由點寫出坐標(biāo)，這些知識都是進一步學(xué)習(xí)函數(shù)知識的基礎(chǔ).在此之前，學(xué)生通過“數(shù)軸”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的；通過“物體位置的確定”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)初步認(rèn)識了用數(shù)對可以確定物體的位置；學(xué)生已經(jīng)具備借助數(shù)軸用一個實數(shù)來表示直線上點的位置和用數(shù)對來確定物體位置的經(jīng)驗，經(jīng)歷了很多探究過程，形成了一定的探究能力.在此基礎(chǔ)上，教材通過學(xué)生熟悉的現(xiàn)實問題情境——如何確定音樂噴泉的位置引入了平面直角坐標(biāo)系.有了平面直角坐標(biāo)系，就建立了點與有序?qū)崝?shù)對（坐標(biāo)）之間的一一對應(yīng)關(guān)系，進而有效地實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化.因此，在本節(jié)課教學(xué)中，要通過精心設(shè)計問題串，激活學(xué)生的已有經(jīng)驗，使學(xué)生借助已有的確定物體位置的生活經(jīng)驗進行思維，進而深刻理解平面直角坐標(biāo)系，感悟坐標(biāo)思想，通過自主探究，學(xué)會由點的坐標(biāo)畫出點的位置，根據(jù)點的位置寫出點的坐標(biāo)，了解平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對之間的一一對應(yīng)關(guān)系，初步感受數(shù)與形之間的密切聯(lián)系，發(fā)展空間觀念，進一步提高思維能力.基于這樣的思考，本節(jié)課進行了如下嘗試，形成了一定的特色.

1.巧用情境，引導(dǎo)思維

好的情境能起到思維的定向、激發(fā)欲望的作用，提高課堂教學(xué)的效率.本節(jié)課十分重視創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生的生活情境，以激活學(xué)生的已有生活經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生積極參與到教學(xué)活動中來，通過尋找音樂噴泉和圖書館進行位置的精確描述，讓學(xué)生感受確定點的位置是生活中常見的事，從而認(rèn)識到學(xué)習(xí)新知的必要性.通過多次變化描述確定音樂噴泉的方法、用同樣的數(shù)對表示音樂噴泉與圖書館這兩個不同的點、用數(shù)軸表示直線上不同方向運動的路程、如何用具有一定聯(lián)系的數(shù)軸表示平面內(nèi)的點的位置等情境，激起學(xué)生探索的欲望，引導(dǎo)學(xué)生不斷深化思維，從生活情境到數(shù)學(xué)問題，從一維表達到二維描述，從單一直線到關(guān)聯(lián)數(shù)軸，逐步演變，不斷完善，十分自然地生成了直角坐標(biāo)系.這里，在問題情境的引領(lǐng)下，探索構(gòu)建直角坐標(biāo)系模型成為學(xué)生的一種內(nèi)在需求，一種主動探究的愿望.

2.問題驅(qū)動，啟迪思維

問題是數(shù)學(xué)的心臟，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該滲透在基礎(chǔ)知識的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練之中.在本節(jié)課教學(xué)中，教者巧妙地將生活情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，進而充分利用問題串來啟發(fā)學(xué)生積極思考，自覺探索，有效地引領(lǐng)著學(xué)生思維，讓學(xué)生通過嘗試、歸納，感受用“兩個方向和距離”表示點的位置的必要性，從而使探索用平面直角坐標(biāo)系來描述平面內(nèi)的點的位置成為必然，新課的導(dǎo)入水到渠成.這正符合蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽所指出的引入新知的一個重要原則：由自然到必然，并能揭示問題本質(zhì).學(xué)生在探究畫平面直角坐標(biāo)系，由坐標(biāo)找點，由點找坐標(biāo)，象限內(nèi)點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征等活動中，通過嘗試、探索、歸納，不僅掌握了相關(guān)的知識和技能，而且感悟了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、類比、特殊到一般、建模等數(shù)學(xué)思想，加深了對平面內(nèi)的點與坐標(biāo)之間一一對應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識，有效地突破了教學(xué)的難點，更積累了新的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

3.方式靈活，深化思維

新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出：“教學(xué)活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程.有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”在本節(jié)課教學(xué)中，教者通過靈活運用不同的教學(xué)方式來不斷深化學(xué)生的思維.既有老師的有效組織與合理引導(dǎo)，又有學(xué)生的獨立思考與合作交流；既有老師的精彩點撥，又有學(xué)生的自主講解；既有大量的操作體驗，又有充分的語言表述；既有必需的基礎(chǔ)訓(xùn)練，又有必要的拓展延伸；既有基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練、基本數(shù)學(xué)思想方法的感悟、基本活動經(jīng)驗的積累，又有數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的有機滲透.課堂上生生互動、師生互動，讓學(xué)生體驗成功的樂趣，不同層次的學(xué)生都得到了不同的發(fā)展.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

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4.李慧祥，王華軍，陳德前.蘇科版“閱讀”材料的導(dǎo)讀策略摭談［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（5）.

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6.何樂，陳德前.借助已有經(jīng)驗培養(yǎng)探究能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016（3）.H

*基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點課題《初中數(shù)學(xué)教材中閱讀材料導(dǎo)讀策略研究》（課題編號：E-b/2013/023）；江蘇省中小學(xué)教研室第10期研究課題《初中數(shù)學(xué)閱讀內(nèi)容教學(xué)的策略研究》（課題編號：2013JK10-L216）；江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題《基于“班級教育均衡”的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐研究》（課題編號：E-c/2013/002）.