☉浙江省嵊州市剡城中學(xué)教育集團(tuán)　施　炯

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學(xué)為中心分層設(shè)計(jì)提升能力
——一節(jié)“四邊形折疊”的教學(xué)設(shè)計(jì)

☉浙江省嵊州市剡城中學(xué)教育集團(tuán)施炯

在義務(wù)教育階段取消了“實(shí)驗(yàn)班”“創(chuàng)新班”的大背景下，人的差異性又客觀存在，近期我市教體局對(duì)市區(qū)初中學(xué)校優(yōu)等生的培養(yǎng)十分重視，加強(qiáng)了管理和考核措施.隨著初中數(shù)學(xué)思維風(fēng)暴活動(dòng)的深入進(jìn)行，高中提前招生的方案實(shí)施，有效地促進(jìn)了初中學(xué)校對(duì)優(yōu)等生的管理和培養(yǎng).在遵循《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基礎(chǔ)上，如何對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行變式訓(xùn)練和拓展提升值得我們?nèi)パ芯亢蛯?shí)踐，我們的平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)一定要精心設(shè)計(jì)，分層落實(shí)，給優(yōu)等生提供發(fā)揮才智的平臺(tái)，努力克服過去優(yōu)等生在課堂教學(xué)中“吃不飽”現(xiàn)象的存在，讓他們在45分鐘內(nèi)發(fā)揮最大的潛能.只有在平時(shí)的教學(xué)中不斷地為優(yōu)等生滲透、提升相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的能力題和創(chuàng)新題，這樣通過三年的初中教學(xué)，他們的能力水平才會(huì)有一個(gè)質(zhì)的變化和提高.下面以一節(jié)“四邊形折疊”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例加以論述.

一、“四邊形折疊”教學(xué)設(shè)計(jì)

1.學(xué)情分析

學(xué)生已學(xué)習(xí)浙教版八年級(jí)上冊勾股定理和下冊四邊形的相關(guān)知識(shí)，并從七年級(jí)開始已接觸到折疊問題，也初步地了解了用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想來解決折疊問題，學(xué)生具備自主探索、合作交流、歸納總結(jié)等學(xué)習(xí)能力，但他們?nèi)狈?duì)折疊問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的研究.

2.內(nèi)容分析

“四邊形折疊”問題是近年來中考的熱點(diǎn)問題，它主要考查：一是考查動(dòng)手操作和空間想象能力，二是利用軸對(duì)稱考查角度和線段長度，思想方法主要是方程思想，借助勾股定理、面積和相似建立方程.在八年級(jí)開設(shè)這節(jié)課，在能力要求上比初三專題復(fù)習(xí)要低一些，重點(diǎn)突出折疊問題的本質(zhì)，利用折疊的本質(zhì)“軸對(duì)稱”開啟解題的思路和策略.

3.教學(xué)目標(biāo)

［知識(shí)與技能目標(biāo)］

理解折疊問題的本質(zhì)；了解折疊問題解題策略；學(xué)會(huì)用策略解折疊問題.

［過程與方法目標(biāo)］

“折”——找重疊圖形、找對(duì)稱軸，“疊”——還原重疊圖形，關(guān)注重合線段和角，熟悉重合圖形對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)稱軸（折痕所在直線）是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線，能通過勾股定理來構(gòu)建方程解折疊問題.

［情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)］

學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，主動(dòng)研究和探索，主動(dòng)與同學(xué)合作交流，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

4.重、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：折疊問題的本質(zhì)，重合圖形、重合圖形的對(duì)應(yīng)邊和角、對(duì)稱軸的定位.

難點(diǎn)：應(yīng)用圖形的全等、重合圖形的對(duì)應(yīng)邊和角相等、點(diǎn)的對(duì)稱構(gòu)建方程求折痕長度.

5.教學(xué)方式

教學(xué)方式：在折一折、疊一疊、剪一剪等活動(dòng)中，關(guān)注數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).數(shù)學(xué)活動(dòng)之后，引導(dǎo)學(xué)生自主反思、歸納活動(dòng)中隱含的或發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程.以啟發(fā)式教學(xué)為指導(dǎo)，啟迪學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí).

學(xué)習(xí)方式：學(xué)生自主探索、小組合作、交流、分享，充分表達(dá)自己的想法，展示解決問題的思維過程，實(shí)現(xiàn)“做數(shù)學(xué)—悟數(shù)學(xué)—再創(chuàng)造數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)模式.

圖1

6.教學(xué)過程

（a）問題情境.

活動(dòng)1（2014年紹興市）將一張正方形紙片，按圖1所示步驟①和②，沿虛線對(duì)折兩次，然后在③中沿虛線剪去一個(gè)角，展開鋪平后的圖形是（）.

圖2

教學(xué)預(yù)設(shè)：部分同學(xué)通過動(dòng)手折疊得到結(jié)果；部分同學(xué)不折紙，通過還原圖形得到答案；部分同學(xué)通過對(duì)選擇支的排除來處理.學(xué)生進(jìn)行的操作屬于層次一和層次二，教師在學(xué)生操作的過程中通過設(shè)問來引導(dǎo)、歸納、總結(jié)上升到層次三.

層次一：動(dòng)手折一折.

學(xué)生通過折一折，剪一剪，直觀、形象地得到答案B.

層次二：不折紙，還原圖形.

學(xué)生按照折疊的順序，由兩條折痕（對(duì)稱軸）與原正方形的邊垂直還原折疊的圖形，得到答案B.

層次三：探索折疊的本質(zhì).

折疊的本質(zhì)是：圖形的軸對(duì)稱變換.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以得到以下結(jié)論.

（1）軸對(duì)稱是全等變換：折疊前后重合部分圖形全等，重疊圖形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；（2）點(diǎn)的軸對(duì)稱性：互相重合的兩點(diǎn)（對(duì)稱點(diǎn)）之間的連線段必被折痕（對(duì)稱軸）垂直平分（有直角三角形，可應(yīng)用勾股定理得方程）.

設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的主旨是通過對(duì)折疊問題的操作，理解折疊的本質(zhì)，并應(yīng)用折疊的本質(zhì)屬性探究解折疊問題的策略.層次一目的是通過動(dòng)手操作形象、直觀地解決折疊問題；層次二目的是揭示“數(shù)學(xué)更注重抽象思維”，解決折疊問題的重點(diǎn)是找到重合的圖形及對(duì)應(yīng)邊、角和對(duì)稱軸，并還原重合圖形；層次三上升到對(duì)折疊問題本質(zhì)屬性的歸納總結(jié)，折疊問題的解題策略是從折疊開始，在找重合圖形，確定重合的邊、角和對(duì)稱軸中突破.

（b）在應(yīng)用中培養(yǎng)能力，掌握方法.

活動(dòng)2如圖3，折疊長方形的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，AD=10cm.

（1）說出圖中哪些線段相等；

（2）寫出全等三角形；

（3）求出EC的長.

圖3

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生獨(dú)立完成，并請(qǐng)一位同學(xué)上講臺(tái)講題.在學(xué)生講題的過程中歸納出解題的本質(zhì)：（1）折疊前后重合的線段長度相等；（2）折疊前后重合的兩個(gè)三角形全等；（3）在直角三角形中，利用勾股定理，列出方程求解問題.如圖3，重合的圖形有：△ADE≌△AFE，重合的線段有：AF=AD=10，EF=ED，若設(shè)EC=x，則由Rt△EFC得到方程42+x2=（8-x）2.

設(shè)計(jì)意圖：本活動(dòng)主要考查軸對(duì)稱是全等變換：折疊前后重合部分圖形全等，重疊圖形的對(duì)應(yīng)邊相等；并把條件集中到一直角三角形中根據(jù)勾股定理得到方程，求出未知數(shù)，讓學(xué)生從中感悟折疊問題中的數(shù)學(xué)思想和解題方法.

變式1：如圖4，折疊長方形的一邊AD，使D點(diǎn)與B點(diǎn)重合.

（1）求證：BE=BF；

（2）若AB=8cm，AD=10cm，求折痕EF的長.

圖4

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生在解本題時(shí)會(huì)有困難，因?yàn)樗麄儗?duì)“折痕”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有理解，“折痕EF”：（1）是對(duì)稱線段所夾角（∠BED）的平分線；（2）是對(duì)稱點(diǎn)連線段BD的垂直平分線.所以教師要求學(xué)生從折紙的過程中，畫出折痕EF和線段BE，再還原后，連接BD，讓學(xué)生自己來感悟“折痕”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，以此來突破本題.

希望學(xué)生通過合作、小組交流呈現(xiàn)另外的解法：（1）由折痕知∠BEF=∠DEF，再由平行線得∠DEF= ∠BFE；（2）一是先證四邊形EBFD為菱形，利用面積求折痕EF的長度，二是作EG⊥BC于G，通過Rt△EGF求折痕EF的長度.

設(shè)計(jì)意圖：本活動(dòng)的目的是通過（1）的證明，讓學(xué)生感悟在同一題目中如果有平行線和角平分的條件，那么就能推得等腰三角形，這一特征在解題中非常重要.通過（2）的解答，利用點(diǎn)的對(duì)稱性解折疊問題.通過現(xiàn)場折紙、畫圖揭示折痕EF是線段BD的垂直平分線，自然過渡輔助線BD；同時(shí)很好地應(yīng)用了折疊問題的解題策略：（1）折紙；（2）還原重疊圖形.

變式2：（2013年嵊州市八年級(jí)數(shù)學(xué)競賽題）如圖5，點(diǎn)M是正方形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，連接DM，將△ADM沿DM翻折得到△FDM，延長MF交DC的延長線于點(diǎn)E，求CE∶DE的值.

圖5

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生在解本題時(shí)會(huì)有困難，因?yàn)樗麄儗?duì)“折痕”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)沒有理解，“折痕DM”：（1）是對(duì)稱線段所夾角（∠AMF）的平分線；（2）在已有角平分線和平行線的條件下不能找出等腰三角形.所以教師啟發(fā)學(xué)生在變式1的基礎(chǔ)上，找出等腰三角形，得出相等線段.折痕DM是∠AMF的平分線，再通過AB∥CD，得出∠AMD=∠FMD=∠MDE，得到DE=ME.讓學(xué)生自己來感悟“折痕”所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，以此來突破本題的難點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖：本變式的目的是在變式1的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提升解題能力，加強(qiáng)幾何直觀，掌握基本圖形的性質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法.（1）基本圖形：在平行線、角平分、等腰三角形三個(gè)條件中，只要有兩個(gè)成立，就能推得第三個(gè)成立.（2）感悟方法：在折疊問題中，通常通過等量線段的轉(zhuǎn)換，使已知條件集中到同一個(gè)直角三角形中，再利用勾股定理，列出方程求解問題.

（c）在挑戰(zhàn)中提升能力，感悟思想.

活動(dòng)3如圖6，將正方形ABCD 沿AD、BC的中點(diǎn)M、N對(duì)折，得到折痕MN.再將點(diǎn)C折至點(diǎn)P的位置，折痕為BQ，連接PQ、BP.

圖6

回答下列問題，并說明理由.

問題1：找出圖中相等的線段.

問題2：找出成兩倍數(shù)量關(guān)系的線段.

問題3：探求∠PBC的度數(shù).

迎接挑戰(zhàn)，你對(duì)本題還能提出什么問題？看哪個(gè)小組提出的問題多.

教學(xué)預(yù)設(shè)：活動(dòng)目的是通過找問題的隱含條件“BP=BC=2BN”來“探求∠PBC的度數(shù)”.然后通過學(xué)生小組合作自己提出問題并解決問題把課堂推向高潮.

教師為防學(xué)生提不出問題，可以引導(dǎo)學(xué)生從圖形的形狀、角度、線段長度關(guān)系上提出問題.

最后教師留給學(xué)生一道課后探索題：“如何用一張正方形的紙片折出與正方形邊長相等的正三角形.”

設(shè)計(jì)意圖：正方形的特殊性，盡管題中沒有出現(xiàn)線段長度，但是在折疊過程中隱含著線段間的數(shù)量關(guān)系，通過揭示隱含的數(shù)量關(guān)系解折疊問題來提升學(xué)生的能力；并利用課后探索題來提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、熱情、能力.

（d）知識(shí)梳理和作業(yè)布置.

一個(gè)問題：四邊形折疊問題.

兩種策略：動(dòng)手“折”——定重疊圖形、對(duì)稱軸；還原“疊”——定重合的線段和角.

三個(gè)關(guān)注：圖形的全等，點(diǎn)的對(duì)稱，方程思想.

作業(yè)：學(xué)案上的必做題和選做題（略）.

二、教學(xué)反思

本節(jié)課是圍繞“四邊形折疊”設(shè)計(jì)的系列活動(dòng)，有利于學(xué)生針對(duì)問題情境，借助所學(xué)知識(shí)，或獨(dú)立思考，或與他人合作，經(jīng)歷提出問題、分析問題和解決問題的全過程.

本節(jié)課著力體現(xiàn)了學(xué)為中心，分層教學(xué)的主題，教學(xué)過程分為三個(gè)層次.

第一層次是“做數(shù)學(xué)”的過程，使學(xué)生初步體會(huì)折疊問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)原理.

活動(dòng)1，學(xué)生在折疊紙片、還原圖形中“做數(shù)學(xué)”.

第二層次是“悟數(shù)學(xué)”的過程，從做數(shù)學(xué)中悟出折疊的本質(zhì)和解折疊問題的策略.

活動(dòng)2，學(xué)生在折疊圖形中，利用對(duì)稱性，獲得相關(guān)圖形的性質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法.

在本堂課教學(xué)中，通過變式訓(xùn)練和能力提升，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想有了更深入的理解和感悟.讓學(xué)生自己經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，真切地體會(huì)、充分地品嘗了探究、解決問題過程的樂趣，更深地領(lǐng)略了數(shù)學(xué)過程的內(nèi)在美、簡潔美和統(tǒng)一美，既培養(yǎng)了多種能力又陶冶了情操，效果完美、有意義.

第三層次是“再創(chuàng)造數(shù)學(xué)”的過程.

在活動(dòng)3中，學(xué)生提出問題并自己解決問題；問題“如何用一張正方形的紙片折出與正方形邊長相等的正三角形”實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造.

本課的設(shè)計(jì)既考慮到學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，也考慮到問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)；整節(jié)課的活動(dòng)給學(xué)生提供了展示、講解、質(zhì)疑的平臺(tái)，教師只起點(diǎn)撥、引導(dǎo)的作用；在學(xué)生解決問題的過程中，教師既提出了啟發(fā)學(xué)生思維的問題，也注意到在教學(xué)過程中幫助學(xué)生總結(jié)、歸納、升化知識(shí)和培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力.Z