☉江蘇省如皋市初級中學　黃亞軍

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類比學習：用經(jīng)驗“催生”知識
——以“多邊形的內(nèi)角和”為例

☉江蘇省如皋市初級中學黃亞軍

類比，就是由兩個對象的某些相同或相似的性質(zhì)，推斷它們在其他性質(zhì)上也有可能相同或相似的一種推理形式.作為初中階段的一種非常重要的數(shù)學思想方法，它在學生的學習過程中發(fā)揮著巨大的作用，使學生已有的知識和經(jīng)驗得以自然延續(xù)，并催生出新的數(shù)學知識.現(xiàn)結合“多邊形的內(nèi)角和”一課的兩則教學片斷談談筆者對此的看法，希望能引發(fā)大家的思考.

一、兩則教學片斷及評析

片斷1類比三角形的“學習主線”獲取多邊形的“學習主線”.

教師：我們前面學習了三角形的哪些知識？

學生1：幾條重要線段，比如邊、高、中線、角平分線.

教師：還學習了什么？

學生（齊）：角.

教師：哪些角？

學生2：內(nèi)角和外角.

教師：學習了這些角的哪些知識？

學生3：內(nèi)角和、外角和、外角的性質(zhì)等.

教師：好的！昨天，我們已經(jīng)學習了多邊形的定義，知道了多邊形中存在著邊和對角線這兩類重要的線段.猜一猜，我們接下來要學什么？

學生4：多邊形的角！

教師：不夠具體！

學生5：內(nèi)角和外角！

教師：好的，能再具體些嗎？

學生6：內(nèi)角和、外角和.

學生7：還有外角的性質(zhì).

評析：在前面幾節(jié)課上，學生沿著“定義—重要線段—重要角”的知識線，學習了三角形的有關知識.人教版教材中，幾乎所有的幾何圖形的認知都是沿著這樣的知識線展開的，多邊形也不例外.這節(jié)課學習的是“多邊形的內(nèi)角和”，是在學生獲得多邊形定義，并認識了多邊形的邊和對角線的基礎之上進行的.因此，教師首先帶領學生梳理了獲得三角形的相關知識的歷程，有效地喚醒了學生積累下的幾何學習經(jīng)驗，接下來，采用類比的方式，讓學生猜一猜“我們接下來要學什么”，三角形的“知識線”就被十分順利地“移植”到了多邊形中.知識的梳理，經(jīng)驗的延續(xù)，為學生即將展開的探究鋪平了道路.

片斷2類比四邊形內(nèi)角和的探究歷程探究n邊形內(nèi)角和公式.

如圖1，教師先引導學生連接對角線AC，將四邊形ABCD分為兩個三角形，進而歸納出四邊形ABCD的內(nèi)角和即為兩個三角形的內(nèi)角和之和，也就是180°×2= 360°.接下來，教師請學生根據(jù)探究四邊形內(nèi)角和的經(jīng)驗自主探究五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和.

學生在經(jīng)歷了自主探索，小組交流后，向全班展示了如下成果：

圖1

圖2

一生結合圖2進行了交流：連接AC，AD.則五邊形ABCDE就被分成了3個三角形，所以，五邊形的內(nèi)角和為180°×3=540°.

一生結合圖3給出類似的陳述，最終得出六邊形的內(nèi)角和為180°×4=720°.

圖3

圖4

接下來，一名學生給出了圖4，并簡單交流了n邊形的內(nèi)角和獲得的過程：通過過一個頂點作對角線，將n邊形分成了（n-2）個三角形，所以，n邊形的內(nèi)角和為180°×（n-2）.

教師在歸納得出多邊形的內(nèi)角和公式后，對公式的探討并未就此打住，接著投影圖5，問學生：你能用這幅圖來說明四邊形內(nèi)角和為360°嗎？

圖5

經(jīng)過短暫的思考后，很多學生給出了求這個四邊形內(nèi)角和的式子：180°×3-180°=360°，教師給以肯定，并請一名學生說出思路：PA與PD將四邊形分成3個三角形，四邊形內(nèi)角和等于這3個三角形內(nèi)角和之和減去平角∠BPC.教師提出問題：類比此法，你能給出五邊形、六邊形及n邊形的內(nèi)角和的求解過程嗎？

學生展開與剛才類似的探究，用這種轉化方法同樣得到了多邊形的內(nèi)角和公式.

最后，教師請學生對這兩類方法進行了小結，強化學生對“多邊形的問題可以轉化為三角形的問題”的轉化思想和“多邊形的問題解決可以由四邊形問題的解決類比展開”的類比思想的感悟，為今后的幾何學習積累經(jīng)驗.

評析：多邊形的內(nèi)角和是本節(jié)課的核心內(nèi)容，學生雖然有了三角形內(nèi)角和的探究經(jīng)驗，但這一經(jīng)驗在本節(jié)課上并不能起到多大作用，因此，教師沒有利用這一已有經(jīng)驗展開學習，而是將多邊形的對角線引入，將多邊形轉化為學生熟悉的三角形進行探索.由于在多邊形學習時，教師已經(jīng)有意識地將“從一個頂點作出的所有對角線能將n邊形分成（n-2）個三角形”埋藏其中，本節(jié)課上引導學生從這一知識入手展開的探索是較為合適的.為此，教師先讓學生作對角線，求出四邊形的內(nèi)角和.這一過程表面看為的是結果，但是細細分析后面的探究歷程，實則不然，這一過程完全是為多邊形內(nèi)角和的一般結論的探索積累經(jīng)驗，它是學生獲取多邊形內(nèi)角和公式的起點，也是鋪墊，保證接下來對五邊形、六邊形及n邊形內(nèi)角和的探索有了基本經(jīng)驗.教師在學生類比得出多邊形內(nèi)角和公式之后，讓學生再度經(jīng)歷另一種不同路徑下的類比學習，為的是讓已有的經(jīng)驗進一步強化，體會轉化思想的妙用，同時使學生體會到數(shù)學結論獲得的嚴謹性和多維性.

二、關于類比學習的幾點感悟

1.時間作保，有序推進

任何形式的數(shù)學探究活動，時間是最基本的保證.學生理解數(shù)學知識，形成數(shù)學技能，感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，哪一樣不需要時間.所以，我們的教學應根據(jù)學生認知需求和認知發(fā)展的規(guī)律，給予他們充實的探究與“消化”的時間，以便學生能充分經(jīng)歷問題解決思路的摸索和規(guī)范自己的求解過程.在類比學習中，時間的保證顯得尤為重要.類比學習，發(fā)揮作用的主體是學生的舊知識、舊技能和舊經(jīng)驗，教學中對這些類比基礎的喚醒就需要時間，而讓學生應用舊知催生新知，就更加離不開時間了.上面的片斷1中，如果沒有教師引領下的三角形“認知主線”的梳理，想要類比獲得多邊形“認知主線”是不太可能的，所以教師花的時間是值得的，也是有效的；片斷2中，先對四邊形展開的探究，耗時8分鐘，這是獲得知識與積累經(jīng)驗的8分鐘，學生主體的時空經(jīng)歷為后續(xù)的認知積聚了充實的體驗和感受，筆者認為，如果沒有這一時段的思維與摸索，后面的類比學習是很難展開的.所以，類比學習，時間是最根本的保證，無論是經(jīng)驗的積累與喚醒，抑或是基于經(jīng)驗的深度探索，都必須給學生留出充足的“發(fā)酵”時間，讓他們經(jīng)歷、體驗、感知、升華，并最終形成新的“四基”.

2.經(jīng)驗打底，提升建構

類比學習，經(jīng)驗是最重要的.沒有經(jīng)驗的類比認知是無法展開的，因此，我們應重視數(shù)學基礎知識獲得過程中的附加產(chǎn)品——數(shù)學基本活動經(jīng)驗的教學，尤其要重視那些能夠實現(xiàn)類比學習的起始經(jīng)驗的教學.以本文所述案例為例，學生學習三角形所積累下的經(jīng)驗就是初中幾何學習的起始經(jīng)驗，有了這一經(jīng)驗的“打底”，所有圖形的認知都可以類比展開.還以片斷2為例，教師為了實施類比學習，讓學生經(jīng)歷了四邊形內(nèi)角和的探索歷程，這一輪探索的經(jīng)驗積淀，為接下來的五邊形、六邊形等多邊形的內(nèi)角和的獲得夯實了經(jīng)驗基礎，保證了學生的更高一級的探索，無需再“另起爐灶”.當然，類比學習，僅有經(jīng)驗打底是不夠的，我們還應重視已有經(jīng)驗的再提升.在學生獲得數(shù)學知識的過程中，其經(jīng)驗會隨著個體認知水平的不斷提升變得越來越豐富.在此過程中，對經(jīng)驗的再加工將有利于其融入到學生的知識網(wǎng)絡中，形成系統(tǒng)化的經(jīng)驗體系，為復雜問題的解決埋下伏筆.片斷2中的這位老師還是煞費苦心的，他在學生獲得內(nèi)角和公式后并沒有讓學生止步于此，而是給了一個新的途徑讓學生繼續(xù)展開類比學習，這是對學生已得經(jīng)驗的一種正向強化，有利于學生將這節(jié)課獲得的經(jīng)驗與潛藏于腦海中的轉化的經(jīng)驗、不完全歸納的經(jīng)驗鏈接起來，形成對今后數(shù)學學習與生活有利的“經(jīng)驗串”.

3.指導引領，推陳出新

“教師是學習的組織者、引導者與合作者”，這是《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》給出的教師角色定位.在類比教學中，我們應擺正自己的位置，當好“組織者、引導者與合作者”.類比認知，需要教師的精心預設，只有在合理預設下的課堂活動中，學生的知識與經(jīng)驗才能夠被順利喚醒，才能成為新知生成的“推進劑”；類比教學，需要教師的指導，學生學習不可能一帆風順，教師在學生遇到困難時決不能袖手旁觀，應該給他們指路，讓他們的探索行進在正確的道路上；類比教學還需要教師的引領，類比更多的是一種知識與經(jīng)驗的自然延續(xù)，在問題解決過程中，教師示范引領將會給學生以榜樣，讓他們學著做，做著學，在學與做的交融中實現(xiàn)“四基”的獲得和“四能”的提升.還是回到本文給出的兩則片斷上來，教師的定位是準確的.他的出現(xiàn)都是在教學的關鍵時點上，片斷1中的追問是“逼”著學生對自己的大腦展開搜索，以回憶出對本節(jié)課學習有用的知識和經(jīng)驗；片斷2中，不乏教師基于學生已有知識之上的引導，比如圖1中輔助線的添加，圖2、3、4中結論的歸納，雖然學生可能會給出較為準確的探索歷程，但結論的歸納未必能一步到位.所以，教師在此時介入，將會讓學生更加明晰自己所展開的類比學習的價值，從而助推舊知的應用與新知的生成.

三、寫在最后

數(shù)學教學中，學生是唯一的主體，教師無論教多么簡單的知識，采取多么先進的教學方式，學生不主動投入其中，效果都會很差.所以，很多一線教師都在找尋著能夠激發(fā)學生主動參與數(shù)學學習熱情的“法寶”，但鮮有成功.類比教學，或許能算一條捷徑吧，至少在類比認知過程中，教師退居“幕后”，學生成為真正的主人，他們在充分調(diào)動著自己的所有潛能，讓自己已有的知識、技能、經(jīng)驗、方法都發(fā)揮著作用，所有探究活動的朝向都是教者和學生共同期待的新授知識或問題解決路徑.如果真能順利開展這樣的類比學習，應該是一件非常幸福的事.為此，我們要努力，類比學習除需要時間、經(jīng)驗和教師的指點引領外，個體的情感投入是最為重要的.筆者認為，沒有情感的數(shù)學學習是不“美”的，通過類比學習，我們要讓學生能體驗到新知獲得的愉悅感和成就感，只有這樣，我們所期待的數(shù)學學習的快捷通道才有可能被打通.

參考文獻：

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