☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　葉先玖

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“舊瓶新裝”，一種可行的編題方式

☉湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)葉先玖

小專題教學(xué)，通常以思想方法為魂、題組訓(xùn)練為媒、計(jì)算推理為線來(lái)串聯(lián)知識(shí)和方法，幫助學(xué)生獲取基本的解題策略.因而，選擇一些最有價(jià)值、最具代表性的、典范性習(xí)題，是習(xí)題課常用的教學(xué)套路.由于停留于表面認(rèn)識(shí)，變式及生長(zhǎng)不足，缺少系統(tǒng)歸納及共性提煉，看不透基本圖形及性質(zhì)，導(dǎo)致重復(fù)機(jī)械演練過(guò)度，結(jié)果是講一題會(huì)一題，題目略微變式，學(xué)生仍覺(jué)困難.教學(xué)實(shí)踐表明，“舊瓶新裝”，是一種可行的借題生長(zhǎng)方式，能有效提升學(xué)生的解題水平.本文以八年級(jí)下冊(cè)教學(xué)中的一道選擇題為例，從選擇經(jīng)典題、深度挖掘、繼承經(jīng)典、借題發(fā)揮等角度，呈現(xiàn)個(gè)人的一些做法及思考，拋磚引玉，探討如何借用經(jīng)典，催生出新題、新意、新機(jī)，最大限度地發(fā)揮經(jīng)典習(xí)題的價(jià)值.

一、細(xì)覓“舊瓶”，發(fā)現(xiàn)經(jīng)典

經(jīng)典范例（2012年江蘇省揚(yáng)州市）如圖1，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰Rt△ACD和Rt△BCE，那么DE長(zhǎng)的最小值是_______.

選題說(shuō)明：立意動(dòng)態(tài)幾何構(gòu)思矩形小專題習(xí)題課時(shí)，筆者依托人教版八年級(jí)下冊(cè)第64頁(yè)的數(shù)學(xué)活動(dòng)為素材，思考對(duì)第68頁(yè)第13題進(jìn)行改編，在查閱資料時(shí)，有幸選取到本題及2015年黑龍江省綏化市第9題，作為示例；精選2014年綏化市第11題、2015年綏化市第21題，2015年江蘇省泰州市第16題、常州市第8題，2015年湖北省襄陽(yáng)市第12題等五道題，作為習(xí)題跟進(jìn)鞏固，著力滲透分類討論、翻折變化、方程思想、等積轉(zhuǎn)化等方法，力求掌握有關(guān)解答折疊與最值等問(wèn)題的基本策略.

二、慎審“舊瓶”，換裝新衣

選題時(shí)，因?yàn)榕鋫溆袇⒖即鸢?，筆者并沒(méi)有對(duì)上題作細(xì)致的解答，受參考答案先入為主的影響，備課時(shí)只預(yù)設(shè)了下面呈現(xiàn)的解法一.課堂中，在傾聽(tīng)學(xué)生交流時(shí)，學(xué)生卻給出了更優(yōu)化的解答.

1.審視解答

解法一：（函數(shù)求值法）如圖1，設(shè)AC=x，則BC=2-x，因?yàn)椤鰽CD和△BCE都是等腰直角三角形，所以∠DCA=45°，∠ECB=45°，可證得∠DCE=90°，從而得DE2=DC2+CE2=x2-2x+2.所以當(dāng)x=1時(shí)，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1.

解法二：（保角構(gòu)造法）通常解答含特殊度數(shù)的角的幾何題時(shí)，習(xí)慣于保全這個(gè)特殊角進(jìn)行補(bǔ)形構(gòu)建，從而轉(zhuǎn)化成特殊圖形進(jìn)行解答.如圖2，由∠A=∠B=45°，如果延長(zhǎng)AD、BE交于點(diǎn)F，可得△AFB是等腰直角三角形，易證得四邊形CDFE是矩形，則DE=CF，由垂線段最短可知，當(dāng)CF⊥AB時(shí)，DE最小，結(jié)合三線合一及直角三角形斜邊的中線等于斜邊一半，求得DE的最小值為1.

解法三：（特殊位置法）上述兩種解法嚴(yán)謹(jǐn)，無(wú)可挑剔，但作為一道選擇題，費(fèi)時(shí)不合算.不難看出，圖中兩個(gè)三角形的形狀相同，而且隨著點(diǎn)C的移動(dòng)，兩個(gè)三角形在AB上任何一點(diǎn)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等，即兩個(gè)三角形的地位是相等，因而，可采用特殊位置法，找出臨界點(diǎn)，定位分析解答，顯然就是AB的中點(diǎn).此時(shí)有CD=CE，從而直接得到DE的最小值為1.

課后反思解法，此題雖小，但關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)、基本圖形、數(shù)學(xué)方法較多，理應(yīng)算是一道經(jīng)典習(xí)題.

2.審視變式

課堂中學(xué)生的表現(xiàn)，引起了筆者對(duì)此題改編的興趣.雖然本題只是一道3分的填空題，但從解法多樣化角度看，本題可以說(shuō)是思維含量較高的一道試題，有值得進(jìn)一步研究并拓展的必要.經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，本題最大的特點(diǎn)，就是從“共點(diǎn)等邊”圖形為背景求線段值，考查的核心知識(shí)點(diǎn)是特殊圖形的性質(zhì)及勾股定理，由于解答思路不同，可以滲透不同的基本思想和方法，可以多角度進(jìn)行改編.

外部基本圖形變式：不難發(fā)現(xiàn)，在不改變題目條件下，單純地更換圖形形狀，如圖3，可以把兩個(gè)等腰三角形換成兩個(gè)等邊三角形，從而得到最為經(jīng)典也是常見(jiàn)的圖形，通過(guò)作AF⊥CD，可以求出AD的最小值；如圖4，更換為兩個(gè)正方形，同樣也能求出AF的最小值；類似地，還可以簡(jiǎn)單地更換“外衣”，用不同特殊圖形去替換原題中的兩個(gè)等腰三角形，得到不同的新題，其實(shí)本質(zhì)及解答方法并沒(méi)有變，從而讓學(xué)生收獲“對(duì)一題”而“會(huì)一片”的訓(xùn)練效果.

圖4

內(nèi)部基本知識(shí)變式：如果從圖形旋轉(zhuǎn)角度改編，如圖5，線段AB的長(zhǎng)為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以C點(diǎn)為頂點(diǎn)，在AB的同側(cè)作頂角為45°的等腰△ACD和△BCE.

（1）連接DE并求DE長(zhǎng)的最小值.

（2）如圖6，當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，將△BCE繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β（0°﹤β﹤135°），連接AE與BD交于點(diǎn)F.

①求證：AE=DB；

②當(dāng)β=45°時(shí)，求DF的長(zhǎng).

圖5

圖6

解析：（1）由上述解法一可求得DE的最小值為1.（過(guò)程略）

（2）①C為AB的中點(diǎn)，可得AC=CD=CE=CB=1，∠ACD=∠ECB=45°，所以△ACD≌△ECB.由于△ECB是繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，始終有AC=CE，CD= CB，∠ACD=∠ECB，又因?yàn)椤螦CD+∠DCE=∠BCE+ ∠ECD，即∠ACE=∠DCB，由“邊角邊”可得△ACE≌△DCB，所以AE=BD.

②當(dāng)β=45°時(shí)，證得四邊形ACBF為菱形，BC=AC=1，△DCB為等腰直角三角形，所以得DF=BD-

三、拓展“舊瓶”，換裝新意

適當(dāng)更換條件，關(guān)聯(lián)更多的知識(shí)點(diǎn)和方法，也可以進(jìn)行如下深層次思想方法方面的融合，進(jìn)行質(zhì)的變式嘗試，以期進(jìn)一步提升思維含量.

1.著眼背景動(dòng)態(tài)性

在組織正方形小專題時(shí)，著眼動(dòng)態(tài)幾何，復(fù)習(xí)最值問(wèn)題，筆者重溫上述經(jīng)典范例，開(kāi)發(fā)成通過(guò)定量計(jì)算，從而推理在正方形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，某一三角形成為等邊三角形開(kāi)放性說(shuō)理題，以最大限度發(fā)揮上述經(jīng)典題的價(jià)值.

改編題1：在直線BC上，線段BQ=12cm，C和D分別為直線BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接A D.

（1）如圖7，分別以BC和CQ為斜邊在同側(cè)作兩個(gè)等腰直角△BAC和△CMQ，連接AM，求出AM的最小值.

圖7

（2）當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到BQ的中點(diǎn)處時(shí)，作等腰直角△BAC，D從C出發(fā)，在射線CB上運(yùn)動(dòng)，連接AD，以AD為邊作正方形ADEF，連接CF.

①如圖8，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，探究BD與CF的關(guān)系并加以證明，指出點(diǎn)D在何處時(shí)，正方形面積最??？并求出這個(gè)最小值.

圖8

圖9

②如圖9，當(dāng)點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，在BC下方作正方形ADEF，連正方形對(duì)角線交于O點(diǎn)，判斷△AOC的形狀，指出當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AOC是等邊三角形.

解析：（1）由上述三種解法可知AM最小值為6cm（過(guò)程略）.

（2）當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到BQ的中點(diǎn)處時(shí)，可得BC=6.由∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF=90°，得到∠BAD= ∠CAF.又AB=AC，AF=AD，從而可證△BAD≌△CAF.所以BD=CF，∠FCA=∠ABD.而∠BAD+∠ACB=90°，所以∠ACB+∠ACF=90°，即∠BCF=90°，得BD⊥CF.由垂線段最短可知，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，正方形面積最小，由三線合一可知，此時(shí)D為BC的中點(diǎn)，可求得正方形的最小面積為9cm2.

（3）同（2）的方法可證得△BAD≌△CAF，得BD=CF，∠FCA=∠DBA.因?yàn)椤螦BC=∠ACB=45°，得∠ABD= 135°，得∠FCD=∠FCA-∠ACB=90°.而由正方形的性質(zhì)可知DO=OF=AO=OE，在Rt△DCF中，由∠FCD=90°及DO=OF可得OC=OF，從而可得OA=OC.由于點(diǎn)D在CB延長(zhǎng)線上向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，而點(diǎn)F是在垂直于BC的直線上運(yùn)動(dòng)，隨DA長(zhǎng)度不斷增大，所以O(shè)A也隨著增大，而AC長(zhǎng)度不變，所以得△AOC是等腰三角形.當(dāng)△AOC是等邊三角形時(shí)，必有∠AOC=60°，得∠COF=30°，∠OCF=∠CFO= 75°，可得∠FDC=15°，從而得∠ADB=30°.過(guò)點(diǎn)A作AG⊥ BC于點(diǎn)G，由BC=6可求得，在△AGD和△AGB中，由∠ADB=30°，∠ABC=45°，可求得，得即D運(yùn)動(dòng)到距離B點(diǎn)時(shí)，有△AOC是等邊三角形.

2.著眼問(wèn)題的存在性

上述經(jīng)典素材，從圖形的對(duì)稱性視角出發(fā)，著眼問(wèn)題存在性的探究，可以再深度挖掘，以二次函數(shù)綜合題與正方形為背景，立意三角形全等與相似、正方形性質(zhì)、函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，滲透分類討論、待定系數(shù)法、運(yùn)動(dòng)與變化、數(shù)形結(jié)合、方程思想與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法的綜合題，基于此，筆者就上題與2015年湖北省襄陽(yáng)市第26題進(jìn)行融會(huì)，改編成如下試題，作為九年級(jí)學(xué)生周測(cè)試題.

改編題2：如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（-2，0），Q是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，D為OA的中點(diǎn).分別以AQ、OQ為斜邊作兩個(gè)等腰Rt△AKQ和Rt△QHO，作直線KH交y軸于點(diǎn)G.

（1）當(dāng)KH最小時(shí)，如圖11，以O(shè)A長(zhǎng)為邊在第二象限作正方形ABCO，連接DC，將線段DC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段DE，以直線AB為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)C、E兩點(diǎn).求直線GD的解析式及拋物線的解析式.

（2）如圖11，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CB每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F.試問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)，以P、F、D為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似？

（3）在（1）的條件下，M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M、N，使得以M、N、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖10

圖11

解析：（1）由前面解法易得M（0，1），又D（-1，0），可得直線GD的解析式為y=x+1；過(guò)點(diǎn)E作EL⊥x軸于L點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得OA=OC，∠AOC=∠DLE，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠OCD=∠LDE，可得△ODC≌△LED （AAS），所以EL=OD=1，DL=OC=2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，1）.因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線AB即直線x=-2，所以可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）2+k，將C、E點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得拋物線的解析式為

（3）分類討論：可分?MDNE、?MNDE、?NDME三種情況，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊，設(shè)M（-2，k）后，利用平移規(guī)律及拋物線解析式可求得對(duì)應(yīng)的M、N的坐標(biāo).當(dāng)四邊形MDEN是平行四邊形時(shí)，有MN∥DE，MN=DE，因此，當(dāng)把D（-1，0）先向左平移兩個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)E（-3，1），由這個(gè)平移規(guī)律可把M（-2，k）平移后得到點(diǎn)N（-4，k+1），再將N點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，求得k=1，從而得M1（-2，1），N1（-4，2）；同理，當(dāng)四邊形MNDE是平行四邊形時(shí)，得M2（-2，3），N2（0，2）；當(dāng)四邊形NDME是平行四邊形時(shí)，得

四、兩點(diǎn)思考

1.精細(xì)識(shí)別，精心提煉經(jīng)典

數(shù)學(xué)思想方法、能力的提升，正如張奠宙院士所言：需要每節(jié)課“細(xì)水滴灌”，每道題浸潤(rùn)，更得有專題式“大水漫灌”的滲透.而習(xí)題課，正是承擔(dān)小專題教學(xué)的最好載體，是提升學(xué)生解題能力最有效的途徑.通常，好題放在合適位置，才能發(fā)揮其價(jià)值，識(shí)別經(jīng)典，選題編題是小專題教學(xué)必要的一步.選題編題要以學(xué)生學(xué)習(xí)可接受能力為本，守住教學(xué)要求的底線，積累題組，力求通法，少玩技巧，［1］以最大限度使用題目的訓(xùn)練功效.選擇經(jīng)典題進(jìn)行小專題教學(xué)，可以分解大目標(biāo)，分散難點(diǎn)，強(qiáng)化模式，落實(shí)小目標(biāo)而實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)，提高解決問(wèn)題的能力.一般而言，公認(rèn)的經(jīng)典題，在探討多種策略求解時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目無(wú)論是從知識(shí)深度、廣度和完整度，還是基本思想方法，一定會(huì)多角度關(guān)聯(lián)，［2］或關(guān)聯(lián)多個(gè)核心知識(shí)點(diǎn)，或蘊(yùn)含著多種基本思想方法，或有基本圖形等，因而才會(huì)沉淀并流傳下來(lái).如本文中的范例，雖然題小，如果從探究解法、圖形變式入手，會(huì)收獲化動(dòng)為靜、數(shù)形結(jié)合等轉(zhuǎn)化策略；積累從局部到整體，通過(guò)補(bǔ)形構(gòu)造，利用矩形性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)；甚至于通過(guò)圖形位置相同的特性，采用特殊點(diǎn)位置這一特殊方法，到用函數(shù)思想最值一般性的解法，養(yǎng)成多視角自由切換的思考意識(shí).在完成解答過(guò)程中，探究熟悉特殊圖形性質(zhì)，緊扣變與不變關(guān)系和數(shù)量，在溫故的同時(shí)，吸取解題營(yíng)養(yǎng)，提升分析和解決問(wèn)題的能力.扣住經(jīng)典范例中共點(diǎn)等邊兩個(gè)等腰直角三角形放縮的特性，可以進(jìn)行外觀簡(jiǎn)單的圖形變式，實(shí)現(xiàn)“做一題，會(huì)多題，會(huì)一法，得多法”的目的.

2.精致拓展，精彩生長(zhǎng)經(jīng)典

課本習(xí)題及中考題，猶如“金礦”，是專家及命題人精心編制，是命題人智慧和心血的結(jié)晶.一些好題，堪稱經(jīng)典，是習(xí)題課范例的首選素材，能有效地開(kāi)發(fā)成題組.能被師生多年認(rèn)可的經(jīng)典，絕不是僅僅可以“舊瓶簡(jiǎn)裝”，局限于從外觀上進(jìn)行圖形變式，而是可以“舊瓶新裝”，能多角度變式拓展或生長(zhǎng).經(jīng)典題如同題根，“抓住一個(gè)題根，就等于抓住了這個(gè)題族、這個(gè)題群、這個(gè)題系”.抓根挖掘進(jìn)行改編，可以追求大道至簡(jiǎn)，［3］顯然，能成為經(jīng)典，自身具有生長(zhǎng)性、滲透性和實(shí)用性，可以“舊瓶新裝”.如同本文的范例那樣，在立足原題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的前提下，尊重原創(chuàng)命制意圖，遵從命題嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的原則，力求簡(jiǎn)約而不失本質(zhì)，［4］可以從換裝內(nèi)部基本數(shù)學(xué)知識(shí)，或有意增設(shè)更多的基本思想方法進(jìn)行質(zhì)的變式.

精選、提煉、拓展經(jīng)典，找到生長(zhǎng)點(diǎn)，借題再生，“舊瓶新裝”，讓老題生根發(fā)芽，煥發(fā)新機(jī)，是一種可行的編題方式.“舊瓶新裝”式的改編，可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、提升經(jīng)典，讓經(jīng)典更出彩；可以把握研究的方向，提升研究水平，助力專業(yè)成長(zhǎng)；可以更好地關(guān)愛(ài)學(xué)生，為他們提供更優(yōu)化的高質(zhì)量的習(xí)題，幫助學(xué)生走出“題?！保嵘麄兊姆治龊徒鉀Q問(wèn)題的能力.

參考文獻(xiàn)：

1.韓新正.中考?jí)狠S題的一種價(jià)值取向：平實(shí)、簡(jiǎn)約［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（8）.

2.劉東升.關(guān)聯(lián)性：一個(gè)值得重視的研究領(lǐng)域［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

3.劉永東.簡(jiǎn)化·簡(jiǎn)至——數(shù)學(xué)小專題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)施策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（4）.

4.萬(wàn)廣磊.刪繁就簡(jiǎn)三秋樹(shù)，領(lǐng)異標(biāo)新二月花——一道壓軸題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2016 （1-2）.H