曹先勝，吉高峰

(常州大學(xué)，江蘇 常州　213164)

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*通訊聯(lián)系人

間接測量中不確定度計算
——乒乓球轉(zhuǎn)動慣量

曹先勝*，吉高峰

(常州大學(xué)，江蘇 常州213164)

摘 要：通過測量乒乓球轉(zhuǎn)動慣量，介紹了間接測量中的不確定度傳遞和計算。研究發(fā)現(xiàn)乒乓球的質(zhì)量是影響其轉(zhuǎn)動慣量的主要因素，而內(nèi)、外直徑則是影響較小因素。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動慣量；不確定度；間接測量

眾所周知，在科學(xué)測量中誤差總是存在的、是不可避免的、是不能消除的。唯一能做到的是盡量減小誤差，提高測量可靠度。盡管目前已有許多文獻(xiàn)和教科書都詳細(xì)介紹了物理測量中的不確定度[1-5]，但利用相對簡單、廉價的試驗來直觀介紹不確定度中的一些基本概念仍然是有必要的。本文通過測量乒乓球的轉(zhuǎn)動慣量來實現(xiàn)上述目的。近來Pauchard和Rica研究了乒乓球形變特性[6]。Paulo和Gutemberg研究了乒乓球的厚度和密度[7]。但對乒乓球的轉(zhuǎn)動慣量的研究還是比較少的。而轉(zhuǎn)動慣量是乒乓球非常重要的一個物理量。

為此，本文首先介紹測量值和其不確定度的表達(dá)方式，重點介紹間接測量物理量的不確定度的傳遞關(guān)系。為計算各測量物理量間的變化關(guān)系，本文采用Paulo等人的方法[7]討論了變異系數(shù)，此方法廣泛應(yīng)用于金融市場分析中[8]。

1理論

1.1球體

一般球的體積為：

(1)

其中d球體的直徑.

于是，若乒乓球被灌滿水時，乒乓球的內(nèi)直徑RI:

(2)

其中：Vw是灌滿乒乓球的水的體積。

直徑為R的球體繞z-軸轉(zhuǎn)動(通過球心)時的轉(zhuǎn)動慣量(I)

(3)

其中ρ球體的質(zhì)量密度.

于是，球殼(乒乓球)的轉(zhuǎn)動慣量(IS):

(4)

其中:RE、RI為球殼(乒乓球)的外、內(nèi)直徑,m為球殼(乒乓球)的質(zhì)量。

1.2不確定度

不確定度不僅能用來描述的測量的可靠性，還能反映測量的精度。當(dāng)人們執(zhí)行測量任務(wù)時，首先需要根據(jù)要求的不確定度來制定測量計劃，并根據(jù)測量此計劃選擇合適的儀器和實驗環(huán)境。不確定度是由兩部分組成：系統(tǒng)不確定度和隨機不確定度。隨機不確定度可通過統(tǒng)計的方法予以消除，而系統(tǒng)不確定度是難以評估或檢測，但可通過儀器校準(zhǔn)來減小系統(tǒng)誤差 (本實驗主要指的是游標(biāo)卡尺和物理分析天平)。

在本實驗中系統(tǒng)不確定度僅由儀器的不確定度所組成，而隨機不確定度由多次、隨機測量不確定度(測量置信度為95%，且滿足學(xué)生t分布)所組成。

(5)

其中:N為測量次數(shù).從公式5不難發(fā)現(xiàn)要想提高精度20倍，需增加測量次數(shù)400倍。而且系統(tǒng)誤差并不能通過增加測量次數(shù)而減小，所以最好提高精度的辦法是提高每次測量的精度。

當(dāng)測量次數(shù)接近無窮時，測量的物理量的概率密度遵從正態(tài)分布。當(dāng)減少測量次數(shù)時，概率密度變扁平，呈t-分布，又稱學(xué)生分布；當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮時，t-分布又再一次變成正態(tài)分布。t-分布常被用來計算測量次數(shù)較少(如10次，小于30次)時的不確定度，在可信度95%時，隨機不確定度為標(biāo)準(zhǔn)差的2.262倍[9]。于是最終的不確定度δx為 (6):

(6)

試驗中，有許多物理量不能直接通過測量獲得，而需經(jīng)過測量其它物理量而間接獲得。于是，當(dāng)一個物理量涉及間接測量時，其不確定度計算分為兩步：第一步是確定直接測量的物理的不確定度，第二步是確定上述直接不確定度時怎樣進行‘傳遞’的，換句話說就尋找它們之間的函數(shù)關(guān)系式，從而計算出最終的不確定度。

不確定度δx與相對不確定度之間的關(guān)系如下：

相對不確定度=δx/|x|

(7)

其中|x|是x的期望值，相對不確定度是無量綱量。

(8)

通過簡單的計算可得不確定度δf:

(9)

變異系數(shù)CV(%))是衡量實驗中各測量量數(shù)值變異程度的一個統(tǒng)計量[4]，它的定義為標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的比值：

(10)

變異系數(shù)可以消除單位和(或)平均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響。

2實驗材料與方法

5個同一廠家同一型號的乒乓球，并且分別用數(shù)字1-5在球上進行標(biāo)示。第一步：用精度為0.005cm的游標(biāo)卡尺對每個乒乓球外直徑進行10次的測量，且每次測量時位置不同，于是得到50個測量值。第二步：用精度為5mg的分析天平對每個乒乓球進行10次測量；第三步：利用注射器給每個乒乓球注滿水。由于注射器的針頭直徑較小，所以對乒乓球形狀影響較小可忽略。第四步：利用上述同一分析天平進行對每個注滿水的乒乓球進行10次測量。于是，得到以下測量量：乒乓球的外直徑(RE)、空乒乓球的質(zhì)量(ME)、注滿水的乒乓球的質(zhì)量(Mw)。通過一些簡單計算還可得到以下物理量：乒乓球注滿水時的水的體積(即乒乓球內(nèi)體積)(Vw)、乒乓球的內(nèi)直徑(RI)。最后，利用公式4，計算出乒乓球的轉(zhuǎn)動慣量。

3實驗結(jié)果

見表。

注：倒數(shù)第3行中括號里的數(shù)字表示的是不確定度，例如3.975(5)cm表示的是 (3.975 ± 0.005)cm

注：括號里的不確定度根據(jù)方程5計算，乒乓球內(nèi)體積即水的體積

注：內(nèi)直徑根據(jù)公式(3)計算出來

注：乒乓球的轉(zhuǎn)動慣量的不確定度(δIS)通過它的平均值(|IS|) 乘以空乒乓球質(zhì)量的相對不確定度(δm/|m|)與其內(nèi)、外直徑的相對不度額定度之和(δR/|R|)(如公式9)

4討論

分析表1-5，不難發(fā)現(xiàn)測量數(shù)據(jù)(乒乓球的質(zhì)量、外直徑、充滿水時的質(zhì)量)與文獻(xiàn)5的結(jié)果相似。這是由于實驗所使用的乒乓球是一星級的常用乒乓球，其質(zhì)量在2.35到2.63g之間，圓度誤差小于0.25mm，硬度小于1.10mm。這類乒乓球常用于學(xué)校、軍隊等其它業(yè)余比賽活動。換句話說，實驗中用的乒乓球是最常用普通乒乓球，在普通市場均買到。

所以不難得到以下結(jié)論：空乒乓球的質(zhì)量是影響其轉(zhuǎn)動慣量的主要因素，而內(nèi)、外直徑則是次要因素。這主要是由內(nèi)外直徑間相差較小所致。

乒乓球2的外直徑的變異系數(shù)最大，球4和5最小(表1)；空乒乓球4和5質(zhì)量的變異系數(shù)相等，球1-3的變異系數(shù)也相等，但前者小于后者。注滿水時乒乓球質(zhì)量的變異系數(shù)均相等。所以球4和5的數(shù)據(jù)測量較為集中，離散度較小。

5結(jié)論

本文介紹了物理實驗中的不確定度的一些基本概念(如不度額定度傳遞性)并通過測量乒乓球的轉(zhuǎn)動慣量來驗證。驗證發(fā)現(xiàn)空乒乓球的質(zhì)量是影響對其轉(zhuǎn)動慣量的主要因素，而內(nèi)、外直徑卻是次要因素。并利用變異系數(shù)來評估測量的實際變化。

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[9]OttR.L.andLongneckerM.AnIntroductiontoStatisticalMethodsandDataAnalysis5thedn[M].2001(PacificGrove,CA:Duxbury).

AssessingUncertaintyofIndirectMeasurementinaSimpleExperiment

CAOXian-sheng

(ChangzhouUniversity,JiangsuChangzhou213164)

Keywords：rotationalinertia；uncertainty；indirectmeasurement

Abstract：Itdescribeshowtocalculatemeasurementuncertaintiesusingasapracticalexampletheassessmentoftherotationalinertiaofthesphericalshelloftheping-pongballs.Themassesoftheemptyping-pongballsaretheinfluenceoftherotationalinertiaoftheping-pongballmajorfactor,internalandexternaldiameterlessinfluencefactors.

收稿日期：2016-01-31

文章編號：1007-2934(2016)03-0122-04

中圖分類號：O4-34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.032