陳　璐

(嶺南師范學(xué)院，廣東 湛江　524048)

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兩個線性變量實驗數(shù)據(jù)處理的研究

陳璐

(嶺南師范學(xué)院，廣東 湛江524048)

摘 要：對實驗數(shù)據(jù)處理中經(jīng)常遇到的線性參數(shù)估計和作為間接測量量計算的問題進(jìn)行了分析、比較。指出最小二乘參數(shù)不確定度不同時應(yīng)該使用不同的對應(yīng)公式，如果此情況下將參數(shù)作為間接測量量計算，往往更方便、簡單。

關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)處理；線性參數(shù)估計；最小二乘法；間接測量量

對兩個變量x、y進(jìn)行線性擬合和參數(shù)估計在實驗中經(jīng)常遇到。但線性參數(shù)估計和線性擬合應(yīng)該是兩個概念。線性擬合的目的是尋求y與x之間的函數(shù)關(guān)系或驗證它們之間的線性關(guān)系，線性參數(shù)估計的目的則是在假設(shè)y與x之間為線性關(guān)系y=a+bx時求出參數(shù)a、b的最佳估計值。對同一組實驗數(shù)據(jù)，目的不同，處理方法也應(yīng)該不同。本文提出了同一組數(shù)據(jù)的3種處理方法，進(jìn)行了分析、比較。

1理論分析

兩個線性變量x，y的n組測量值(xi,y)，如果xi足夠準(zhǔn)確，yi為等精度測量、沒有或消除了系統(tǒng)誤差，則由

y=a+bx

(1)

用最小二乘法原理可得到參數(shù)a、b的最佳估計值[1]

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

從數(shù)學(xué)上看，(3)式與(6)式的差別僅在于解正規(guī)方程

(9)

(10)

(11)

另一方面，如果在此情況下將參數(shù)b作為間接測量量對待，把每組測量值(xi,y)直接代人(1)式，就可得到一個對應(yīng)的bi，因為每組測量量是相互獨立的，bi計算結(jié)果的分布也應(yīng)該是隨機(jī)分布或近似正態(tài)分布，所以b的最佳估計值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差也可用下式計算：

(12)

相對而言，(12)式的計算較為簡單、直觀。

2實驗及應(yīng)用

為了對上述三種數(shù)據(jù)處理方法進(jìn)行比較，使用文獻(xiàn)[3]或[4]的數(shù)據(jù)。

用伏安法測電阻，測得數(shù)據(jù)為[3-4]

方法1：直接用最小二乘法公式，由(3)、(4)、(5)式，得：

方法2：將參數(shù)a(=0)作為已知測量量，由(6)、(7)、(8)式，得：

方法3：將參數(shù)b作為間接測量量，由數(shù)據(jù)表(第三行)和(12)式，得：

明顯看出，在相同置信概率情況下，方法2和方法3好于方法1，而方法3與方法2相當(dāng)，但計算相對簡單。

由此，我們覺得應(yīng)把線性參數(shù)估計與線性曲線擬合兩個概念區(qū)分開來[5-7]，不宜用統(tǒng)一公式處理。即便是同一組數(shù)據(jù)，目的不同，處理方法也應(yīng)不同。如上面的例子中，如果目的是測電阻，則應(yīng)該用(6)式或(12)式，即方法2或方法3，如果目的是尋找電流與電壓的關(guān)系，或驗證歐姆定律，則應(yīng)該用(2)、(3)式，即方法1。這主要是因為，進(jìn)行線性參數(shù)估計時，這種做法本身就意味著假設(shè)函數(shù)關(guān)系y=a+bx(1)式是絕對正確的(如它已由理論和大量實驗和經(jīng)驗證實)，我們的目的只是尋求參數(shù)a和b的最佳估計值(數(shù)學(xué)期望值)，所以在a為已知時，最好用(5)式或(12)式估計b值；而如果我們的目的是尋找y與x之間的函數(shù)關(guān)系或驗證它們之間的線性關(guān)系，則應(yīng)該用(2)、(3)式，這步結(jié)束后，按道理還應(yīng)對其進(jìn)行線性統(tǒng)計假設(shè)的檢驗，即計算、分析關(guān)聯(lián)系數(shù)。

3結(jié)論

雙變量線性擬合和參數(shù)估計時應(yīng)該根據(jù)目的不同使用不同數(shù)據(jù)處理方法。最小二乘參數(shù)公式適用于二變量線性擬合問題，但當(dāng)已知二變量為線性關(guān)系、參數(shù)a的不確定度遠(yuǎn)高于b的不確定度情況時，b的最佳估計值應(yīng)該使用不同公式計算，如果此情況下將參數(shù)b作為間接測量量計算，往往更簡單、方便。

論文得到陳冠英教授的悉心指導(dǎo)，深表謝意。

參考文獻(xiàn)：

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Analysis of Two Linear Variable Experimental Data Processing

CHEN Lu

(Lingnan Normal University，Guangdong Zhanjiang 524048)

Key words：data processing；linear parameters estimation；least-square method；indirect measurements

Abstract：Often encountered in the experiment data processing of linear parameters estimation and which as the problem of the indirect measurements calculation are analyzed and compared.Points out for different least-squares parameter values of uncertainty should use different corresponding formula,and if this case as using indirect measurements of calculation,tend to be more convenient and simple.

收稿日期：2016-02-14

基金項目：嶺南師范學(xué)院“創(chuàng)新強(qiáng)校工程”項目

文章編號：1007-2934(2016)03-0126-03

中圖分類號：O441.1；O4-34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.003.033