浙江省湖州中學(xué)　　朱月華　　李連方　　(郵編：313000)

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如何成就必要條件
——絕對(duì)值不等式在函數(shù)最值中的應(yīng)用

浙江省湖州中學(xué)朱月華李連方(郵編：313000)

二次函數(shù)與絕對(duì)值都是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.其中含參數(shù)絕對(duì)值的二次函數(shù)，由于涉及思想方法多、綜合性強(qiáng)、分析能力要求高等特點(diǎn)，在高考中也常有體現(xiàn).隨著浙江省數(shù)學(xué)高考“導(dǎo)數(shù)退位，函數(shù)扶正”，含參絕對(duì)值二次函數(shù)的題型在各種模擬卷中屢屢出現(xiàn)，尤其是含二元參數(shù)的問(wèn)題更是讓學(xué)生感到很棘手.下面筆者結(jié)合一堂教學(xué)課，也談解法，更貴反思，望同行批評(píng)指正.

1案例呈現(xiàn)

師：那么f(x)的最值該怎么求？

師：現(xiàn)在最大值已經(jīng)找到，該考慮如何求M(a,b)的最小值.

師：很好，由于分類(lèi)討論后a+t分范圍已知，所以把它當(dāng)作一個(gè)整體，利用絕對(duì)值不等式消去另一個(gè)參數(shù)a2,求得了M的范圍，所以第二類(lèi)應(yīng)該怎么做？

師：很好，學(xué)生4學(xué)了第一類(lèi)的做法，成功消去了a2,那么其他同學(xué)都是這樣消去a2的嗎？

生5：我用的是

生6：這樣的話，消去a2的方法有很多，最小值到底是多少呢？(學(xué)生茫然)

師：其實(shí)，我們前面利用絕對(duì)值不等式得到了M的范圍，都是必要條件，要想得到最小值，必須驗(yàn)證等號(hào)是否能取到.現(xiàn)在請(qǐng)大家算一下，生4和生6等號(hào)是否能取到？

生4：我這樣做，等號(hào)取到的條件是：

生5：我這樣做，等號(hào)取不到.

評(píng)注對(duì)于這種含二元參數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題，我們利用可疑點(diǎn)找到函數(shù)的最大值后，利用絕對(duì)值不等式消去一個(gè)元，再利用函數(shù)的思想得到最大值的最小值.但這只是一個(gè)必要條件.由于消去一元的方法不唯一，所以必須驗(yàn)證等號(hào)是否能取到.就像我們這里的生5，這樣消元，是不能求出最小值的.

師：其實(shí)在上題的結(jié)論中我們發(fā)現(xiàn)，最終等號(hào)取到的條件是t+a=-1,即-a=t+1,且f(t)=f(t+2)=-f(-a)=M,那么再請(qǐng)大家思考，我能否利用必要條件，直接把兩元都消去？

師：我們一起試試看，行不行？

評(píng)注對(duì)于這種含二元參數(shù)的絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題，若要利用絕對(duì)值不等式消去二元，必須要有三個(gè)不等式，即用兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，而最終要使得等號(hào)能取到，必須是兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值相等，并且等于極值的相反數(shù).所以對(duì)于二次函數(shù)的問(wèn)題，取的極值點(diǎn)必須是兩端點(diǎn)的中點(diǎn).

2方法應(yīng)用

如果利用必要條件:

然后利用絕對(duì)值不等式，消去參數(shù)a、b.

為了最終取到等號(hào)，則設(shè)

3推廣函數(shù)類(lèi)型，總結(jié)提煉方法

區(qū)間[-1,1]上是單調(diào)的，為了成就必要條件，f(-1)與f(1)的符號(hào)相反，應(yīng)該利用絕對(duì)值不等式：

2(m+n)M≥

(收稿日期：2016-04-15)