王海光

（重慶交通大學(xué)機(jī)電與汽車工程學(xué)院，重慶 400074）

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滿意度動(dòng)態(tài)加權(quán)法在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化中的應(yīng)用研究

王海光

（重慶交通大學(xué)機(jī)電與汽車工程學(xué)院，重慶 400074）

摘 要：為了研究結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化中構(gòu)造不同評價(jià)函數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響，以商用車車架為模型，分別建立了線性加權(quán)法、平方和加權(quán)法和折衷規(guī)劃法三種不同的帶有權(quán)重的目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)將決策論中滿意度理論引入多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的評價(jià)函數(shù)的構(gòu)造中，該方法可以使權(quán)重比的設(shè)定隨每次迭代結(jié)果調(diào)整，從而消除多工況權(quán)重比對優(yōu)化結(jié)果的影響，避免傳統(tǒng)方法中人為設(shè)定權(quán)重比對優(yōu)化結(jié)果造成的偏差，使對比分析結(jié)果更加合理。

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)優(yōu)化；滿意度；多工況

10.16638/j.cnki.1671-7988.2016.04.016

CLC NO.: TH12Document Code: AArticle ID: 1671-7988 (2016)04-45-03

引言

近年來，拓?fù)鋬?yōu)化研究中多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究比重越來越大，在工程中結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題常通過構(gòu)建評價(jià)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)樵u價(jià)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。顯然，如何建立合理的評價(jià)函數(shù)是實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的關(guān)鍵[1]。范文杰等人[2]采用折衷規(guī)劃法建立多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的評價(jià)函數(shù)，并將此數(shù)學(xué)模型應(yīng)用于汽車車架結(jié)構(gòu)，同時(shí)提高了車架的動(dòng)態(tài)振動(dòng)頻率和結(jié)構(gòu)剛度。李所軍等人[3]以揉度為目標(biāo)，體積分?jǐn)?shù)為約束，采用優(yōu)化準(zhǔn)則法構(gòu)建評價(jià)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

對于同一個(gè)研究對象，針對多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，可以采用不同的評價(jià)函數(shù)，而各種不同的評價(jià)函數(shù)得到的優(yōu)化結(jié)果也會(huì)存在差異[4]，對于這些優(yōu)化結(jié)果差異的研究卻沒有得到足夠的重視，孫曉輝等人[5]以汽車懸掛系統(tǒng)的擺臂結(jié)構(gòu)為模型，建立五種不同的評價(jià)函數(shù)數(shù)學(xué)模型，通過對五種優(yōu)化模型設(shè)計(jì)結(jié)果的對比分析，說明不同優(yōu)化模型的優(yōu)劣。孫哲[6]以壓縮機(jī)支架結(jié)構(gòu)為模型，建立了三種不同的帶有權(quán)重的評價(jià)函數(shù)，取不同權(quán)重系數(shù)時(shí)，比較三種不同評價(jià)函數(shù)之間的優(yōu)化結(jié)果。但以上文中評價(jià)函數(shù)中各工況之間的權(quán)重系數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定的某一特定值，即權(quán)因子是靜態(tài)的，在權(quán)重系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，會(huì)影響最終的對比分析結(jié)果?；谏鲜鋈毕?，本文通過引入決策論中的滿意度理論，將權(quán)重系數(shù)由靜態(tài)的轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)態(tài)的，消除權(quán)重對優(yōu)化結(jié)果的影響，建立了含有滿意度的三種不同的帶有權(quán)重的評價(jià)函數(shù)，并通過對比分析最終的優(yōu)化結(jié)果，說明各不同評價(jià)函數(shù)在滿意度理論下的差異及優(yōu)劣。

1、多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化評價(jià)函數(shù)

處理多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的方法常見的有約束法，分層序列法，評價(jià)函數(shù)法等[7]。其中，評價(jià)函數(shù)法是將多個(gè)分目標(biāo)轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)值的函數(shù)，即是評價(jià)函數(shù)，也稱為目標(biāo)函數(shù)，然后通過對評價(jià)函數(shù)的優(yōu)化，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)來求解[8]。本文以商用車車架為模型，以車架的揉度和動(dòng)態(tài)頻率為目標(biāo)，同時(shí)考慮商用車行駛過程中最常見的三種典型工況：彎曲工況，右前輪懸空和右后輪懸空，分別采用線性加權(quán)法，平方和加權(quán)法和折衷規(guī)劃法來建立多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的評價(jià)函數(shù)。

1.1 線性加權(quán)法

線性加權(quán)法是處理多目標(biāo)優(yōu)化問題常用的一種比較簡便的方法。本文中建立的線性加權(quán)法數(shù)學(xué)模型如下：Minimize：

式中：Ci(ρ ) 為第i個(gè)工況的揉度目標(biāo)函數(shù)，ωi為第i個(gè)工況的權(quán)重系數(shù)，fi(ρ )為第i階頻率目標(biāo)函數(shù)，ωi'為各階頻率的權(quán)重系數(shù)，因?yàn)楸疚闹豢紤]商用車行駛的三種工況和前三階頻率，所以k取1,2,3。ω為頻率與揉度兩目標(biāo)之間確定的權(quán)重值，這里取值為0.5。

1.2 平方和加權(quán)法

平方和加權(quán)法首先需要求出各分目標(biāo)單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化時(shí)的最優(yōu)解，再引入權(quán)重系數(shù)，消除量綱后，通過迭代計(jì)算，最終找到使各分目標(biāo)盡量最優(yōu)的理想點(diǎn)。本文建立的平方和加權(quán)法數(shù)學(xué)模型如下：Minimize：

式中Cmin和Cmax分別為揉度單目標(biāo)優(yōu)化所得到的最小揉度和最大揉度，fmin和fmax為頻率單目標(biāo)優(yōu)化所得到的最小頻率和最大頻率。

1.3 折衷規(guī)劃法

折衷規(guī)劃法是目前運(yùn)用最為廣泛的構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的方法，結(jié)合平均頻率公式，可以得到滿足各分目標(biāo)的最優(yōu)解。本文建立的折衷規(guī)劃法數(shù)學(xué)模型如下：Minimize：

2、滿意度動(dòng)態(tài)權(quán)重設(shè)計(jì)

2.1 滿意度的引入

本文中建立了滿意度q和不同迭代值Ci(ρ )和fi(ρ )之間的函數(shù)關(guān)系式如下：

式中：a1和a2的取值分別為2和4，Cil和fil是第i個(gè)分目標(biāo)的最壞值，Cid和fid是第i個(gè)分目標(biāo)的最理想值。

2.2 權(quán)重的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)

權(quán)重因子iω和'iω分別表示是各工況和各階頻率間的重要程度。本文將權(quán)重的設(shè)計(jì)和滿意度結(jié)合，建立權(quán)重因子和滿意度之間的函數(shù)關(guān)系，研究滿意度動(dòng)態(tài)權(quán)重下，各構(gòu)建不同目標(biāo)函數(shù)方法的可行性，再對優(yōu)化結(jié)果比較，分析滿意度動(dòng)態(tài)權(quán)重下，不同目標(biāo)函數(shù)對車架揉度和頻率的影響。本文構(gòu)建的權(quán)重因子表達(dá)式如下：

結(jié)合（1），（3）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)分目標(biāo)Ci接近其最優(yōu)值Cid時(shí)，qi就會(huì)增大，相應(yīng)的造成1-qi減小，從而使此分目標(biāo)對應(yīng)的權(quán)重因子iω減小，當(dāng)進(jìn)入下一步迭代時(shí)，主要會(huì)向權(quán)重因子大的分目標(biāo)的方向進(jìn)行，從而使該分目標(biāo)的優(yōu)化速度下降，相當(dāng)于一個(gè)懲罰因子，自動(dòng)調(diào)節(jié)了各分目標(biāo)的權(quán)重因子，使各分目標(biāo)達(dá)到了優(yōu)化過程中的綜合平衡。使用這種方法，可以在迭代過程中，權(quán)重因子隨迭代值變化，且調(diào)節(jié)了各分目標(biāo)之間的重要程度，當(dāng)分目標(biāo)接近最優(yōu)值時(shí)，就自動(dòng)減小其權(quán)重，減小向此方向的優(yōu)化速度，相反，則自動(dòng)加大權(quán)重因子，加大優(yōu)化速度，使迭代過程連續(xù)尋優(yōu)，最終找到各分目標(biāo)都滿意的最優(yōu)值。此外，這種方法消除了權(quán)重的影響，較為有利的去判斷各方法在此動(dòng)態(tài)權(quán)重下的優(yōu)劣。

3、車架有限元模型建立

3.1 車架模型建立

本文建立的商用車車架模型輪廓總長5700mm，寬780mm，高為120mm，在CATIA中建立實(shí)體模型后導(dǎo)入HyperWorks中，采用PSOLID三維實(shí)體單元對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，劃分網(wǎng)格時(shí)，將設(shè)計(jì)空間分為設(shè)計(jì)域和非設(shè)計(jì)域，優(yōu)化時(shí)，不改變非設(shè)計(jì)區(qū)域的形態(tài)，只在設(shè)計(jì)區(qū)域中挖掉多余的部分，剩余形狀即為最后的優(yōu)化結(jié)果。車架所選材料為16Mn，彈性模量E=2.1′1011Pa ，泊松比μ=0.3，密度ρ=7900kg/ m3，最終的有限元模型如圖1所示：圖中綠色區(qū)域?yàn)樵O(shè)計(jì)域，紅色區(qū)域?yàn)榉窃O(shè)計(jì)域。

3.2 車架的邊界條件和載荷

汽車在行駛過程中，車輪是純滾動(dòng)的，當(dāng)在平坦路面行駛時(shí)，即是對應(yīng)車架的彎曲工況。此工況下，后懸架前支撐限制車架的縱向自由度，橫向自由度和垂直自由度，其余支架只限制鉛垂自由度。車架的其余兩種工況屬于彎扭聯(lián)和工況，模擬的是汽車在不平坦的路面上行駛，某一車輪懸空而抬高的受力狀態(tài)，此時(shí)，釋放對應(yīng)車輪處的約束，其余約束保持和彎曲工況一致不變。

本文車架所受的基本載荷主要?dú)w納為：駕駛室總成和駕駛員重量，共4800N，平均分配到駕駛室前后支撐位置。發(fā)動(dòng)機(jī)總成重量1800N，前后分成兩部分承載，平均分配到發(fā)動(dòng)機(jī)前后支撐位置。滿載時(shí)，車廂和貨物總重量48000N，設(shè)定車架承載影響系數(shù)為0.75，所以實(shí)際承受載荷48000× 0.75=36000N，垂直作用于車架與貨箱裝配的位置，即車架紅色區(qū)域后端。載荷情況及邊界條件如圖2所示：

圖2　車架的邊界條件和載荷

4、優(yōu)化結(jié)果及對比分析

4.1 優(yōu)化過程及結(jié)果

本文在HyperWorks軟件中進(jìn)行優(yōu)化，先以各工況的剛度最大為目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，這里將剛度最大轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)變能最小，即揉度最小，確定各工況下的Cmin的值，而優(yōu)化前的揉度值即為Cmax。三工況單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的Cmax和Cmin數(shù)據(jù)如下。

表1　三工況單目標(biāo)優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)果

隨后再分別以一、二、三階的固有頻率最大為目標(biāo)進(jìn)行單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，優(yōu)化結(jié)果得到fmax的值。而優(yōu)化前各階固有頻率值為fmin，前三階固有頻率單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的fmax和fmin數(shù)據(jù)如表2所示：

表2　前三階頻率單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

在HyperWorks中迭代計(jì)算，得到三種方法在滿意度動(dòng)態(tài)加權(quán)下的優(yōu)化結(jié)果。優(yōu)化結(jié)果如下圖3至圖5所示：

圖3　折衷規(guī)劃法

圖4　平方和加權(quán)法

圖5　線性加權(quán)法

4.2 優(yōu)化結(jié)果的對比分析

由上圖可知，三種方法建立的數(shù)學(xué)模型，均能實(shí)現(xiàn)車架的拓?fù)鋬?yōu)化，且各方法優(yōu)化后的幾何構(gòu)型相差不大，正如表三和表四所示，這和最后的目標(biāo)揉度，頻率的優(yōu)化結(jié)果數(shù)據(jù)基本相同相照應(yīng)。同時(shí)，優(yōu)化結(jié)果是不受權(quán)重系數(shù)所影響的，是在動(dòng)態(tài)中尋優(yōu)所達(dá)到的最優(yōu)值。根據(jù)表三和表四可以對比分析得到，結(jié)合滿意度動(dòng)態(tài)加權(quán)，消除權(quán)重影響，線性加權(quán)法對車架結(jié)構(gòu)的揉度優(yōu)化效果明顯，折衷規(guī)劃法使車架結(jié)構(gòu)的頻率優(yōu)化達(dá)到最大。最終優(yōu)化目標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)果如下表所示：

表3　頻率優(yōu)化結(jié)果

5、結(jié)論

本文采用滿意度動(dòng)態(tài)加權(quán)法，消除了多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)中權(quán)重的影響，使線性加權(quán)法，平方和加權(quán)法，折衷規(guī)劃法三種方法的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化得以實(shí)現(xiàn)，同時(shí)通過對比分析三種方法的優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

1）在滿意度動(dòng)態(tài)加權(quán)下，三種方法優(yōu)化后的幾何構(gòu)型差別不大，其中線性加權(quán)法的優(yōu)化后幾何構(gòu)型有稍許差別，這與揉度，頻率優(yōu)化后結(jié)果數(shù)據(jù)相差不大所對應(yīng)。

2）在滿意度動(dòng)態(tài)加權(quán)下，線性加權(quán)法對車架剛度的優(yōu)化效果較顯著，而折衷規(guī)劃法對車架頻率的優(yōu)化效果明顯。實(shí)際問題中，可以選擇適合的優(yōu)化方法，對優(yōu)化結(jié)果有重要影響。

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中圖分類號：TH12

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1671-7988(2016)04-45-03

作者簡介：王海光，就讀于重慶交通大學(xué)機(jī)電與汽車工程學(xué)院。

Application research of satisfaction dynamic weighting method on the optimization of multi-objective topology

Wang Haiguang
( College of Mechatronics＆Automotive Engineering, Congqing jiaotong University, Chongqin 400074 )

Abstract:To study the effect of different evaluation functions on the optimization results, a commercial vehicle frame as a model, three methods,namely weighted linear sum method,weighted squares method and compromise programming method applied to construct three mathematical models, respectively,at the same time, the theory of satisfaction degree is introduced into the evaluation function of multi-objective topology optimization.this method can be adjusted as the change of every object after each optimization, to avoid the deviation caused by the weight ratio which is setted by traditional method to the optimization results, to make the comparative analysis of the results more reasonable.

Keywords:multi-objective optimization; satisfiability; multi-load cases