李麗娟　梁靖昌

摘要：針對工程結構多目標優(yōu)化設計中出現的約束條件處理能力差、編程復雜，計算效率低且收斂精度差等問題，對啟發(fā)式粒子群算法（HPSO）進行改進，提出了多目標啟發(fā)式粒子群算法（MOHPSO），并與多目標粒子群算法（MOPSO）和改進的多目標群搜索算法（IMGSO）進行比較。通過對15桿平面桁架、40桿平面桁架和72桿空間桁架3個經典算例的計算，證明了所提出的MOHPSO算法的有效性。結果表明：MOHPSO算法具有收斂精度高、約束處理能力強、全局最優(yōu)解選取更合理、非劣解集維護效率高等特點。

關鍵詞：桁架結構；啟發(fā)式粒子群；多目標優(yōu)化；約束改進；收斂精度

中圖分類號：TU318文獻標志碼：A

Abstract： According to the common problems in the multiobjective optimization of engineering structures， such as difficulties in dealing with the constraints， the complexity of programming， low calculating efficiency and bad convergence precision， a multiobjective heuristic particle swarm optimizer （MOHPSO） was proposed by improving the heuristic particle swarm optimizer （HPSO）. Then the MOHPSO was compared with multiobjective particle swarm optimizer （MOPSO） and improved multiobjective group search optimizer （IMGSO）. Through three classic examples of 15bar plane truss， 40bar plane truss and 72bar spatial truss structure， the validity of MOHPSO was proved. The results show that the MOHPSO has better convergence accuracy， constraint handling is powerful， the global optimal solution selection is more reasonable and the maintenance efficiency of the noninferiorsolution set is much higher.

Key words： truss structure； heuristic particle swarm optimizer； multiobjective optimization； improved constraint handling； convergence accuracy

0引言

優(yōu)化問題按目標函數數量可劃分為單目標優(yōu)化和多目標優(yōu)化[1]，盡管近60%的研究是有關單目標優(yōu)問題[12]，但實際工程絕大多數是多目標問題優(yōu)化[3]。結構優(yōu)化設計一般包括尺寸優(yōu)化[46]、形狀優(yōu)化[78]和拓撲優(yōu)化[910]等。對多目標優(yōu)化問題，經典的處理方式是將其以加權的方式轉化為單目標優(yōu)化問題進行求解[11]，由于加權因子難以精確確定，研究者一直在尋求更合理的多目標優(yōu)化問題求解方法，其中基于Pareto最優(yōu)解思想的方法得到廣泛關注[12]，包括基于群智能的多目標遺傳算法[12]、多目標粒子群算法[13]、改進的多目標群搜索算法[14]等。

本文在啟發(fā)式粒子群算法（HPSO）[7]的基礎上，結合Pareto最優(yōu)解理論、自適應網格機制[13]和過度可行域[14]，提出了一種適用于結構多目標優(yōu)化設計的實用算法，即多目標啟發(fā)式粒子群算法（MOHPSO），并將其應用到桁架結構優(yōu)化中，試驗結果表明，該算法的收斂精度優(yōu)于目前性能優(yōu)異的多目標粒子群算法（MOPSO）和改進的群搜索算法（IMGSO），具有較好的應用前景。

1啟發(fā)式粒子群算法

啟發(fā)式粒子群算法是在粒子群算法（PSO）[15]的基礎上改進并提出的單目標優(yōu)化算法。

2多目標啟發(fā)式粒子群算法

鑒于啟發(fā)式粒子群算法在單目標優(yōu)化中具有良好的收斂速度和精度，同時也考慮到基于粒子群算法的多目標優(yōu)化算法[13]在多目標優(yōu)化中的廣泛應用，本文在HPSO的主程序上引入在MOPSO中應用的Pareto最優(yōu)解集合處理方法——自適應網格機制，以實現基于HPSO的多目標優(yōu)化算法。

2.1全局最優(yōu)解的選取

自適應網格技術[13]是應用在MOPSO中處理非劣解集的方法，相對于擁擠度計算機制，自適應網格的管理更為合理，主要體現在其收集的非劣解分布均勻，同時可有效地選取全局最優(yōu)解。本文在采用自適應網格選取全局最優(yōu)解時加入禁忌表[14]進行改進，其計算規(guī)則如下：

（1）非劣解集的維護與更新：①當非劣解集中為空時，新解直接放進非劣解集中；②若新解被非劣解集中的解支配，丟棄新解；③若新解支配非劣解集中的解，加入新解，并去掉被支配的解；④當新解與非劣解集中解互為非支配關系時，加入新解；⑤對于加入新解的情況，若加入的時候非劣解集已經達到容量最大值，且其值在當前網格范圍內，則加入前含有個體數目最大的網格將等概率地被選中一個，然后對該網格中的個體隨機刪除一個；⑥若加入新解的時候，新解不在目前網格的范圍內，則重新劃分網格。

（2）整體最優(yōu)解Pkg的選取：對于包含個體的網格，以賭羅盤[13]的方式選中一個，其中包含個體數越大的網格在羅盤中占的比例越小，當網格被選中以后，再隨機選取網格中的一個個體作為全局最優(yōu)Pkg。此時，該個體被記錄到禁忌表中，如果新個體與禁忌表中的個體重復，那么Pkg將再一次通過賭羅盤的方式重新選擇，直至其與禁忌表中個體不重復為止。禁忌表的引入可以有效地避開出現相同的Pkg，因此能加強種群的多樣性。

2.2變異算子

多目標粒子群算法是一個收斂速度相當快的算法，當處于迭代前期時，該算法有較大可能陷入局部最優(yōu)解，帶來的是收斂精度不高。因此Coello等[13]在MOPSO中加入被廣泛用于遺傳算法中的變異算子，其計算公式如下

當隨機數的值滿足式（3），對應的個體將再次產生一個隨機數，并運行公式（4）的變異操作；文獻[13]建議變異率R取值為0.5。由于在迭代后期，過渡可行域的范圍和變異率的值都不大，當達到一定的迭代次數后，兩者的取值都歸零，本文建議的迭代次數為int（Imax/3），int為取整函數。

2.3過渡可行域

過渡可行域允許一些違反約束條件的個體當作可行解，由于這些偽可行解可能具有較好的適應度值，因此能幫助種群找到最優(yōu)解，同時利用了原本被丟棄的不可行解，提高了優(yōu)化的效率。在改進的多目標群搜索算法[14]中，為了避免不可行解對最終優(yōu)化結果的可行性造成影響，在迭代過程中每經過k次迭代后過濾掉不可行解，k的取值為0.3Imax。

MOHPSO算法流程如下：

（1）隨機地初始化粒子群的位置、速度。

（2）對種群中所有粒子計算適應度值，并檢查每個粒子是否處于過渡可行域，若不處于過渡可行域，則重新初始化，至所有粒子都在過渡可行域內為止。

（3）由步驟（2）得到在過渡可行域內的初代粒子群初始化Pbest，同時根據自適應網格技術生成外部精英集，并從中選取個體作為Pg。

（4）按公式（1），（2）更新粒子群的速度與位置，其后執(zhí)行變異算子，對超出位置向量的任一維分量（如第j維）許可范圍的粒子取該邊界值，如大于上邊界時，取上邊界值，小于下邊界時，取下邊界值（拉回自變量邊界）。

（5）計算新一代粒子群的適應度值。

（6）檢查每個粒子的位置是否違反了約束條件，若粒子飛出了約束條件邊界，則采用“回飛技術”[7]使其返回原來的位置。

（7）更新Pbest和Pg，收集非支配解，根據自適應網格技術更新和維護外部精英集，然后采用自適應網格技術從中選取個體作為Pg。

（8）若滿足終止條件，結束優(yōu)化，否則返回步驟（4）進行迭代。4算例分析

3個算例算法參數設置如下：種群大小為300，迭代次數為300，非劣解集的容量大小為50；MOHPSO與MOPSO變異率為0.5，各維網格劃分數為30；MOHPSO和IMGSO過渡可行域的范圍分別取0.5倍和0.1倍的位移、應力允許值。

4.115桿平面桁架

相對前2個算例，該算例各算法收斂的曲線比較接近。IMGSO獨立運行5次的優(yōu)化結果如圖13所示，該算法依然出現收斂不穩(wěn)定、收斂精度較差的問題，僅1次獨立運行非劣解分布在范圍7.491～9.534 t上，說明了IMGSO在該優(yōu)化問題中的收斂離散性較大；MOPSO和MOHPSO在該算例中的收斂情況基本一致，如5次獨立運行收斂穩(wěn)定，得到的非劣解支配了IMGSO，較優(yōu)的支配優(yōu)勢說明收斂精度良好。從圖16可以看出，MOHPSO在Pareto曲線中部，即1.135 t附近的非劣解，出現了支配MOPSO的情況，但大部分區(qū)域MOPSO與MOHPSO互為非劣關系，且解的分布較為均勻，這也說明了基于粒子群算法的多目標算法是適合解決72桿空間桁架結構優(yōu)化問題的。

在文獻[8]中，多目標群搜索算法（MGSO）在對10桿、25桿和40桿桁架結構的優(yōu)化結果中存在收斂精度不足、收斂速度慢以及非劣解分布不均勻等問題，李麗娟等[14]采用過渡可行域、莊家法和禁忌表等方法分別對MGSO的約束處理能力、非劣解排序和發(fā)現者的選取進行改進并提出改進的多目標群搜索算法（IMGSO），計算結果表明IMGSO的改進方法有一定的有效性和可行性。綜合上述3個桁架結構的優(yōu)化算例可以看出，同樣采用了過渡可行域的MOHPSO算法比IMGSO更加穩(wěn)定，作為MOPSO的改進算法，MOHPSO的收斂穩(wěn)定性大為提高；上述的一些約束處理方法在啟發(fā)式粒子群算法中同樣適用，本文通過測試算例的計算結果說明MOHPSO在約束處理能力上比IMGSO更有力，同時收斂精度有較大提高，說明了過渡可行域算子更適合在粒子群算法中應用。5結語

本文提出了一種新型MOPSO改進算法——多目標啟發(fā)式粒子群算法，其目的是為了有效地改善MOPSO在多約束多目標優(yōu)化問題上的尋優(yōu)能力。通過3個帶約束含離散變量的桁架結構優(yōu)化結果對比，發(fā)現本文改進算法非常有效，主要體現在MOHSPO的收斂效果比較穩(wěn)定，解在Pareto最優(yōu)前端的分布比較均勻，收斂精度較MOPSO和IMGSO有所提高。結果表明，多目標啟發(fā)式粒子群算法是一種能有效應用于結構多目標優(yōu)化研究的新型改進算法。參考文獻：

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