常杰

絕對(duì)值是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的概念，它的應(yīng)用十分廣泛。含有絕對(duì)值符號(hào)的問題也是學(xué)生升入初中以來遇到的第一個(gè)學(xué)習(xí)障礙。那么怎樣解決絕對(duì)值問題呢？本文列舉幾個(gè)常用的方法：

一、理解絕對(duì)值的代數(shù)意義和幾何意義以及絕對(duì)值的非負(fù)性

（1）幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。

（2）代數(shù)意義：①正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身;②負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);③零的絕對(duì)值是零。

也可以寫成：

說明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一個(gè)非負(fù)數(shù);

（Ⅱ）|a|概念中蘊(yùn)含分類討論思想。

1、絕對(duì)值非負(fù)性：

非負(fù)數(shù)之和為零、則絕對(duì)值內(nèi)每一個(gè)式子都為零。即|A|+|B|=0則A=0，B=0

例1.|x+3|+|y-2|=0求x，y

分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：|x+3|=|y-2|=0，

解： ? ?解得：

例2.已知|ab-2|與|a-1|互為相互數(shù)，試求下式的值。

分析：利用絕對(duì)值的非負(fù)性，我們可以得到：|ab-2|=|a-1|=0，解得：a=1，b=2

于是

在上述分?jǐn)?shù)連加求和的過程中，我們采用了裂項(xiàng)的方法，巧妙得出了最終的結(jié)果。同學(xué)們可以再深入思考，如果題目變成求值，你有辦法求解嗎？有興趣的同學(xué)可以在課下繼續(xù)探究。

二、體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論等重要的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用

1、數(shù)形結(jié)合思想

例3.已知a、b、c在數(shù)軸上位置如圖：

則代數(shù)式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（ ?A ?）

A.-3a B. 2c-a C.2a-2b D. b

解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-（a+b）+（c-a）+b-c=-3a

分析：解絕對(duì)值的問題時(shí)，往往需要脫去絕對(duì)值符號(hào)，化成一般的有理數(shù)計(jì)算。脫去絕對(duì)值的符號(hào)時(shí)，必須先確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)各個(gè)數(shù)的正負(fù)性，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義脫去絕對(duì)值符號(hào)。這道例題運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，由a、b、c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置判斷絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)數(shù)的符號(hào)，從而去掉絕對(duì)值符號(hào)，完成化簡(jiǎn)。

例4.已知：x<00，且|y|>|z|>|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（ ? C ? ）

A.是正數(shù)B.是負(fù)數(shù)

C.是零D.不能確定符號(hào)

解：由題意，x、y、z在數(shù)軸上的位置如圖所示：

所以

分析：數(shù)與代數(shù)這一領(lǐng)域中數(shù)形結(jié)合的重要載體是數(shù)軸。這道例題中三個(gè)看似復(fù)雜的不等關(guān)系借助數(shù)軸直觀、輕松的找到了x、y、z三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系，為我們順利化簡(jiǎn)鋪平了道路。雖然例題中沒有給出數(shù)軸，但我們應(yīng)該有數(shù)形結(jié)合解決問題的意識(shí)。

2、分類討論的思想

例5.已知甲數(shù)的絕對(duì)值是乙數(shù)絕對(duì)值的3倍，且在數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)，兩點(diǎn)之間的距離為8，求這兩個(gè)數(shù);若數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)呢？

分析：從題目中尋找關(guān)鍵的解題信息，“數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)的兩側(cè)”意味著甲乙兩數(shù)符號(hào)相反，即一正一負(fù)。那么究竟誰是正數(shù)誰是負(fù)數(shù)，我們應(yīng)該用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決這一問題。

解：設(shè)甲數(shù)為x，乙數(shù)為y

由題意得：|x|=3|y|，

（1）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)兩側(cè)：

若x在原點(diǎn)左側(cè)，y在原點(diǎn)右側(cè)，即x<0，y>0，則4y=8，所以y=2，x=-6

若x在原點(diǎn)右側(cè)，y在原點(diǎn)左側(cè)，即x>0，y<0，則-4y=8，所以y=-2，x=6

（2）數(shù)軸上表示這兩數(shù)的點(diǎn)位于原點(diǎn)同側(cè)：

若x、y在原點(diǎn)左側(cè)，即x<0，y<0，則-2y=8，所以y=-4，x=-12

若x、y在原點(diǎn)右側(cè)，即x>0，y>0，則2y=8，所以y=4，x=12

例6.如果a、b、c是非零有理數(shù)，且a+b+c=0，那么的所有可能的值為（ ? A ? ）

A.0B. 1或-l

C.2或-2D.0或-2

分析： 因?yàn)閍+b+c=0，所以a、b、c、存在兩種情況，即兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)和一個(gè)正數(shù)兩個(gè)負(fù)數(shù)。

當(dāng)兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1，

所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0

3、整體代換思想

例7.方程|x-2008|=2008-x的解的個(gè)數(shù)是（ ?D ?）

A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.無窮多個(gè)

分析：這道題我們用整體的思想解決。將x-2008看成一個(gè)整體，問題即轉(zhuǎn)化為求方程|a|=-a的解，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義我們不難得到，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，所以零和任意負(fù)數(shù)都是方程的解，即本題的答案為D。