劉偉

（天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387）

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化歸在獨(dú)立院校高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的應(yīng)用

劉偉

（天津師范大學(xué) 津沽學(xué)院，天津 300387）

摘要：高等數(shù)學(xué)是獨(dú)立院校理工類專業(yè)的必修課程，但是獨(dú)立院校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱.研究了如何利用化歸思想提高獨(dú)立院校高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)質(zhì)量.

關(guān)鍵詞：化歸；極限；泰勒公式；反常積分；高等數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)是獨(dú)立院校理工類專業(yè)學(xué)生的必修課程，但是獨(dú)立院校學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱.雖然目前國(guó)內(nèi)出版了針對(duì)獨(dú)立院校理工類專業(yè)使用的高等數(shù)學(xué)教材，但是不同院校不同專業(yè)學(xué)生的差距較大.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，不能拘泥于教材，要充分了解學(xué)生的情況，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)娜∩峄蚣庸?，采用適合學(xué)生特點(diǎn)的教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué).

獨(dú)立院校學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱，教師在課堂教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想方法的傳授［1］，有助于學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)知識(shí).由于種種原因，很多獨(dú)立院校高等數(shù)學(xué)課程的課時(shí)非但沒(méi)有增加，反而減少.雖然很多針對(duì)獨(dú)立院校編寫(xiě)的高等數(shù)學(xué)教材已經(jīng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行了精簡(jiǎn)，但是實(shí)際教學(xué)中依然很難將課程知識(shí)全部講完.

因此，教師在教學(xué)中應(yīng)改變教學(xué)觀念，從教知識(shí)轉(zhuǎn)變到教數(shù)學(xué)的思想方法，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.即使課程內(nèi)容不能講完，但是學(xué)生掌握了思想方法，在課下自學(xué)時(shí)就會(huì)容易得多.本文針對(duì)獨(dú)立院校的特點(diǎn)，研究了化歸思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用.

1　化歸的含義及作用

化歸既是人們思考或解決問(wèn)題的基本方法，也是一種數(shù)學(xué)的思維方式.善于使用化歸是數(shù)學(xué)家思維方式的重要特點(diǎn)，也是其在思維方法上的獨(dú)特之處［2］.

化歸是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的簡(jiǎn)稱，其基本思想是：人們?cè)诮鉀Q問(wèn)題時(shí)，常常是將待解決的問(wèn)題A，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個(gè)問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)較易解決或已有固定解決程式的問(wèn)題，且通過(guò)對(duì)問(wèn)題B的解決可得到原問(wèn)題A的解答［3］.

化歸方法和邏輯演繹方法是數(shù)學(xué)家特別重視的2種方法，原問(wèn)題的解和新問(wèn)題的解之間具有十分明確的邏輯關(guān)系和數(shù)學(xué)關(guān)系，通過(guò)化歸可以很快地找到問(wèn)題解決的思路［4］.

在教學(xué)中滲透化歸思想有十分重要的意義.但是化歸作為一種數(shù)學(xué)思想方法，在教材中體現(xiàn)的并不像概念和定理等那樣明顯，如果教師不在教學(xué)中去滲透，學(xué)生很難對(duì)化歸思想有著深刻的理解，因此教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)化歸思想的滲透與訓(xùn)練.

高中所學(xué)習(xí)的解析幾何內(nèi)容就是化歸方法應(yīng)用的典范，解析幾何是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題.但是化歸不僅限于解析幾何，如解二元一次方程組是通過(guò)加減消元法或代入消元法化為一元一次方程.初學(xué)一元二次方程時(shí)，并不是先講公式解法，而是通過(guò)配方法將其化為2個(gè)一元一次方程的乘積，進(jìn)而進(jìn)一步求解.這些問(wèn)題的解決，都體現(xiàn)了將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決問(wèn)題的方法，也就是化歸方法.數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典問(wèn)題或重大創(chuàng)造，很多都是利用化歸方法，如解析幾何及尺規(guī)作圖三大難題的解決.可以看出，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，就是不斷將新問(wèn)題化歸為已解決問(wèn)題，只不過(guò)在轉(zhuǎn)化過(guò)程中往往需要用到很多技巧等.化歸正是新知識(shí)與舊知識(shí)之間的橋梁，學(xué)生掌握了化歸方法，對(duì)于理解知識(shí)，優(yōu)化其數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)都有很大的幫助.

2　化歸在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

對(duì)于高等數(shù)學(xué)知識(shí)而言，學(xué)生初學(xué)時(shí)往往感覺(jué)到知識(shí)內(nèi)容抽象，難度大，不易理解.從化歸的角度來(lái)看，這是因?yàn)閷W(xué)生面對(duì)新知識(shí)時(shí)，往往看到的是書(shū)上一個(gè)個(gè)抽象的概念和定理，不能用化歸的方法找到新知識(shí)與舊知識(shí)間的聯(lián)系，將新舊知識(shí)割裂開(kāi)來(lái)，造成了學(xué)習(xí)上的困難.因此，教師在教學(xué)過(guò)程中更應(yīng)注重利用化歸來(lái)幫助學(xué)生搭建起新舊知識(shí)間的橋梁，提高教學(xué)效率［5］.

2.1 極限教學(xué)

求極限經(jīng)常需要復(fù)雜的恒等變形，學(xué)生在解題過(guò)程中往往感到題目常做常新.教師在教學(xué)過(guò)程中固然要重視各種題型的講解和訓(xùn)練，但是也要重視相關(guān)性質(zhì)和定理的教學(xué).仔細(xì)閱讀教材，可以發(fā)現(xiàn)教材的編排很好地體現(xiàn)了化歸的思想，新問(wèn)題總是轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.只是作為教科書(shū)，化歸的思想是隱藏在字里行間，沒(méi)有明確地寫(xiě)出來(lái).而教師在教學(xué)過(guò)程中正是要將這一點(diǎn)告訴學(xué)生，這樣學(xué)生才能明白教材的編寫(xiě)意圖，這也有利于幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.

以針對(duì)獨(dú)立院校理工類專業(yè)編寫(xiě)的《高等數(shù)學(xué)》［6］46為例，教材中以例題的形式證明了，并不加證明地給出了，但教材中并沒(méi)有指出為什么這樣安排.作為教師要明確，有了，，，利用極限的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的極限及無(wú)窮小量性質(zhì)等，就可以將很多極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這3個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題.

2.2 泰勒公式教學(xué)

泰勒公式一直是高等數(shù)學(xué)課程中的教學(xué)難點(diǎn).泰勒公式的實(shí)質(zhì)是利用多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)足夠光滑的函數(shù)進(jìn)行局部逼近［8］.其教學(xué)主要有2個(gè)難點(diǎn)，一是學(xué)生不了解n次多項(xiàng)式函數(shù).這是由于中學(xué)數(shù)學(xué)課程中并沒(méi)有對(duì)3次以上的n次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行深入研究，所以剛進(jìn)入大學(xué)階段的學(xué)生對(duì)于n次多項(xiàng)式函數(shù)的光滑性以及圖像的走勢(shì)一無(wú)所知.二是學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中沒(méi)有接觸過(guò)“以曲代曲”的思想方法.因此，教師要首先幫助學(xué)生了解多項(xiàng)式函數(shù)的特點(diǎn)，才能幫助學(xué)生產(chǎn)生有效的化歸.

在泰勒公式教學(xué)中，教師可以先給出一些具體的函數(shù)，如f1（x）=x4-2x3+4x2-3x+5，f2（x）=ln（2x+1），f3（x）=sin2x，通過(guò)計(jì)算這些函數(shù)在x分別取1，1.1，1.01時(shí)的函數(shù)值，使學(xué)生體會(huì)多項(xiàng)式函數(shù)在計(jì)算方面的優(yōu)點(diǎn).為了引導(dǎo)學(xué)生想到“以曲代曲”的方法，需要讓學(xué)生再利用微分近似計(jì)算x=1.01時(shí)f2（x）=ln（2x+1）的值.使學(xué)生再一次體會(huì)“以直代曲”在近似計(jì)算中的作用.“以直代曲”本身就是一種化歸的方法，這樣就能進(jìn)一步幫助學(xué)生引出“以曲代曲”，最終推導(dǎo)出泰勒公式.

2.3 反常積分教學(xué)

反常積分包括無(wú)窮區(qū)間上的反常積分（或無(wú)窮積分）和無(wú)界函數(shù)的反常積分（或瑕積分）.以無(wú)窮積

3　結(jié)語(yǔ)

化歸在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多方面還有體現(xiàn)，如重積分、曲線積分和曲面積分最終都是化為定積分來(lái)進(jìn)行計(jì)算，求解二階以及高階常系數(shù)齊次線性方程的特征根法就是把微分方程的求解問(wèn)題化為代數(shù)方程的求根問(wèn)題等.由于高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多，公式繁雜，學(xué)生常常感到難學(xué).其原因往往在于學(xué)生只學(xué)會(huì)了記公式做題，而沒(méi)有從化歸的角度，從本質(zhì)上理解知識(shí)之間的聯(lián)系，導(dǎo)致每做一道題都感覺(jué)到是新題.因此，教師在教學(xué)時(shí)更要注意滲透化歸思想，幫助學(xué)生找到新舊知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高他們的思維能力.應(yīng)當(dāng)注意到，學(xué)生對(duì)化歸的掌握不是一次完成的，化歸的方法也是多樣的，教師在備課中要充分了解教材的整體安排與學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，才能更好地促進(jìn)教學(xué)，最終提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 米山國(guó)藏.數(shù)學(xué)的精神、思想和方法［M］.成都：四川教育出版社，1986

［2］ 鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門(mén)［M］.杭州：浙江教育出版社，2006

［3］ 錢(qián)佩玲.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2008

［4］ 張奠宙，過(guò)伯祥.數(shù)學(xué)方法論稿［M］.上海：上海教育出版社，1996

［5］ 姬利娜，鄭群珍.化歸思想在常微分方程教學(xué)中的應(yīng)用［J］.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012（3）：53-54

［6］ 徐兵.高等數(shù)學(xué)［M］.2版.北京：高等教育出版社，2010

［7］ 王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程分析與實(shí)施策略［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2010

［8］ 楊小遠(yuǎn)，孫玉泉.泰勒公式與插值逼近的教學(xué)與實(shí)踐［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（4）：82-85

The application of reduction method in advanced mathematics teaching in independent colleges

LIU Wei
（Jingu College，Tianjin Normal University，Tianjin 300387，China）

Abstract：Advanced mathematics is a required course for science and engineering majors in independent colleges. However，the students in independent college have relative poor mathematical foundation.Discusses how to use the reduction method to improve the teaching of higher mathematics course in independent colleges from the perspective of reduction method.

Key words：reduction method；limit；Taylor's formula；improper integral；advanced mathematics

中圖分類號(hào)：O13∶G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.019

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0066-04

收稿日期：2016-01-01

基金項(xiàng)目：天津師范大學(xué)津沽學(xué)院教育教學(xué)研究課題（JKⅧ1407541）——數(shù)字媒體技術(shù)專業(yè)高等數(shù)學(xué)教學(xué)探索

作者簡(jiǎn)介：劉偉（1987-），男，河北唐山人，助教，碩士，從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論與數(shù)學(xué)課程論研究.E-mail：reaiyilin@163.com