劉霞　劉福來

摘 要：本文主要介紹非常規(guī)問題的基本含義，采用統(tǒng)計學(xué)方法，分析我國蘇教版、北師大版、人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級教科書中非常規(guī)數(shù)學(xué)問題分布特點，提出了小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中非常規(guī)問題的編寫建議。

“問題解決”在國際數(shù)學(xué)教育中一直是研究熱點。我國也出現(xiàn)了許多有關(guān)“問題解決”的研究文獻，但學(xué)生在問題解決中的表現(xiàn)情況并沒有明顯好轉(zhuǎn)，而國外研究發(fā)現(xiàn)小學(xué)生在問題解決過程中表現(xiàn)不良的原因與教材中的問題解決題所占比重有關(guān)。

本文以蘇教版、北師大版、人教版三個版本為例，對這三個版本的小學(xué)四年級數(shù)學(xué)教科書中的問題解決題所占比重進行統(tǒng)計分析，以此了解學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)問題解決題機會的程度，為我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中非常規(guī)問題解決題編寫提供建議。

一、非常規(guī)問題的基本含義

MAYER對問題解決教學(xué)目標的定義是促進學(xué)生在非常規(guī)問題（如開放性問題）的遷移測驗中的操作，因此問題解決中的“問題”指的是非常規(guī)數(shù)學(xué)問題，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問題。

這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問題，就是指課本中有現(xiàn)成的方法、原理或程序進行解答的數(shù)學(xué)問題。而非常規(guī)數(shù)學(xué)問題，是指無法用現(xiàn)成的常規(guī)方法解決的問題。它不是一個簡單明確的情景，需要創(chuàng)造性思維和應(yīng)用一系列認知策略理解問題的情景來找到一個方法解決這個問題。

本文基于初步的統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，三種版本教科書的非常規(guī)問題都很少，而常規(guī)題很多。于是筆者決定定義一種介于非常規(guī)題和常規(guī)題之間的問題，稱作“灰色區(qū)域題”，它能夠刺激非常規(guī)的解決方法和觸發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。這里把灰色區(qū)域題和非常規(guī)題暫統(tǒng)稱為問題解決題。

為了更清楚區(qū)分常規(guī)題、灰色區(qū)域題和非常規(guī)題的區(qū)別與聯(lián)系，下面列舉了在認知需求上有明顯差異的三個題目。①有一個300mL的杯子，你如何用它來量出2100mL的水？②有一個300mL的瓷杯，一個200mL的玻璃杯和一個250mL的塑料杯。請利用上述杯子，采用不同的方法量1500mL的水。③有兩個分別為5L和3L的水壺，你怎樣用兩個水壺測出4L的水裝到一個大碗中？（你可以將水倒入碗里。）

第一個題只需要運用簡單的算法就能求解：用杯子裝7次水就可以量出2100mL水。第二題需要組合容器才能完成，學(xué)生可以找到不同的方法量出1500mL的水；然而要找出所有的解決方法，學(xué)生需要系統(tǒng)地處理這個問題。第三個題目更復(fù)雜，它是一個真正的非常規(guī)問題，需要對情景建立一個模型，必須通過一系列步驟才能量出4L水。

二、三個版本教科書三種類型問題分布的特點

本文主要以小學(xué)數(shù)學(xué)四年級的教科書為例進行分析。我們選擇了江蘇教育出版社的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書 、北京師范大學(xué)出版社的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書和人民教育出版社的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書作為主要研究對象。

我們把每一頁的每種類型填空題、計算題和有圖片的問題作為一個分析單元。每個分析單元可以作為全班練習(xí)、小組討論及課后作業(yè)用。這樣的劃分很符合每種版本教科書教學(xué)需要，所有的教科書都有這樣的結(jié)構(gòu)。

依據(jù)上述分析框架，分別對三種版本教科書中三種類型的問題進行統(tǒng)計，在教科書中找到一個非常規(guī)題則計數(shù)一，其他類型問題也是如此。為確保編碼的可靠性，統(tǒng)計過程是由兩個人分別依據(jù)分析框架獨立編碼，最后進行校正，前后兩次的校正一致性保持在95%，對編碼結(jié)果不一致的例題，經(jīng)商討使其編碼結(jié)果最終達成一致。

1.三種類型問題在三個版本教科書中的分布

三個版本教科書都存在三種類型的問題（表1），常規(guī)題是每個版本教科書中所占比重最大的題，平均每冊教科書有200個常規(guī)題， 14個灰色區(qū)域題，有8個非常規(guī)題；總問題數(shù)為1334個，三個版本的常規(guī)題數(shù)合計1201個（約占90%），灰色區(qū)域題合計87個（約占7%），非常規(guī)題合計46個（約占3%）?？芍浅Ｒ?guī)問題和灰色區(qū)域問題分布很少。

2.非常規(guī)問題解決題的分布比例

三個版本教科書中分析得到的非常規(guī)問題解決題比重相當?。ū?）。

非常規(guī)問題解決題的分布比例從0.58%到4.85%不等。人教版上冊占有最高的比例——占總問題數(shù)的4.85%；北師大上冊占的比例最少，為0.58%；蘇教版的上下冊占有的非常規(guī)問題解決題平均在2.7%左右。

如果把灰色區(qū)域題也考慮在內(nèi)，那么北師大下冊所占比重最多為12.11%，北師大上冊所占最少，為7.52%。那么三個版本教科書的問題解決題總數(shù)相差不遠，都在10%左右?？芍阉械膯栴}解決題都考慮到，總的比率仍然相當?shù)汀?/p>

3.非常規(guī)問題解決題所處知識領(lǐng)域的分布

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程安排了四個部分的內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。三種版本的教科書在這四部分內(nèi)容中均涉及非常規(guī)問題，但在這四部分內(nèi)容中并非均有非常規(guī)問題題?？傮w上看，非常規(guī)問題解決題在三個版本四個課程內(nèi)容中的安排主要集中在 “數(shù)與代數(shù)”部分，而在“綜合與實踐”板塊中沒有出現(xiàn)一處非常規(guī)問題，因為“綜合與實踐”的學(xué)習(xí)方式是結(jié)合“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”板塊的綜合應(yīng)用，所提出來的問題具有情景性、綜合性，且問題仍然是常規(guī)問題的實際應(yīng)用而已。因此這里的問題并不具有非常規(guī)特性，但在我國“綜合與實踐”版塊中本應(yīng)該出現(xiàn)最多非常規(guī)問題的。各版本均沒有很好地把非常規(guī)問題解決題延伸到 “圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”和 “綜合與實踐”三部分內(nèi)容中。

三、對策與建議

1.適當把常規(guī)題轉(zhuǎn)化為灰色區(qū)域題

每本教科書的常規(guī)題占絕大部分比例，常規(guī)題常常用于概念的理解及規(guī)則與程序的掌握?；疑珔^(qū)域題不具備非常規(guī)的性質(zhì)，但可能促進學(xué)生探究和發(fā)展數(shù)學(xué)態(tài)度，這種態(tài)度是解決非常規(guī)數(shù)學(xué)問題的前提操作。因此適當?shù)匕殉Ｒ?guī)題轉(zhuǎn)化為灰色區(qū)域題，有助于幫助學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)態(tài)度。例如，教材中的計算題如人教版下冊第一節(jié)四則運算練習(xí)一的第一題口算題以及第五題計算題可以合編成一道灰色區(qū)域題，可以適當改編，使它變成灰色區(qū)域題。改編后的題目增加了題目難度，要讓學(xué)生自己找出五種路徑并且計算出答案，比之前直接給出算式計算結(jié)果更具有挑戰(zhàn)性。

2.適當把灰色區(qū)域題轉(zhuǎn)化為非常規(guī)題

新課標要求在“問題解決”這塊的總體目標上形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。但從非常規(guī)問題在各版本教科書的分布及次數(shù)來看，非常規(guī)問題在教科書中難以尋到它的蹤跡。非常規(guī)題常以多種類型出現(xiàn)，其中有些看來是很獨特的，然而用標準程序卻解不出來；還有的則需要有巧妙和清晰的邏輯推理。因此適當?shù)貙⒒疑珔^(qū)域題轉(zhuǎn)換為非常規(guī)題是很有必要的。例如可將蘇教版上冊第十一章練習(xí)十的第五題改編為非常規(guī)問題。

修改后：在下列魔方中用10、20、30、40、50、60這六個數(shù)各填兩次，使得這些魔方中的行列和豎列之和等于魔方中間的數(shù)，每個方格只填一個數(shù)。

3.非常規(guī)問題解決題的布局編排應(yīng)適當拓展延伸

受中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育在小學(xué)階段重視計算的影響，各版本教材在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的非常規(guī)問題的編寫更加成熟，問題數(shù)量更多，而在培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和形象思維的“空間與圖形”領(lǐng)域明顯較少，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析概念的“統(tǒng)計與概率”及培養(yǎng)學(xué)生的問題意識和應(yīng)用意識“綜合與實踐”領(lǐng)域中，非常規(guī)問題的編寫更是鳳毛麟角。

為達到新課標在總目標“問題解決”維度中提出的“獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識”的要求，因此，在教材各領(lǐng)域適當增加一些非常規(guī)題的問題，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決中用多種方法解答，可發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識。在“綜合與實踐”領(lǐng)域可編寫一些綜合性的問題，有利于提高學(xué)生綜合運用所學(xué)知識提出和解決問題的能力。

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