韓振海

(河西學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 張掖 734000)

3類(lèi)高斯光束的圓孔衍射特性

韓振海

(河西學(xué)院 物理與機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 張掖 734000)

摘要：利用標(biāo)量衍射理論，將空心高斯光束、貝塞爾高斯光束、平頂高斯光束3類(lèi)高斯光束的圓孔衍射場(chǎng)進(jìn)行傅里葉變換，并運(yùn)用D-FFT算法對(duì)其圓孔衍射特性進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，得到了衍射場(chǎng)中軸向和徑向的光強(qiáng)分布特點(diǎn)，分析了光學(xué)參量對(duì)衍射結(jié)果的影響. 分析結(jié)果表明：衍射特性與衍射距離、光束的階數(shù)、圓孔束腰半徑比等因素有關(guān).

關(guān)鍵詞：空心高斯光束；貝塞爾高斯光束；平頂高斯光束；圓形光闌；衍射；傅里葉變換

1理論描述

圓孔的透過(guò)率可用圓域函數(shù)表示為

(1)

式中R0表示圓孔半徑. 為簡(jiǎn)單計(jì)算，將圓孔面置于以下3類(lèi)高斯光束的束腰處(z=0).

1.13類(lèi)高斯光束的模型

1)空心高斯光束

空心高斯光束在z=0處的光場(chǎng)分布為

(2)

式中:A0=E0(0,0)，ω0表示束腰半徑，n表示空心高斯光束的階數(shù). 圖1給出了空心高斯光束在束腰處的徑向光強(qiáng)分布. 空心高斯光束在圓孔后表面上的光場(chǎng)分布為

(3)

(a)

(b)圖1　空心高斯光束在束腰處的徑向光強(qiáng)

2)貝塞爾高斯光束

貝塞爾高斯光束在z=0處的光場(chǎng)分布為

(4)

式中：J0(αr0)為第一類(lèi)零階貝塞爾函數(shù)，α表示橫向波數(shù). 圖2給出了空心高斯光束在束腰處的徑向光強(qiáng)分布. 貝塞爾高斯光束在圓孔后表面上的光場(chǎng)分布為

(5)

(a)

(b)圖2　貝塞爾高斯光束在束腰處的徑向光強(qiáng)

3)平頂高斯光束

平頂高斯光束在z=0處的光場(chǎng)分布為

E0(r0,0)=

m=0,1,2,…,

(6)

式中M表示平頂高斯光束的階數(shù)(M=0,1,2,…). 圖3給出了平頂高斯光束在束腰處的徑向光強(qiáng)分布. 平頂高斯光束在圓孔后表面上的復(fù)振幅分布為

(a)

(b)圖3　平頂高斯光束在束腰處的徑向光強(qiáng)

1.23類(lèi)高斯光束通過(guò)圓孔的衍射場(chǎng)計(jì)算

(8)

式中z表示觀察面和入射面之間的距離.

將(8)式積分號(hào)內(nèi)關(guān)于x和y的復(fù)相位因子作配方處理并作變量代換xa=Ax0，ya=Ay0，可得到

(9)

利用(9)式，可將(8)式寫(xiě)為卷積形式

(10)

式中*表示卷積運(yùn)算. 以fx和fy表示頻率域坐標(biāo)，可得到

(11)

式中F{ }表示傅里葉變換. 利用卷積定理可將(10)式表示為

U(x,y,z)=exp (jkz)·

(12)

式中F-1{ }表示傅里葉逆變換. 這樣利用2次傅里葉變換并借助于D-FFT算法[10]，就可求出高斯光束通過(guò)圓孔后在空間傳輸?shù)难苌鋱?chǎng)分布.

2數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

數(shù)值計(jì)算[11-12]中衍射面大小為10 mm×10 mm，衍射面上抽樣點(diǎn)數(shù)取512×512，激光波長(zhǎng)為632.8 nm，束腰半徑ω0=1 mm.

2.1空心高斯光束圓孔衍射特性的計(jì)算

位于衍射面中央的圓孔半徑R0=2 mm. 圖4是在空心高斯光束的階數(shù)n=3，其他參量不變時(shí)，不同衍射距離處軸上的光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，當(dāng)傳輸距離較小(z<500 mm)時(shí)，軸上光強(qiáng)為零；隨著衍射距離的增大，軸上光強(qiáng)逐漸增大，在z≈4 000 mm處軸上光強(qiáng)達(dá)到極大值；進(jìn)一步增大衍射距離，軸上光強(qiáng)隨之減小，但在該范圍內(nèi)有一定的起伏變化. 圖5是在空心高斯光束的階數(shù)n=3，其他參量不變時(shí)，不同衍射距離處接收面上的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，近距離范圍內(nèi)(z<500 mm)接收面上的光強(qiáng)與空心高斯光束束腰處的分布相似，中心為暗斑；隨著衍射距離的增大，中心逐漸有光能量聚集，在中心亮斑之外有暗、亮環(huán)交替出現(xiàn)，衍射效應(yīng)明顯，且亮環(huán)內(nèi)的光強(qiáng)隨半徑也成高斯型分布；在z≈4 000 mm處中心亮斑的光強(qiáng)達(dá)到極大值；之后增大衍射距離，中心亮斑的強(qiáng)度下降，半徑增大，衍射調(diào)制作用有所減弱.

圖4　不同衍射距離處軸上的光強(qiáng)分布

圖5　不同衍射距離處接收面上的光強(qiáng)分布

圖6是在其他參量不變時(shí)，不同階數(shù)n的空心高斯光束在z=500 mm處的接收面上產(chǎn)生的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，階數(shù)n較小時(shí)，中心暗斑的半徑、亮環(huán)的半徑均較小，n較大時(shí)，中心暗斑的半徑、亮環(huán)的半徑也較大，空心性越好；但亮環(huán)的寬度和光強(qiáng)則基本一致，沒(méi)有隨階數(shù)發(fā)生明顯的變化. 圖7是在空心高斯光束的階數(shù)n=5，改變圓孔大小(在束腰不變的條件下，亦即改變圓孔與束腰半徑比)，而其他參量不變時(shí)，空心高斯光束在傳輸距離z=1 000 mm處的接收面上產(chǎn)生的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，圓孔與束腰半徑比對(duì)中心亮斑的大小沒(méi)有明顯影響(中心亮斑的寬度基本相同)；但半徑比越大，中心亮斑的強(qiáng)度就越小，中心亮斑外圍的亮環(huán)數(shù)也減少，衍射調(diào)制作用減弱.

圖6　不同階數(shù)對(duì)光強(qiáng)分布的影響

圖7　不同圓孔束腰半徑比對(duì)接收面上光強(qiáng)的影響

2.2貝塞爾高斯光束圓孔衍射特性的計(jì)算

位于衍射面中央的圓孔半徑R0=2 mm. 圖8是在貝塞爾高斯光束的徑向波數(shù)α=5，其他參量不變時(shí)，不同衍射距離處軸上的光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，當(dāng)傳輸距離較小(z<400 mm)時(shí)，軸上光強(qiáng)值很大；當(dāng)增大衍射距離(z>400 mm)時(shí)，軸上光強(qiáng)急劇減小，并在該范圍內(nèi)沒(méi)有出現(xiàn)較大的起伏變化. 圖9是在橫向波數(shù)α=5，其他參量不變時(shí)，不同衍射距離處接收面上的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，近距離范圍內(nèi)(z<100 mm)接收面上的中心亮斑之外有暗、亮環(huán)交替出現(xiàn)，呈現(xiàn)出一定的衍射效應(yīng)；但當(dāng)衍射距離增大后，中心亮斑光強(qiáng)分布變得比近距離時(shí)平滑，同時(shí)衍射效應(yīng)非常微弱.

圖8　不同衍射距離處軸上的光強(qiáng)分布

圖9　不同衍射距離處接收面上的光強(qiáng)分布

圖10是在其他參量不變時(shí)，不同橫向波數(shù)α的貝塞爾高斯光束在z=300 mm處的接收面上產(chǎn)生的光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，橫向波數(shù)α對(duì)中心亮斑的寬度沒(méi)有明顯影響，只是α較大時(shí)，中心亮斑的光強(qiáng)有所減小. 圖11是在橫向波數(shù)α=5，改變圓孔大小(改變圓孔與束腰半徑比)，而其他參量不變時(shí)，貝塞爾高斯光束在z=300 mm處的接收面上產(chǎn)生的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，圓孔與束腰半徑比對(duì)中心亮斑的大小沒(méi)有明顯影響(中心亮斑的寬度基本相同)；但半徑比越大，中心亮斑的強(qiáng)度就越小.

圖10　不同階數(shù)對(duì)光強(qiáng)分布的影響

圖11　不同圓孔束腰半徑比對(duì)接收面上光強(qiáng)的影響

2.3平頂高斯光束圓孔衍射特性的計(jì)算

位于衍射面中央的圓孔半徑依然取R0=2 mm. 圖12是在平頂高斯光束的階數(shù)M=3，其他參量不變時(shí)，不同衍射距離處軸上的光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，隨著衍射距離從零開(kāi)始增大，軸上光強(qiáng)也從零開(kāi)始逐漸增大，在z≈1 800 mm處軸上光強(qiáng)達(dá)到極大值；進(jìn)一步增大衍射距離，軸上光強(qiáng)隨之減小，但在該范圍內(nèi)沒(méi)有像前述空心高斯光束那樣出現(xiàn)較明顯的光強(qiáng)起伏變化. 圖13是在平頂高斯光束的階數(shù)M=3，其他參量不變時(shí)，不同衍射距離處接收面上的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，近距離范圍內(nèi)接收面上的光強(qiáng)與平頂高斯光束束腰處的分布相似，中心為暗斑；隨著衍射距離的增大，中心逐漸有光能量聚集，且在中心亮斑之外有較微弱的亮、暗環(huán)交替出現(xiàn)；之后增大衍射距離，中心亮斑的強(qiáng)度下降，半徑增大. 值得注意的是，平頂高斯光束在整個(gè)衍射距離范圍內(nèi)并沒(méi)有表現(xiàn)出像空心高斯光束那樣明顯的衍射調(diào)制效應(yīng).

圖12　不同衍射距離處軸上的光強(qiáng)分布

圖13　不同衍射距離處接收面上的光強(qiáng)分布

圖14是在其他參量不變時(shí)，不同階數(shù)M的空心高斯光束在z=1 000 mm處的接收面上產(chǎn)生的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，階數(shù)M對(duì)中心亮斑的半徑和寬度沒(méi)有產(chǎn)生明顯的影響，但是階數(shù)越大，旁瓣數(shù)越少，光強(qiáng)的徑向變化越加平滑，衍射效應(yīng)越不明顯. 圖15是在平頂高斯光束的階數(shù)M=5，改變圓孔大小(改變圓孔與束腰半徑比)，而其他參量不變時(shí)，平頂高斯光束在z=1 000 mm處的接收面上產(chǎn)生的徑向光強(qiáng)分布. 從計(jì)算結(jié)果可以看到，在選取以上實(shí)驗(yàn)參量的條件下，圓孔與束腰半徑比對(duì)中心亮斑的大小沒(méi)有明顯影響(中心亮斑的寬度基本相同)；當(dāng)R0/ω0=0.8時(shí)，中心亮斑的強(qiáng)度較大，外圍有強(qiáng)度的交替性變化，呈現(xiàn)出一定的衍射效應(yīng)；當(dāng)R0/ω0≥1.1時(shí)，中心亮斑的強(qiáng)度較小，外圍的強(qiáng)度交替變化減弱，衍射效應(yīng)不明顯.

圖14　不同階數(shù)對(duì)光強(qiáng)分布的影響

圖15　不同圓孔束腰半徑比對(duì)接收面上光強(qiáng)的影響

對(duì)比以上計(jì)算結(jié)果，可以看出：

1)在軸上的縱向光強(qiáng)分布中，空心高斯光束和平頂高斯光束表現(xiàn)出基本相同的變化規(guī)律(在特定距離處光強(qiáng)達(dá)到最大，而在較近距離和較遠(yuǎn)距離處光強(qiáng)則較小)，只是在遠(yuǎn)場(chǎng)前者的強(qiáng)度起伏更強(qiáng)烈；而貝塞爾高斯光束僅當(dāng)傳輸距離很小時(shí)，軸上光強(qiáng)值很大，而當(dāng)增大衍射距離時(shí)，軸上光強(qiáng)便急劇衰減.

2)在衍射場(chǎng)的徑向光強(qiáng)分布中，空心高斯光束和平頂高斯光束中心亮斑都隨著衍射距離的增大而增大，能量逐漸向徑向延展，前者在較近距離處還表現(xiàn)出明顯的衍射效應(yīng)，后者則不甚明顯；而貝塞爾高斯光束的衍射光能量則高度聚集在中央軸線處.

3)階數(shù)影響空心高斯光束中心暗斑的半徑、亮環(huán)的的半徑，但對(duì)亮環(huán)的寬度和光強(qiáng)沒(méi)有產(chǎn)生明顯影響；橫向波數(shù)只對(duì)貝塞爾高斯光束中心亮斑的光強(qiáng)有所影響，而對(duì)其寬度則沒(méi)有明顯影響；階數(shù)對(duì)平頂高斯光束中心亮斑的旁瓣數(shù)以及光強(qiáng)變化的平滑度產(chǎn)生影響.

4)圓孔與束腰半徑比對(duì)空心高斯光束中心亮斑的強(qiáng)度及其旁瓣數(shù)、衍射調(diào)制結(jié)果都有明顯的影響；對(duì)貝塞爾高斯光束只影響中心亮斑的強(qiáng)度；對(duì)平頂高斯光束的衍射調(diào)制結(jié)果有一定的影響.

3結(jié)束語(yǔ)

3類(lèi)高斯光束的圓孔衍射具有各自不同的特性. 在空心高斯光束的圓孔衍射中，縱向和徑向的光強(qiáng)與衍射距離密切相關(guān)，且階數(shù)和圓孔束腰半徑比對(duì)衍射結(jié)果產(chǎn)生明顯影響，階數(shù)越高，衍射效應(yīng)越不明顯；貝塞爾高斯光束的橫向波數(shù)和圓孔束腰半徑比對(duì)衍射結(jié)果無(wú)明顯影響，衍射效應(yīng)微弱，光能量高度聚集在中央軸線處，呈現(xiàn)出“聚焦”效應(yīng)；階數(shù)和圓孔束腰半徑比對(duì)平頂高斯光束衍射結(jié)果產(chǎn)生一定的影響. 這些特點(diǎn)對(duì)于進(jìn)一步研究各類(lèi)高斯光束有一定的理論和實(shí)踐價(jià)值，也有利于高斯光束在光學(xué)工程中的實(shí)際應(yīng)用.

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[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Study on the circular aperture diffraction characteristics of several kinds of Gaussian beams

HAN Zhen-hai

(School of Physics and Mechanical & Electrical Engineering, Hexi University, Zhangye 734000, China)

Abstract:By using scalar diffraction theory, the diffraction field of hollow Gaussian beams, Bessel Gaussian beams, and flattened Gaussian beams through a circular aperture were expressed in the form of Fourier transform. The D-FFT algorithm was used to calculate the diffraction characteristics, and the intensity distribution in the longitudinal and transverse directions in the diffraction field were obtained. The influence of some optical parameters on the diffraction was analyzed. The results showed that the diffraction characteristics were related to the diffraction distance, beam order, and the ratio of hole radius and waist radius.

Key words:hollow Gaussian beams; Bessel Gaussian beams; flattened Gaussian beams; circular aperture; diffraction; Fourier transform

收稿日期：2016-03-01；修改日期：2016-04-13

作者簡(jiǎn)介：韓振海(1971-)，男，甘肅古浪人，河西學(xué)院物理與機(jī)電工程學(xué)院副教授,碩士，主要從事信息光學(xué)方面的教學(xué)研究工作.

中圖分類(lèi)號(hào)：O436.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1005-4642(2016)06-0012-07