裘陸勤

(逸夫小學(xué)，浙江嵊州 312400)

一、問題的提出

所謂函數(shù)思想，是指通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。而簡單函數(shù)概括能力是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略。在小學(xué)數(shù)學(xué)中并不學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，大部分教師也認(rèn)為低年級的小學(xué)生是沒有函數(shù)概括能力的。那么，小學(xué)生在看到具有函數(shù)關(guān)系的算式時，到底用怎樣的解題策略來計算，能否發(fā)現(xiàn)算式之間的聯(lián)系呢？為回答這個問題，本文設(shè)計了實(shí)驗(yàn)，考察一年級的小學(xué)生是否具有初步的函數(shù)思想。方法是給出不同類型的加法口算題，讓小學(xué)生回答“你是怎么計算的？”從學(xué)生的思考方式中分析他們是否具有簡單的函數(shù)思想和分析概括能力，為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計提供基礎(chǔ)。

二、研究目的及主要問題

1.研究目的

分析一年級的學(xué)生是否具有簡單的函數(shù)思想和函數(shù)概括能力，為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考依據(jù)。

2.研究的主要問題

(1)一年級的小學(xué)生能否獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)各類題組的運(yùn)算規(guī)律；

(2)一年級的小學(xué)生能否用語言表述運(yùn)算規(guī)律；

(3)一年級的小學(xué)生能否將解決前一類型題組所用的規(guī)律性的東西(函數(shù)關(guān)系)遷移到解決后一類型題組中去。

三、研究設(shè)計

1.研究對象

按照現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材[1]，我們選擇了不同教師任教的一年級6個班，共240名學(xué)生。他們均已學(xué)習(xí)過10以內(nèi)加減法。

2.測試和訪談題目

本次測試我們主要用加法算式組成四種不同類型的題組，每個題組均為豎排，同一類型的題分6組，每組6道算式。

A型題組：

B型題組:

C型題組:

D型題組：

3.測試和訪談過程

測試時間選擇在2015年6月，測試對象為不同教師任教的一年級6個班共240名學(xué)生。

為了保證測試的有效性，測試前我們沒有給學(xué)生任何的解題提示，也沒有任何討論與交流。整個測試過程基本反映了學(xué)生獨(dú)立地在自然情景下的簡單函數(shù)概括能力水平。

測試時，主試?yán)蠋熛认驅(qū)W生依次出示A型題組的各組題目(一張小卡片)，并對他說：“你先看看，這張小卡片的6道題之間有什么關(guān)系，想一想再做?！痹趯W(xué)生做題的過程中，主試?yán)蠋熥屑?xì)觀察他的計算過程，并隨時詢問：“你是用什么方法做這些題的？”每當(dāng)學(xué)生做完一組題后之后，主試?yán)蠋熅鸵儐査淖鲱}方法，看他需要經(jīng)過幾組題的運(yùn)算，才能發(fā)現(xiàn)A組題的運(yùn)算結(jié)果是隨著一個已知加數(shù)的變化而有規(guī)律地變化，而不必再逐個算式計算。然后要求學(xué)生表達(dá)這種變化規(guī)律，主試?yán)蠋熡浵滤幕卮稹?/p>

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)A型題組的函數(shù)關(guān)系并能用語言表述之后，方可轉(zhuǎn)入B型題組；發(fā)現(xiàn)B型題組的函數(shù)關(guān)系，并能用語言表述之后，方可轉(zhuǎn)入C型題組；發(fā)現(xiàn)C型題組的函數(shù)并能用語言表述之后，方可轉(zhuǎn)入D型題組。

如果在同一類型的題組連續(xù)做6組之后，學(xué)生仍然不能發(fā)現(xiàn)該題組的函數(shù)關(guān)系，就定為不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律者。對不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)生，主試?yán)蠋熆商峁椭?，告訴該題型的函數(shù)關(guān)系，直到該生按老師所講的規(guī)律寫出得數(shù)，并能復(fù)述其規(guī)律方可轉(zhuǎn)入下一類型題組。如果經(jīng)主試?yán)蠋煹膸椭圆荒馨l(fā)現(xiàn)規(guī)律和表達(dá)規(guī)律的學(xué)生，就不再做下一組類型的題目。

4.測試的評價

為了能將學(xué)生在測試和訪談中的思維方式量化出來，我設(shè)定了統(tǒng)一評分標(biāo)準(zhǔn)：

(1)每種類型題組發(fā)現(xiàn)規(guī)律的水平分為七級。凡不需要計算立即發(fā)現(xiàn)規(guī)律者得7分，以下按能者所需要題組的數(shù)目逐減1分(如需要1個題組得6分；需要2個題組得5分……)，經(jīng)6組題的計算不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律者為0分。

(2)每種類型題組的言語表達(dá)水平分五級(A級表述概括、清楚，B級表述具體、清楚，C級表述概括、比較清楚，D級表述具體、比較清楚，E級表述不清楚)，凡表述水平為A者得5分，隨表述水平逐級下降連續(xù)減1分，不能表述者得0分。

評價等級劃分：

48～39分為優(yōu)秀，38～28分為中上，27～18分為中，17～8分為中下，8分以下為差。

四、簡單函數(shù)概念的測試結(jié)果分析

1.近80%的一年級學(xué)生已經(jīng)具備了簡單函數(shù)概括能力和知識遷移能力。

表1 一年級學(xué)生函數(shù)關(guān)系概括能力的評價

從上表中我們可以看出，79.6%的一年級學(xué)生已經(jīng)能獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)各類題組的運(yùn)算規(guī)律，清楚地用數(shù)學(xué)語言或具體的表述概括每組的函數(shù)規(guī)律，并且能將解決前一類型題組所用的規(guī)律性的東西(函數(shù)關(guān)系)遷移到解決后一類型題組中去。如小黃同學(xué)在做A型口算題組時，他只是純粹的口算，不知道除了口算還需要觀察和思考什么；當(dāng)他完成A型同一類型的6組口算后，我引導(dǎo)他觀察每組6道口算中的第1個加數(shù)、第2個加數(shù)、和是如何變化的，并讓他自己復(fù)述A型題組的函數(shù)關(guān)系；當(dāng)他進(jìn)入B型題組、C型題組、D型題組后就能從第1個加數(shù)、第2個加數(shù)、和這三個角度去思考該型題組中的函數(shù)關(guān)系了，可見他已經(jīng)具備了知識遷移能力和簡單的函數(shù)概括能力。

2.定勢思維促使一年級學(xué)生見到口算題就口算，而且加數(shù)變化的個數(shù)直接影響著學(xué)生是否運(yùn)用函數(shù)關(guān)系解題。

從表2可知，一年級學(xué)生見到A型口算題組的第一反應(yīng)就是口算，這也可能與平時的口算練習(xí)有關(guān)。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷A組有規(guī)律的口算題后，他們自然地把解決A型題組的規(guī)律性東西(函數(shù)關(guān)系)遷移到解決B型題組中，所以部分學(xué)生在發(fā)現(xiàn)B型題組規(guī)律時出現(xiàn)了“第一個加數(shù)一個一個變小，第二個加數(shù)不變，和一個一個變小”的負(fù)遷移。此時學(xué)生面對的是只有一個加數(shù)在變化，而另一個加數(shù)不變，所以70%以上的學(xué)生能直接說出結(jié)果的變化規(guī)律。

表2 一年級學(xué)生函數(shù)關(guān)系概括中口算的比例

當(dāng)他們遇見C型題組這樣的“熟悉的陌生人”(說熟悉是因?yàn)閷W(xué)生知道要關(guān)注第一個加數(shù)、第二個加數(shù)以及和的變化；說陌生是因?yàn)閷W(xué)生面對的是兩個加數(shù)都在變化)時，大部分學(xué)生都選擇了用口算的方式來發(fā)現(xiàn)和的變化規(guī)律，只有少部分學(xué)生用“一個數(shù)少2，另一個多2，和不變”的守恒規(guī)律來運(yùn)算。

D型題組是對C型題組的深入，兩個加數(shù)不僅都在變化，而且變化的趨勢也不同，給學(xué)生判斷和的變化趨勢帶來了一定的干擾因素。這也是大部分學(xué)生選擇用口算的方式來發(fā)現(xiàn)和的變化規(guī)律的主要原因。

3.多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能用兒童化的數(shù)學(xué)語言清楚、概括地描述每種類型的函數(shù)關(guān)系。

由表3可以看出，一年級的學(xué)生已經(jīng)能用數(shù)學(xué)語言清楚地描述每種類型的函數(shù)關(guān)系，如他們把加號前面的數(shù)稱為加數(shù)1、第1個加數(shù)、左邊的數(shù)、第1列等；加號后面的數(shù)稱為加數(shù)2、第2個加數(shù)、右邊的數(shù)、第2列；等于號后面的數(shù)稱為和、答案、結(jié)果等；變化趨勢用不變、幾個幾個變大、幾個幾個往后數(shù)、幾個幾個加上去，幾個幾個變小、幾個幾個往前數(shù)、幾個幾個減下來、相差幾個等來表述。

表3 一年級學(xué)生函數(shù)關(guān)系概括中言語表達(dá)的主要方式

4.觀察視角、口算水平和遷移水平限制著學(xué)生的函數(shù)關(guān)系概括能力。

在測試后，我們對不能概括這些題組函數(shù)關(guān)系的學(xué)生進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)觀察視角、口算水平和遷移水平這三大因素限制著他們的簡單函數(shù)概括能力。

從觀察視角方面來看，他們在測試過程中出現(xiàn)了只會橫項(xiàng)看或縱向觀察不一致等現(xiàn)象。如小胡同學(xué)在觀察A型第1組的6道口算時，發(fā)現(xiàn)了“5比4大1，6比4大2，7比4大3……”這樣的規(guī)律，直到觀察完A型6組題目仍不能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，成功復(fù)述A型題組規(guī)律后進(jìn)入B型題組，她仍然只會看橫項(xiàng)來概括該組的函數(shù)關(guān)系。如小邱同學(xué)只用加法的形式來表述，如C型題組的函數(shù)關(guān)系是“加數(shù)1從下往上依次加2，加數(shù)2從上往下依次加2，和不變”，D型題組的函數(shù)關(guān)系是“加數(shù)1從上往下依次加2，加數(shù)2從下往上依次加3，和從下往上依次加1”。如小周同學(xué)的觀察視角不一致，如A型題組的函數(shù)關(guān)系是“第1列不變，第2列是10、9…5，和一個一個變小”。

從口算水平方面來看，我們發(fā)現(xiàn)等級是中上、中和中下的學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)第1個加數(shù)、第2個加數(shù)的變化規(guī)律，但是他們由于口算能力較差對于結(jié)果的判斷出現(xiàn)了錯誤。如小陳同學(xué)得到B型題組的函數(shù)關(guān)系是“第1個加數(shù)兩個兩個變小，第2個加數(shù)不變，和一個一個變小”。

從遷移水平方面來看，個別學(xué)生還不具備復(fù)述規(guī)律或者不能把前一題的規(guī)律遷移到下一題中去的現(xiàn)象。如小許同學(xué)在經(jīng)歷A型6組口算后仍然不能發(fā)現(xiàn)該組的函數(shù)關(guān)系，雖然在給他提供幫助時他認(rèn)可這樣的思考方式，但是他不能按要求獨(dú)立復(fù)述這樣的函數(shù)關(guān)系。小陳同學(xué)雖然能獨(dú)立復(fù)述A型題組的函數(shù)關(guān)系，但是當(dāng)進(jìn)入B型題組時仍然不能正確說出該組的函數(shù)關(guān)系。

5.個別學(xué)生不僅關(guān)注了函數(shù)關(guān)系，還關(guān)注了單雙數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

我們在測試中發(fā)現(xiàn)對于同樣的測試題，個別學(xué)生具有多元思維方式。如小林同學(xué)在觀察A型第1組時不但說出了“第1個加數(shù)不變，第2個加數(shù)一個一個變大，和一個一個變大”，還概括出“雙數(shù)加上雙數(shù)是雙數(shù)”“雙數(shù)加上單數(shù)是單數(shù)”；在觀察第2組時既概括出函數(shù)關(guān)系，還總結(jié)出“單數(shù)加上單數(shù)是雙數(shù)”的結(jié)論。

結(jié) 語

從上面這組題目的測試和分析中，我們可以得到以下結(jié)論：

1.大部分一年級學(xué)生已經(jīng)具備了簡單的函數(shù)概括能力，能夠用兒童化的數(shù)學(xué)語言清晰、概括地描述各種類型的函數(shù)關(guān)系；

2.學(xué)生的簡單函數(shù)概括能力具有差異性，有的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)題組中的函數(shù)關(guān)系和其他運(yùn)算性質(zhì)；有的學(xué)生卻還不具備簡單函數(shù)概括能力；

3.定勢思維、觀察視角、口算水平和遷移水平等因素限制著個別學(xué)生的函數(shù)關(guān)系概括能力。

上面的結(jié)論對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有以下啟示：

1.在平時教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)概括能力，滲透函數(shù)思想，并加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感訓(xùn)練；

2.在學(xué)生機(jī)械模仿的基礎(chǔ)上，要重視對學(xué)生遷移能力、求異思維和變通性等能力的培養(yǎng)；

3.解決同一個數(shù)學(xué)問題，對于同一年齡段的學(xué)生來說，他們的思維方式既有共性又有個性；

4.作為教師，必須了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，知道學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，因材施教。

[1] 張?zhí)煨?小學(xué)新思維數(shù)學(xué)研究[M].杭州:浙江大學(xué)出版社,2011：30-43.