李霏雯　柴晴　張鶴揚(yáng)

【摘 要】本文主要研究太陽影子運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行地理定位。首先確定直桿影子一天內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡與太陽位置參數(shù)之間的關(guān)系，建立某地定長直桿影子坐標(biāo)隨時(shí)間、經(jīng)度、緯度、直桿長度變化的數(shù)學(xué)模型，在直桿高度、日期未知的條件下利用空間四面體模型及變量分析確定地理經(jīng)緯度。最后，本文討論模型優(yōu)化與推廣，并提出優(yōu)化思路和方案。

【關(guān)鍵詞】地理定位；影子軌跡；空間四面體；高度角；方位角；赤緯角；時(shí)角

0 前言

利用太陽影子定位技術(shù)分析物體太陽影子變化情況，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期。日照與影子的動(dòng)態(tài)關(guān)系及數(shù)學(xué)模型的研究，參考文獻(xiàn)[1]給出了具體的介紹及闡述，但該模型建立在多變量已知的前提下，并未對(duì)變量深入研究。本文基于現(xiàn)有模型改進(jìn)，在直桿高度及日期未知的條件下對(duì)直桿定位，完善太陽影子長度與經(jīng)緯度、日期、時(shí)間、桿高之間的數(shù)學(xué)模型。

1 模型假設(shè)

1）假設(shè)觀測(cè)地區(qū)大氣均勻，不考慮空氣中粉塵、顆粒物等對(duì)光線傳播路徑的影響。

2）假設(shè)太陽對(duì)地球的相對(duì)運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

3）考慮到日心到地心的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于地球半徑，假設(shè)一段時(shí)間內(nèi)太陽繞地心轉(zhuǎn)過的角度與太陽繞地球表面某點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度相同。

2 日照與影長數(shù)學(xué)模型

物體影子軌跡主要受地球自轉(zhuǎn)和繞太陽的公轉(zhuǎn)的影響，通過分析影響影子變化的參數(shù)，本文主要研究以下問題：

1）分析現(xiàn)有研究，建立日照與影長數(shù)學(xué)模型，確定影子長度隨各參數(shù)的變化規(guī)律；

2）桿高、日期未知，根據(jù)水平地面上影子頂點(diǎn)坐標(biāo)，確定直桿所處地點(diǎn)及日期；

2.1 “立竿見影”的數(shù)學(xué)分析

現(xiàn)有對(duì)影子軌跡的研究主要是針對(duì) “立竿見影”現(xiàn)象[1]的數(shù)學(xué)分析。

一天內(nèi)主要考慮地球自轉(zhuǎn)，可獲得不同時(shí)刻桿頂落影點(diǎn)P′的位置，構(gòu)成桿影跡線。太陽的運(yùn)行軌跡映射為桿頂落影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。

以地球?yàn)閰⒖枷担瑢⒌厍蜃赞D(zhuǎn)簡化為地球靜止，太陽繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2所示。高度圈、方位圈、赤道圈、地平圈及時(shí)圈的定義見參考文獻(xiàn)[1]。將太陽系假設(shè)為一個(gè)近似球體，地球與近似球體同一球心，太陽繞地球在近圓形軌道上運(yùn)行。

太陽位置點(diǎn)L在天體中相對(duì)地球位置O上某一點(diǎn)的位置，由該點(diǎn)的經(jīng)緯度、日期（月、日）和時(shí)間3個(gè)因素決定。通常以太陽高度角h、方位角A、赤緯角δ、時(shí)角Ω表示太陽的位置[1]。

2.2 影長與各個(gè)參數(shù)間數(shù)學(xué)關(guān)系

桿影軌跡點(diǎn)的坐標(biāo)可利用太陽位置參數(shù)和式（1）求得。

一天內(nèi)影子長度主要由時(shí)間、經(jīng)度、緯度、直桿長度決定，利用一天內(nèi)影子的軌跡圖及太陽位置參數(shù)的相關(guān)公式，通過坐標(biāo)系確定影子軌跡運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

太陽高度角h隨著地方時(shí)和太陽的赤緯的變化而變化。太陽赤緯角（等于太陽直射點(diǎn)緯度）以δ表示，觀測(cè)地緯度用Φ表示（設(shè)太陽赤緯與地理緯度北緯為正，南緯為負(fù)），時(shí)角（地方時(shí)）以Ω表示。在地球上某一點(diǎn)太陽高度角即為太陽光的入射方向與地平面的夾角。

2.3 影子頂點(diǎn)坐標(biāo)確定地理位置

假設(shè)某地的直桿高度、日期未知，由影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)可以求得影長，若能夠確定直桿的高度，根據(jù)太陽高度角、方位角、赤緯角、時(shí)角的關(guān)系可求得當(dāng)?shù)亟?jīng)緯度。經(jīng)度由當(dāng)?shù)貢r(shí)間與北京時(shí)間之差確定、緯度由日期求得的太陽高度確定。

2.3.1 直桿高度的確定

2.3.2 視頻拍攝日期的確定

根據(jù)太陽一年中不同日期（季節(jié)）在不同緯度光照角度的變化，得出影子的變化規(guī)律。

已知直桿高度H、某時(shí)刻t影子的位置坐標(biāo)（x0，y0）即可求得影長L， β等于太陽高度h。綜合上述分析，聯(lián)立公式（1）-（5）及（7），可化簡為2個(gè)獨(dú)立的方程組，但具有3個(gè)變量即一年中的第n天、太陽赤緯角δ、地理緯度Φ。從數(shù)學(xué)角度分析，該方程有無數(shù)個(gè)解，但是考慮生活實(shí)際，一年365天，即n∈[1，365]。日期可確定同時(shí)可確定δ， Φ可由δ進(jìn)一步求得，根據(jù)Φ可確定與某月某日相對(duì)應(yīng)的可能位置點(diǎn)的地理緯度。

2.3.3 直桿所處地點(diǎn)位置的確定

已知直桿高度、影長，通過太陽高度角、方位角、赤緯角、時(shí)角的關(guān)系求當(dāng)?shù)氐牡乩砭暥?；通過影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)、日期、時(shí)間，求該地的地方時(shí)間，由當(dāng)?shù)貢r(shí)間與北京時(shí)間之差計(jì)算當(dāng)?shù)亟?jīng)度。

3 模型優(yōu)化與推廣應(yīng)用

3.1 模型的優(yōu)化

由于不同地區(qū)的空氣成分不同，其折射率存在一定誤差，考慮大氣對(duì)光線的折射影響。大氣層中存在水蒸氣、二氧化碳和塵埃等雜質(zhì)，其密度大于大氣層外的真空環(huán)境，因此太陽光射入大氣層內(nèi)時(shí)會(huì)產(chǎn)生折射。太陽高度角和方位角存在誤差，對(duì)計(jì)算分析影子變化與經(jīng)緯度之間的關(guān)系產(chǎn)生影響。對(duì)精度要求高時(shí)，應(yīng)考慮空氣折射率對(duì)光線傳播的影響。

可通過埃德林的空氣折射率公式[3]對(duì)太陽高度角進(jìn)行修正。

3.2 模型的推廣應(yīng)用

在當(dāng)今視頻拍攝技術(shù)高速發(fā)展的時(shí)代，對(duì)視頻數(shù)據(jù)的分析處理成為一項(xiàng)重要的研究課題。本文模型可用于通過提取視頻物體及影子運(yùn)動(dòng)軌跡信息，確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期。

雖然全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)日益完善，但仍存在太陽黑子、耀斑、磁暴等太陽活動(dòng)或其他極端天氣對(duì)衛(wèi)星定位準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性的威脅。本文利用太陽影子定位的方法不受上述因素制約，可在艱苦環(huán)境中利用簡單的道具與方法對(duì)位置進(jìn)行估算，它是衛(wèi)星定位的一種良好補(bǔ)充，尤其適合于沒有通訊設(shè)備的野外。太陽影子定位是獨(dú)立于衛(wèi)星通信的一種科學(xué)定位法。

根據(jù)影子軌跡可反求建筑物高度、合理間距、采光效果等；建筑設(shè)計(jì)舊址改造等問題也可參考本文研究的模型，使設(shè)計(jì)建筑采光更加簡便。

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄭鵬飛，林大均，劉小羊，等.基于影子軌跡線反求采光效果的技術(shù)研究[J].華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），36卷第3期，458-463頁，2010.

[2]吉林省建筑設(shè)計(jì)院.建筑日照設(shè)計(jì)[M].北京：中國建筑工業(yè)出版社，1979.

[3]倪育才.空氣折射率埃德琳公式的修改[J].計(jì)量技術(shù)，1998.

[責(zé)任編輯：王偉平]