北京一零一中學(xué) 廖會(huì)平

本文先按代數(shù)方法求解，再根據(jù)代數(shù)方法求得的解探討幾何計(jì)算方法，加入D點(diǎn)位置變化和ACB大小變化兩種情況進(jìn)行探究，層層遞進(jìn)。首先從探究特殊情況下三條線段之間的關(guān)系入手，再逐漸從兩個(gè)方面改變已知量加深探究，最后得出D點(diǎn)位置變化和ACB大小變化的緊密關(guān)系：

探究1.1：已知等腰直角三角形ABC，∠C=900，在斜邊AB的同側(cè)作角∠ADB=900，連接CD，試探討：線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系？

解：幾何方法: 在AD上取AE，使得AE=BD,連接CE,則

在斜邊AB的同側(cè)作角∠ADB=900，此時(shí)也有兩種情況，一是在C點(diǎn)的右側(cè)，二是在C點(diǎn)的左側(cè)。第一種情況已解決，但是在C點(diǎn)的左側(cè)情況類似于第一種情況，就在此不做探究，其關(guān)系是。再深一層，如D點(diǎn)跟C點(diǎn)在直線AB的異側(cè)呢？下面對(duì)這種情況繼續(xù)探究。

探究1.2：已知等腰直角三角形ABC，∠C=900，在斜邊AB的異側(cè)作角∠ADB=900，連接CD，試探討：線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系？

解：幾何方法:延長(zhǎng)DA到E，使得AE=BD, 連接CE, 則

在斜邊AB的同側(cè)作角∠ADB=900，此時(shí)ADB的大小發(fā)生變化呢？線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系又會(huì)如何呢，下面先研究特殊角下的情形，比如600，下面對(duì)這種情況繼續(xù)探究。

探究2.1：已知等腰三角形ABC，∠C=600，在斜邊AB的同側(cè)作角∠ADB=600，連接CD，試探討：線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系？

解：幾何方法: 在AD上取AE，使得AE=BD,連接CE,則

在斜邊AB的異側(cè)作角∠ADB=600，此時(shí)ADB的大小發(fā)生變化呢？線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系又會(huì)如何呢，下面對(duì)這種情況繼續(xù)探究。

探究2.2：已知等腰三角形ABC，∠C=600，在斜邊AB的異側(cè)作角∠ADB=600，連接CD，試探討：線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系？

解：幾何方法: 延長(zhǎng)DA到E，使得AE=BD,連接CE,則

CE=AD ,∠E=∠BDA=600

設(shè)AD=x, AE=y,

在△DCE中由余弦定理有

在斜邊AB的同側(cè)作角∠ADB=x0，此時(shí)∠ADB的大小發(fā)生變化呢？線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系又會(huì)如何呢，下面對(duì)這種情況繼續(xù)探究。

探究3.1：已知等腰三角形ABC，∠C=x0，在斜邊AB的同側(cè)作角∠ADB=x0，連接CD，試探討：線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系？

解：幾何方法: 在AD上取AE，使得AE=BD,連接CE,則

在△ACE和△BDC中

CE=CD ,∠ACE=∠BCD

∴∠ECD=∠ACB=x0,△DCE為等腰三角形.

此問題的結(jié)論滿足前面的特殊情況下的探究,具有一般性。

在斜邊AB的異側(cè)作角∠ADB=x0，此時(shí)ADB的大小發(fā)生變化呢？線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系又會(huì)如何呢，下面對(duì)這種情況探究。

探究3.2：已知等腰三角形ABC，∠C=x0，在斜邊A B的異側(cè)作角∠ADB=x0，連接CD，試探討：線段CD,AD,BD之間的數(shù)量關(guān)系？

此種情況下，A,B,C,D這四點(diǎn)再不具有共圓的性質(zhì)，且角之間的關(guān)系也被破壞，因此不再具有前面的關(guān)系,破壞了一般性.

本文主要結(jié)合代數(shù)和幾何地解決幾何問題,從代數(shù)中尋找解決幾何方法,這也是一種解決幾何的途徑,為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何又提供了一種思路,同時(shí)又從數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系對(duì)這種問題進(jìn)行變形,指引著學(xué)生對(duì)問題的進(jìn)一步思考,也指明了思考的方向.