湖北省黃岡市武穴市雙城中學(xué) 高雪云

在三角函數(shù)證明里，大多數(shù)情況需要證一恒等式，證明方法因題而異，具體問題具體分析，則針對三角函數(shù)的證明方法不外乎以下幾種。

一、證明三角函數(shù)等式一般的三種方法

1.如果需證三角函數(shù)等式只含同角三角函數(shù)，則可以從變化函數(shù)入手，即盡量把等式中所含不同的三角函數(shù)都化為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，或全化為某一函數(shù)，雖然能達(dá)到最終目標(biāo)，但這種方法不一定是最簡單的。

2.若需證三角函數(shù)等式證明中含有不同角的三角函數(shù)，則宜從角的簡化入手，盡量化復(fù)角為單角，或者減少不同角，以便能使用某一公式進(jìn)行變形。

例1.求證： cos5A+sin2Asin3A=cos2Acos3A

證明:原式左邊=cos（2A+3A）+sin2Asin3A

=cos2Acos3A-sin2Asin3A+sin2Asin3A

=cos2Acos3A=右端

此題屬于含不同角的三角函數(shù)證明，則可采取全部化為單角A的函數(shù)，但方法太繁，若只減少不同角，則可將5A化為（2A+3A），當(dāng)然此處選擇（2A+3A）而不選用（A+4A）呢？這是根據(jù)此題的實際情況，只涉及到2A與3A的三角函數(shù)。因此，舉一反三可證明例2。

例2.求證:cos（n-1）AcosA-cosnA=sin（n-1）AsinA

按前面所述，上題也為不同角的三角函數(shù)的等式證明，當(dāng)然從減少不同角入手，因而可受上面方法的啟發(fā)，用一樣的方法思考來證明公式，而有：

證明：原式左邊=cos（n-1）AcosA-cos[（n-1）A+A]

=cos（n-1）AcosA-cos（n-1）AcosA+sin（n-1）AsinA

=sin（n-1）AsinA=右端

這種證法可總結(jié)三個步驟為：

（1）減少不同角，配出和差角；

（2）展開和差角公式；

（3）簡化得解；

從這類例子中，掌握了“加同一量與減同一量結(jié)果不變”這一原則，就可以把非和差角的函數(shù)或不合乎解題要求的和差角函數(shù)代換為我們所要求的和差角函數(shù)，而得出解來。

3.在證明三角函數(shù)等式中，“1”出現(xiàn)的頻率很高，則可把“1”代換為sin2α+cos2α或tg450以及ctg450等，也可以將等式中某項常數(shù)或整個等式的

一端乘以（或除以）sin2α+cos2α或tg450以及ctg450等

二、運(yùn)用三角函數(shù)公式來證明

三角函數(shù)這一章里公式繁多，公式的運(yùn)用在三角函數(shù)證明里有舉足輕重地作用，這也必使我們在理解地基礎(chǔ)上，才有可能靈活地運(yùn)用公式，死記硬背當(dāng)然也可解決一些問題，但對較繁的題或解法有技巧的題，無能為力了。那么，我們總結(jié)使用某一組公式證明等式的規(guī)律，這樣作可以防止我們證明等式是由于心中無數(shù)而產(chǎn)生回避的毛病，就運(yùn)用和差化積公式證明而言，對證題步驟作以下的歸納對比，不難發(fā)現(xiàn)其運(yùn)用范圍，遇到這種類型問題，也就迎刃而解了，下面舉例說明。

例4.已知：A+B+C=1800，

通過再次歸納，顯然使我們發(fā)現(xiàn)和差化積公式作恒等變換的規(guī)律為

“化積—化簡合并—再化積—再化簡”的有限次重復(fù)。也就是“代換化積公式與化簡合并”交替進(jìn)行。運(yùn)用和差化積證明只是三角函數(shù)證明中的一個縮影，當(dāng)我們掌握了公式的特征，并且需依據(jù)題目的內(nèi)容及形式選用公式。

三、條件等式及邊角等式的證明方法

1.條件等式都是在給定條件下來證明等式成立，較普遍的如限制等式中的角為三角形的三內(nèi)角；或是由根式而給出角的存在范圍，以便在去根號時確定符號，這類等式的證明實質(zhì)上所給條件僅是確定定義域 或代換角，故證題時只要能抓住這一點(diǎn)，在需要由定義域來解決問題時或需要代換角時把條件應(yīng)用上就可以。

2.邊角等式，實質(zhì)上也是條件等式中的一種，它的特點(diǎn)是限制在三角形邊角元素條件下成立，并以三角形的邊及角的三角函數(shù)用運(yùn)算關(guān)系組合而成，證明方法常用的方法：一種是用三角形的邊角關(guān)系式，一般指正弦定理，余弦定理，等等來代換原等式中的三角函數(shù)為邊元素，使原等式變形為全含邊元素組成的代數(shù)恒等式之后，再使用代數(shù)等式證明的方式解決；另一種是把原等式中的邊元素用邊角關(guān)系式代換為三角函數(shù)，使原等式中邊元素全部消去而得一新的三角函數(shù)等式，在依靠證明三角恒等式的方法解決。

以上淺談了三角函數(shù)的證明的基本方法，那么我們針對某一題從不同的角度與著眼點(diǎn)按條件引用恰當(dāng)公式進(jìn)行解題，這樣可不但鍛煉我們的恒等變換能力外，而且能鞏固基本知識，同時發(fā)展思維，培養(yǎng)綜合解題能力。

當(dāng)然，在當(dāng)今社會，而創(chuàng)新能力是其中為重要的素質(zhì)，所以在三角函數(shù)的證明過程中，要不斷地創(chuàng)新，不局限古板的方法，根據(jù)題目的本身的特點(diǎn)，運(yùn)用適合的證明方法，具體問題具體分析，以達(dá)到能夠采用最簡便的證明方法。