李軍依，王淑穎，李　進(jìn)，丁永文

(遼寧師范大學(xué),遼寧 大連　116029)

*通訊聯(lián)系人

菲涅耳公式的研究及數(shù)值模擬

李軍依，王淑穎，李進(jìn)，丁永文*

(遼寧師范大學(xué),遼寧 大連116029)

摘 要：菲涅耳公式闡述了光在兩種不同透明介質(zhì)的分界面上，發(fā)生反射和折射現(xiàn)象時，反射光、折射光的振幅變化規(guī)律。本文通過對菲涅爾公式的變形處理，得到了新的表達(dá)形式,并且應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬，使菲涅耳公式的物理意義更清晰明了。

關(guān)鍵詞：菲涅耳公式；公式變形；數(shù)值模擬

1菲涅耳公式的意義

(1)

(2)

(3)

(4)

其中公式(1)、(2)是指反射光垂直和水平振幅分量與入射光垂直和水平振幅分量的比值；(3)、(4)是折射光垂直和水平振幅分量與入射光垂直和水平振幅分量的比值。

圖1　在兩種不同透明介質(zhì)分界面上發(fā)生的反射和折射現(xiàn)象

2公式的變形

(5)

(6)

同理可推導(dǎo)出(7)、(8)：

(7)

(8)

菲涅爾公式是相對于振幅而言的，實(shí)際上，光強(qiáng)才是可測物理量，而光強(qiáng)與振幅的平方成正比。令Rs、Rp分別表示s光和p光的光強(qiáng)反射率 ，Ts、Tp分別表示s光和p光的光強(qiáng)折射率， 則得到如下公式：

(9)

(10)

(11)

(12)

這就是光在介質(zhì)交界面上反射和折射過程中， s光和p光的光強(qiáng)反射率及光強(qiáng)折射率，與入射角i1和兩介質(zhì)相對折射率n的關(guān)系，從而可以方便地進(jìn)行數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

3數(shù)值模擬

利用MATLAB軟件對公式(9)(10)(11)(12)進(jìn)行數(shù)值模擬。分為以下兩種情況：

第一種情況是相對折射率 n為定值時 ，假設(shè)取n =1.5，研究光強(qiáng)反射率和光強(qiáng)折射率隨入射角i1的變化情況，得到圖象如圖2、3。

圖2　Ts隨入射角的變化關(guān)系

圖3　Rp與入射角的變化關(guān)系

Rs-i1

(13)

Rp-i1

(14)

Ts-i1

(15)

Tp-i1

(16)

由圖(2-3)可以看出：

在入射角為57°左右時，水平方向的光強(qiáng)反射率Rp為0，Rs不為0，此時反射光為線偏振光，偏振方向與s方向平行，該入射角即為布魯斯特角，圖象較直觀地驗(yàn)證了布魯斯特定律。

當(dāng)相對折射率n一定時，水平方向的光強(qiáng)反射率Rp以布魯斯特角為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，先隨入射角i1的增大緩慢減小直至為零，后Rp迅速增大。垂直方向的光強(qiáng)反射率Rs隨入射角i1的增大而逐漸增大。

圖4　Ts隨入射角的變化關(guān)系

圖5　Tp隨入射角的變化關(guān)系

由圖(4)、(5)可以看出：

當(dāng)相對折射率n一定時，水平方向的光強(qiáng)折射率Ts 、垂直方向的光強(qiáng)折射率Tp都隨入射角i1的增大而逐漸減小的。

圖6　Rs隨n變化關(guān)系

圖7　Rp隨n的變化情況

第二種情況是入射角i1為定值時，研究光強(qiáng)反射率和光強(qiáng)折射率隨介質(zhì)相對折射率n的變化而變化的情況。分別以入射角為i1=20°、i2=30°、i3=40°為例進(jìn)行模擬，得到圖象如圖6-9。

圖8　Ts隨n變化情況

圖9　Tp隨n變化情況

Rs-n(i1、i2、i3)

(17)

Rp-n(i1、i2、i3)

(18)

Ts-n(i1、i2、i3)

(19)

Tp-n(i1、i2、i3)

(20)

圖像表明：光強(qiáng)反射率Rs、Rp隨相對折射率n的增大而增大,光強(qiáng)折射率Ts、Tp隨相對折射率n的增大而減小。

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Experimental Study and Numerical Simulation of Fresnel Formula

LI Jun-yi,WANG Shu-ying,LI Jin,DING Yong-wen

(Liaoning Normal University,Liaoning Dalian 116029)

Abstract：Fresnel formula presents the law for the change of amplitude when reflection or refraction of light happens on two different kinds of transparent media.By deformation treatment of Fresnel formula,the paper gained a new expression and generated numerical modelling through applying Matlab,which makes it clearer and simpler of Fresnel formula’s physical significance.

Key words：Fresnel formula；the formula of deformation；numerical simulation

收稿日期：2015-11-22

基金項(xiàng)目：遼寧省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)系列計(jì)劃項(xiàng)目(201310165014)

文章編號：1007-2934(2016)02-0034-04

中圖分類號：O 4-39

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.002.009