杜威說(shuō)：“學(xué)習(xí)，就是要學(xué)會(huì)思維。”讓學(xué)生處于發(fā)現(xiàn)的狀態(tài)，他的思維就很可能處于激活之中，如此高效的心理活動(dòng)獲得的知識(shí)，必然是鮮活的，可以“長(zhǎng)期保鮮”的。如此“發(fā)現(xiàn)”之后，帶來(lái)的很可能是改變和創(chuàng)造。然而，思維又起始于問(wèn)題，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而思維活動(dòng)又集中地表現(xiàn)為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的活動(dòng)。沒(méi)有問(wèn)題就沒(méi)有思維，沒(méi)有好的問(wèn)題，就沒(méi)有優(yōu)質(zhì)的思維。因而數(shù)學(xué)教學(xué)就要從問(wèn)題開(kāi)始，以問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)為起點(diǎn)，以問(wèn)題的探究為主線(xiàn)，以問(wèn)題的解決為目標(biāo)，引發(fā)、調(diào)控和維持學(xué)生的思維活動(dòng)，激發(fā)深度的思維，來(lái)揭示知識(shí)的發(fā)生過(guò)程和方法的形成過(guò)程。在這樣的思維活動(dòng)中，探究數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)，建構(gòu)數(shù)學(xué)，走進(jìn)數(shù)學(xué)思維之幽境。

一、問(wèn)題：數(shù)學(xué)教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)

問(wèn)題，概略地說(shuō)是指需要研究和解決的矛盾和困難。問(wèn)題是思維的啟發(fā)器。如果沒(méi)有問(wèn)題，至少就沒(méi)有專(zhuān)注的深入的思維。數(shù)學(xué)知識(shí)本身就是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的產(chǎn)物，是思維活動(dòng)的結(jié)果，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須從問(wèn)題開(kāi)始。問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的載體，教學(xué)過(guò)程從問(wèn)題開(kāi)始，問(wèn)題的提出就確定了探究的方向。問(wèn)題不僅是學(xué)生思維活動(dòng)的動(dòng)力，而且還是思維的素材。問(wèn)題也是教師教學(xué)活動(dòng)的載體。教師正是通過(guò)提出問(wèn)題來(lái)啟發(fā)、喚醒和幫助學(xué)生，對(duì)學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行調(diào)控，使之符合數(shù)學(xué)文化的規(guī)范，從而發(fā)揮其主導(dǎo)作用。

問(wèn)題還提供了師生交流的平臺(tái)。在教學(xué)中，教師要把教師和學(xué)生的活動(dòng)統(tǒng)整到提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的活動(dòng)中去。教師通過(guò)提出問(wèn)題來(lái)激發(fā)、調(diào)控學(xué)生的思維活動(dòng)，來(lái)揭示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和形成的過(guò)程，傳遞數(shù)學(xué)文化的信息，建構(gòu)數(shù)學(xué)，獲取新知，形成能力，獲得發(fā)展。

著名數(shù)學(xué)特級(jí)教師張乃達(dá)先生提出了改進(jìn)了的數(shù)學(xué)“新知”教學(xué)的模式。這個(gè)模式也被稱(chēng)為數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題教學(xué)模式，用框圖示意如下表。

其要點(diǎn)是，在采用數(shù)學(xué)知識(shí)的同化或形成的學(xué)習(xí)模式之前，增加以下環(huán)節(jié)：通過(guò)解決初始問(wèn)題的思維活動(dòng)或?qū)徝阑顒?dòng)，讓學(xué)生產(chǎn)生建立“新知”的意識(shí)（念頭）。在“新知”形成之前，首先讓學(xué)生建立起與新知識(shí)相關(guān)的框架或觀念（即從整體上把握知識(shí)）。初始問(wèn)題是能導(dǎo)致數(shù)學(xué)“新知”產(chǎn)生的問(wèn)題，可分為應(yīng)用性和結(jié)構(gòu)性?xún)深?lèi)。其中應(yīng)用性初始問(wèn)題具有較好的情境性，而結(jié)構(gòu)性初始問(wèn)題則具有更好的結(jié)構(gòu)性，更有利于意義建構(gòu)的展開(kāi)。前者引發(fā)的是解決問(wèn)題的求真活動(dòng)，后者引發(fā)的是數(shù)學(xué)的審美活動(dòng)。

總之，在設(shè)計(jì)教學(xué)問(wèn)題時(shí)，要充分考慮到“新知”的主干內(nèi)容、內(nèi)在的核心結(jié)構(gòu)，以及其順其自然又合乎邏輯的呈現(xiàn)方式。

二、探究：數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線(xiàn)

江蘇省教育科學(xué)研究院李善良博士曾經(jīng)指出：“讓數(shù)學(xué)成為文化，讓探究成為習(xí)慣，讓學(xué)生享受數(shù)學(xué)。”這深刻地指明了數(shù)學(xué)教學(xué)是極具“數(shù)學(xué)味”的“探究性學(xué)習(xí)”。蘇格拉底說(shuō)過(guò)：“教育是點(diǎn)燃?！庇谑牵跀?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)該尋找學(xué)生思維的觸發(fā)點(diǎn)，去“點(diǎn)燃”其思維的火花，“投其所好”“火上澆油”。從目標(biāo)定位、教法確定、過(guò)程推進(jìn)等方面，處處要滲透著探究精神和培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，從而提升思維素養(yǎng)。

1.探究目標(biāo)基于對(duì)未知問(wèn)題的化歸

通過(guò)活動(dòng)，探究、觀察φ、A、ω對(duì)函數(shù)圖象的影響，并能概括出三角函數(shù)圖象種種變換的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律，從而逐步研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，進(jìn)而達(dá)到學(xué)生學(xué)會(huì)的目的。

通過(guò)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的探究過(guò)程的體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察問(wèn)題和探究問(wèn)題的能力。經(jīng)歷“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、由特殊到一般”的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)圖象變換的本質(zhì)。領(lǐng)會(huì)到“從特殊到一般，從具體到抽象”的思維方法，在探究過(guò)程中滲透化歸、類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而達(dá)到學(xué)生會(huì)學(xué)的目的。

讓學(xué)生自主研究探究策略，經(jīng)歷和探究過(guò)程，形成“從具體到抽象、由感性到理性、由特殊到一般”的數(shù)學(xué)理念，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知策略；通過(guò)自主探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力；相互交流，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識(shí)，達(dá)到學(xué)生樂(lè)學(xué)，進(jìn)而提升素質(zhì)的目的。

2.探究方法基于對(duì)“最近發(fā)展區(qū)”的把握

以核心問(wèn)題為中心，以探究解決問(wèn)題的方法為主線(xiàn)，由易到難，由已知到未知，層層推進(jìn)，使學(xué)習(xí)過(guò)程成為學(xué)生對(duì)書(shū)本知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再思考、再創(chuàng)造的過(guò)程，提升學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

以核心問(wèn)題為線(xiàn)索，讓學(xué)生從問(wèn)題中質(zhì)疑、探究、類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、歸納、總結(jié)、反思，從而培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3.探究策略基于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知

關(guān)于“y=Asin（ωx+φ）的圖象”的教學(xué)設(shè)計(jì)。通常的設(shè)計(jì)思路是：作圖觀察→理性思考→得出具體的結(jié)論→概括為一般化的結(jié)論。

師：y=Asin（ωx+φ），其中A>0，ω>0，如何研究？

生：畫(huà)圖象研究。

師：圖象是什么模樣（樣子）？

生：與y=sinx差不多（猜想）！

師：為什么（逼著學(xué)生不僅會(huì)想當(dāng)然，更要會(huì)理性思考）？

“一石激起千層浪”，思維的琴弦被撥響了，同學(xué)們投入了緊張的思考。有的學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，想從圖象上發(fā)現(xiàn)竅門(mén)；有的同學(xué)進(jìn)行運(yùn)算，想從計(jì)算中發(fā)現(xiàn)規(guī)律；有的同學(xué)進(jìn)行類(lèi)比，想從類(lèi)比中發(fā)現(xiàn)路徑。

下面是我們進(jìn)行特殊化探究的過(guò)程。

當(dāng)A=1，ω=1，φ=0時(shí)，函數(shù)就是y=sinx。

那么，y=Asin（ωx+φ）與y=sinx究竟具有怎樣的關(guān)系呢？

顯然，在這里，A、ω、φ是構(gòu)成影響的三個(gè)要素。

現(xiàn)在我們就來(lái)分別研究A、ω、φ對(duì)y=sinx的影響。為節(jié)省篇幅，我們略去后面的研究過(guò)程。

至此，我們不難發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)，順應(yīng)以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生獲取知識(shí)是容易的，教師的教學(xué)也是輕松的，教學(xué)的效果也是不錯(cuò)的。

但是，我們不難發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，幾乎是完全按照教師的指令進(jìn)行操作活動(dòng)，也不是處于積極的主動(dòng)的專(zhuān)注的思維狀態(tài)。原因是在教學(xué)的過(guò)程中忽視了“核心知識(shí)”的價(jià)值，忽視了深層次的思維動(dòng)力，忽視了為思維而教的數(shù)學(xué)教學(xué)宗旨。

現(xiàn)在，我們對(duì)上面的教學(xué)設(shè)計(jì)作一些改進(jìn)。

師：我們今天開(kāi)始在研究y=sinx圖象的基礎(chǔ)上，再研究y=Asin（ωx+φ）的圖象，你有過(guò)類(lèi)似的經(jīng)歷嗎？

生：在初中，我們?cè)谘芯縴=x2的圖象的基礎(chǔ)上研究y=a（x-h）2+k，和它差不多。

師：我們先回憶一下初中時(shí)研究的情形。

類(lèi)似地，我們提出此問(wèn)題的研究思路。

甚至，我們還可以引領(lǐng)學(xué)生思考下面兩個(gè)問(wèn)題：回憶從y=x到y(tǒng)=kx圖象的研究過(guò)程，思考從y=sinx到y(tǒng)=Asinx圖象具有怎樣的關(guān)系。這是兩個(gè)用“類(lèi)比”走向“發(fā)現(xiàn)”的深層次思維的問(wèn)題。至此，我們已經(jīng)不難發(fā)現(xiàn)，y=Asin（ωx+φ）的研究已經(jīng)沒(méi)有什么新意了，可以輕松解決。

這樣的設(shè)計(jì)，抓住了核心知識(shí)的價(jià)值。對(duì)思維發(fā)展而言，是超越了低層次的借鑒與模仿，對(duì)思維能力的提升是全面、科學(xué)和深層次的。

三、素質(zhì)：數(shù)學(xué)教學(xué)的落腳點(diǎn)

德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞。”在教學(xué)的過(guò)程中依據(jù)問(wèn)題的思維度和問(wèn)題的功能作出適時(shí)的評(píng)價(jià)，通過(guò)調(diào)整、控制學(xué)生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵(lì)學(xué)生深度思維、促進(jìn)問(wèn)題、解決提升素質(zhì)的重要手段。

解決問(wèn)題的活動(dòng)是一項(xiàng)目標(biāo)明確、受解題主體控制的有目的的思維活動(dòng)。因此，在這個(gè)過(guò)程中，必須有意識(shí)地對(duì)解決問(wèn)題的進(jìn)程進(jìn)行評(píng)價(jià)，促進(jìn)深度思維，對(duì)思維活動(dòng)進(jìn)行調(diào)節(jié)和控制，即監(jiān)控。

定向。即確定思考的方向，在具體的解決問(wèn)題的思維活動(dòng)中，就是要選擇一個(gè)“好”的思路，提出一個(gè)總的解決方案。

控制。即對(duì)思維過(guò)程的監(jiān)控與控制，它表現(xiàn)為對(duì)思維過(guò)程（思路、方案）的價(jià)值進(jìn)行評(píng)估，并對(duì)關(guān)鍵部位確定和控制。

調(diào)節(jié)。即對(duì)思維過(guò)程的價(jià)值所作出的反應(yīng)，表現(xiàn)為思路的堅(jiān)持、調(diào)整、修正或放棄。

上述三個(gè)環(huán)節(jié)，貫穿于整個(gè)解決問(wèn)題的思維過(guò)程之中。實(shí)際上不僅在思維的開(kāi)始，而且在整個(gè)過(guò)程的每一個(gè)分叉點(diǎn)上都要定向，并隨之進(jìn)行控制和調(diào)節(jié)，只有對(duì)問(wèn)題的思維過(guò)程作出有效的監(jiān)控，才能保證思維活動(dòng)的順利進(jìn)行。

在y=Asin（ωx+φ）圖象的教學(xué)中，“新知”的生成是在解決問(wèn)題的情境中引發(fā)的。問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題，感知實(shí)際的需要，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)是為解決問(wèn)題和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的需要而生成的。對(duì)其圖象的感悟和認(rèn)知是在觀察、比較、類(lèi)比等思維活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)的。

在y=Asin（ωx+φ）圖象的教學(xué)中，“新知”的建構(gòu)是在類(lèi)比中發(fā)現(xiàn)的，新知識(shí)的深化是在互動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的。學(xué)生通過(guò)深度的思維活動(dòng)，構(gòu)建了新知識(shí)，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的主體性，而教師則是通過(guò)一系列具有內(nèi)部邏輯聯(lián)系的問(wèn)題為學(xué)生提供了思維活動(dòng)的方向，起到了很好的控制和調(diào)節(jié)作用。

這里問(wèn)題的作用還表現(xiàn)在：承前啟后的情境應(yīng)用，自然而然的新知生成，貫穿始終的思想滲透，富有實(shí)效的素質(zhì)提升。

（尤善培，揚(yáng)州市邗江區(qū)教育局，225009）

責(zé)任編輯：趙赟