◆楊小璐

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談數(shù)學(xué)猜想在初中幾何題中應(yīng)用

◆楊小璐

內(nèi)地西藏班初中生是西藏自治區(qū)教育部門(mén)根據(jù)小升初考試成績(jī)擇優(yōu)選送到內(nèi)地就讀的，因此與在西藏就讀的藏族學(xué)生相比，他們大都具有較好的學(xué)習(xí)品質(zhì)。內(nèi)地西藏班初中生在簡(jiǎn)單的類(lèi)比上得分不亞于內(nèi)地漢族學(xué)生，但在對(duì)幾何圖形關(guān)系作出分析和判斷，涉及到整體與部分、抽象與具體等復(fù)雜類(lèi)比時(shí)明顯差于內(nèi)地漢族學(xué)生。換句話來(lái)說(shuō)，即邏輯思維能力弱，圖形抽象能力差。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)也要注重學(xué)生的發(fā)散思維，重視猜想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅概念、定理的形成過(guò)程中有猜想思維，同時(shí)在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題中也需要猜想的方法。初中幾何教學(xué)中，由于圖形問(wèn)題的抽象特點(diǎn)，不少學(xué)生存在一定的困難，特別是對(duì)于內(nèi)地西藏班學(xué)生特別困難，故我們可以在解題過(guò)程中先直觀判斷幾何圖形，引入猜想的方法，便于解決問(wèn)題。

一、什么是數(shù)學(xué)猜想

數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和已經(jīng)知道的事實(shí)，對(duì)一些未知量或者其之間的相互關(guān)系作出一定的推斷。數(shù)學(xué)猜想具有創(chuàng)造性的特點(diǎn)，是一種比較高級(jí)的數(shù)學(xué)思維方式，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的幫助。數(shù)學(xué)猜想是一種數(shù)學(xué)推導(dǎo)推理的重要方法，它以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)，按照一定的邏輯方法進(jìn)行推導(dǎo)，它在某些方面又依靠敏銳的直覺(jué)。［1］但是數(shù)學(xué)猜想和直覺(jué)之間有存在著一定的差異，猜想是一種發(fā)散性的思維，它不受一定的框架的束縛。數(shù)學(xué)猜想作為一種重要的數(shù)學(xué)思維，它依靠前期的觀察、試驗(yàn)、歸納等，然后進(jìn)行一些合理的估計(jì)和推測(cè)，它需要一定的邏輯推理來(lái)作為支撐。數(shù)學(xué)猜想在建立在一定的邏輯推理的基礎(chǔ)上，它不是毫無(wú)根據(jù)的憑空想象。數(shù)學(xué)猜想是一種比較高級(jí)的猜想，和生活中的猜想具有本質(zhì)的區(qū)別。

數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)研究的一種重要的科學(xué)思維形式，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中具有重要的應(yīng)用。它也豐富了數(shù)學(xué)理論，同時(shí)也推動(dòng)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。數(shù)學(xué)研究作為一種探索性的思維活動(dòng)，在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也常常用到探索性的思維方式，通過(guò)提出合理的猜想，進(jìn)而驗(yàn)證解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用，在解決一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候僅僅依靠直覺(jué)思維是無(wú)法解決所有問(wèn)題的。特別是在數(shù)學(xué)考試的過(guò)程中，往往會(huì)面臨一些新的題型和數(shù)學(xué)問(wèn)題，在時(shí)間比較有限的要求下，這個(gè)時(shí)候數(shù)學(xué)猜想可以幫助學(xué)生盡快的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

二、數(shù)學(xué)猜想在初中幾何題目中的應(yīng)用分析

在數(shù)學(xué)猜想中充滿(mǎn)了不確定性，特別是其結(jié)果，有時(shí)候一道幾何題目從猜想的角度看會(huì)有多種答案，但是其正確答案往往只有一種，例如以下題目：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和是什么關(guān)系，并且證明自己的結(jié)論。學(xué)生在面對(duì)這一題目的時(shí)候，往往會(huì)自己畫(huà)圖，在這個(gè)時(shí)候，有些學(xué)生由于思維定勢(shì)的影響，畫(huà)出的圖形是梯形的、正方形的或者任意四邊形的。而答案也有三種情況，AB+CD>AD+BC，AB+CD=AD+BC，AB+CD

直觀性在中學(xué)幾何教學(xué)的過(guò)程中得到了比較廣泛的應(yīng)用，幾何課教學(xué)作為中學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)。由于幾何題目對(duì)于學(xué)生的空間思考能力具有一定的要求，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中普遍存在一定的困難。幾何作為一門(mén)比較抽象而又邏輯性要求比較高的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，在教學(xué)的過(guò)程中利用數(shù)學(xué)猜想中的直觀法會(huì)取得不錯(cuò)的效果。如下題，在△ABC中∠BAC的平分線和∠ABC的平分線交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交與三角形的外接圓于D點(diǎn)，連接CD、CE、BD，其中∠BDA=60°，∠BDC=120°，猜想四邊形BDCE是什么樣的四邊形，并且證明自己的結(jié)論。

這一題目看上去有一定的難度，但是也有學(xué)生根據(jù)題目條件直接判斷為菱形。證明過(guò)程如下：由于∠BDA=60°，∠BDC=120°，所以弧BAC的度數(shù)為240°，弧BDC的度數(shù)為

120°，∠BEC=120°，又因?yàn)锳E是∠BAC的平分線，所以弧BD和弧CD的度數(shù)為60°，

∠BAD=∠CAD=∠DBC=30°，則BD=CD，所以∠DBA是直角，則∠CBE=∠ABE=30°.可以得到∠DBE=60°，同理可以得到∠DCE=60°，可以證明四邊形BDCE為平行四邊形，同時(shí)又有BD=DC，所以平行四邊形BDCE是菱形。

解決此題的關(guān)鍵是依靠學(xué)生的直覺(jué)性，其前提是要準(zhǔn)確的把握題目所給出的條件和菱形的證明方法。通過(guò)學(xué)生的觀察、聯(lián)想等，根據(jù)所學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)和方法，進(jìn)行大膽的猜想和探索，最終找到問(wèn)題的答案。［3］

三、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于初中學(xué)生特別是內(nèi)地西藏班初中生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)猜想也比較符合學(xué)生的實(shí)際，特別是符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律。數(shù)學(xué)猜想注重知識(shí)的形成過(guò)程，對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展具有重要的影響，特別是對(duì)于學(xué)生能力的培養(yǎng)和提高具有重要的幫助。數(shù)學(xué)猜想改變了學(xué)生單一直接的解題反思，改變了學(xué)生的解題模式，符合新課程改革下快速解題的要求。

參考文獻(xiàn)：

［1］侯月平.數(shù)學(xué)猜想教學(xué)的實(shí)踐研究［D］.河北師范大學(xué)，2011.

［2］王文忠，杭雅琴，蔣明玉等.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)猜想能力的思考與實(shí)踐［J］.中小學(xué)校長(zhǎng)，2012，（07）﹕61-65.

［3］田志裕.數(shù)學(xué)猜想對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的影響［J］.科海故事博覽·科教論壇，2012，（05）﹕164-164.

作者單位：江蘇省南通西藏民族中學(xué)

責(zé)任編輯：周朝坤

證明：因?yàn)锳B、BC、CD、DA四條邊和圓相切，所以AL=AP、LB=MB、DN=DP、NC=MC，AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AP+DP+MB+MC，由此可以得到AB+CD=AD+BC，即圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等。在猜想的過(guò)程中由于其結(jié)果的不確定性，往往會(huì)導(dǎo)致學(xué)生進(jìn)入到不同的誤區(qū)。但是只要按照所學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)和結(jié)論進(jìn)行判斷，通過(guò)一步步的嘗試，才能夠驗(yàn)證猜想的正確性。［2］