汪 森，陳 浩，王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

一維更鍵反鐵磁鏈的孤子激發(fā)*

汪 森，陳 浩，王瑞強(qiáng)

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣東 廣州 510006)

反鐵磁鏈；孤子；多重尺度法

磁性物質(zhì)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中占有重要地位，對于它的理論研究一直是凝聚態(tài)物理學(xué)[1-3]、材料物理學(xué)等的熱點[4-7]。由于磁性物質(zhì)的許多物理現(xiàn)象都與其磁性鏈中的非線性元激發(fā)(孤子)有關(guān)，準(zhǔn)一維磁體的孤子激發(fā)問題逐漸得到重視，并在理論研究上取得了一系列進(jìn)展[8-15],人們求出了一維磁性鏈中存在單離子各向異性、交換作用各向異性等非線性項時的孤子解。 由于很多磁性物質(zhì)具有更鍵的特點，文獻(xiàn)[10]已經(jīng)對一維更鍵鐵磁鏈的孤子激發(fā)進(jìn)行了研究。 一維更鍵反鐵磁物質(zhì)同樣重要，而且得到廣泛研究[16-19]，尤其是二聚化而導(dǎo)致更鍵的反鐵磁鏈[14,18-19]，成為近年研究的熱點，但一維更鍵反鐵磁的孤子激發(fā)問題還沒得到很好的解決。

對于一維反鐵磁鏈，很多模型中都考慮了Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用[11,13,15]，DM相互作用存在于很多反鐵磁體中，根源于粒子自旋和軌道耦合的反對稱性，是由Dzyaloshinskii[20]和Moriya[21]分別提出，是一種各向異性超交換相互作用。因為可用超交換作用模型解釋反鐵磁自發(fā)磁化的起因[22]，所以在反鐵磁模型中考慮超交換作用是很有必要的。Moriya在1960年給出了DM相互作用的表達(dá)式，常見的所研究的反鐵磁鏈模型中[11,13,15]，DM相互作用都是交錯的，其所對應(yīng)的哈密頓量為

(1)

上式中DZ=(0，0，D)，代表DM相互作用矢量，已取該矢量方向為Z方向，D為其大?。籗i和Si+1分別代表格點i和i+1上的自旋矢量。

DM相互作用是依賴于媒介而實現(xiàn)的，其大小一般情況下遠(yuǎn)小于最近鄰直接交換作用，如文獻(xiàn)[23-24]所述的苯甲酸銅和CsCuCl3這兩種物質(zhì)，因此在一維反鐵磁鏈中，考慮DM相互作用的同時，有必要考慮與其大小大致處于同一量級的次近鄰直接交換作用。

本文求出了一維更鍵反鐵磁鏈的亮孤子解，在鏈中考慮了DM相互作用、外磁場作用、最近鄰和次近鄰相互作用。 在此基礎(chǔ)上，討論了波數(shù)k、更鍵強(qiáng)弱對孤子峰值、寬度、能量等的影響。

1 模型的哈密頓量和運動方程

對于在外磁場作用下、具有DM相互作用的一維更鍵Heisenberg反鐵磁鏈，考慮到次近鄰相互作用時，其哈密頓量H可表示為:

(2)

(3)

可采用雙子格模型，設(shè)每個子格中自旋數(shù)為N,總的磁離子數(shù)為2N,并設(shè)2j、 2j+1兩子格中自旋分別沿+Z、-Z方向，利用Holstain-Primakoff變換[25]

(4a)

(4b)

(5)

在低溫情形下，對式(4a)、(4b)做展開，并略去算符的三階以上項，代入到式(3)中，結(jié)合式(5)以及各物理量的大小特點，得到

(6)

(7)

哈密頓量(6)式所描述的系統(tǒng)的量子態(tài)可表示為|ψ〉,滿足

(8)

利用海森伯運動方程，可得到算符a2j、b2j-1的運動方程，令Vj=α2j、φj=β2j-1，得

(J1S+J1′S-μB)Vj+J2S(Vj+1+Vj-1-2Vj)+

(9)

(J1S+J1′S+μB)φj+J2′S(φj+1+φj-1-2φj)+

(10)

2 多重尺度方法求解

利用準(zhǔn)分立近似和多重尺度相結(jié)合的方法[27-28]，將Vj(t)和φj(t)按下述方式展開：

(11)

(12)

(13)

其中

(14)

(15)

上式中,yj(t)代表Vj(t)或φj(t)；ε是展開小量；τ、ξj、θj都是多重尺度變量，其中θj為快變量，τ、ξj為慢變量；b則為最鄰近元胞的間距；t為時間，vg、ω為待求量。

把式(11)、(12)、(13)、(14)、(15)代入式(9)、(10)，并比較ε的不同冪次項。為了方便表達(dá)，定義如下：

(16)

(17)

(18)

1)比較ε的一次項，得到

(19)

(20)

由式(19)、(20)，得

(21)

由式(19)、(20)、(21)可得

(22)

(23)

上式中θj=kjb-ωt,其中的ω、A1為

(24)

(25)

(26)

(27)

C3=(J1S-iDS)exp(ikb)+

(28)

由以上計算過程可知，式(24)中ω即系統(tǒng)在不考慮非線性項時的自旋波頻率，分為光學(xué)支ω+和聲學(xué)支ω-。

2)比較ε的二次項，得到

(29)

(30)

由式(29)、(30)以及式(22)、(23)可得

(31)

上式中，右端含有誘發(fā)久期項的exp(iθj)，為了消除久期項，要求右端方括號內(nèi)的值為零,得到

(32)

(33)

[ivgA1-b(J1S-iDS)exp(ikb)-i2J2′SbA1sinkb]

(34)

3)比較ε的三次項，得到

(35)

(36)

由式(35)、(36)，結(jié)合式(22)、(23)、(32)、(33)、(34)可得

(37)

上式中，右端含有誘發(fā)久期項的exp(iθj)，為了消除久期項，得到

(38)

其中

(39)

(40)

(41)

很顯然，上式即是標(biāo)準(zhǔn)的非線性薛定諤方程。

3 孤子解

當(dāng)式(39)、(40)中P>0、Q>0時，根據(jù)文獻(xiàn)[27],式(41)有著亮孤子解,即

exp{i[qxj-(q2P-γ)t]}

(42)

將上式代入F1(τ,ξj)=f(xj,t)/ε，再結(jié)合式(11)、(15)、(22)、(23)，可知，在Vj(t)、φj(t)取一級近似下，有

(43)

(44)

其中Ω=qvg+q2P-γ+ω，γ>0，γ、k、q是待定常數(shù)，x0是積分常數(shù),b則為最鄰近元胞的間距，A1、vg、P、Q分別由式(25)、(32)、(39)、(40)表達(dá)。

若將所討論的反鐵磁鏈閉合成一個環(huán)，則Vj(t)滿足周期邊界條件Vj(t)=Vj+N(t)，式中N為元胞的個數(shù),代入式(43)，可得

(45)

將式(43)、(44)代入式(8)，得

(46)

將上式歸一化，得

(47)

4 討論(取q=0)

圖1 m取不同值時ω的圖像Fig.1 The images of ω with different m

圖2 m取不同值時Q的圖像Fig.2 The images of Q with different m

由兩孤波中Ω=qvg+q2P-γ+ω，γ>0，當(dāng)q=0時，有Ω=-γ+ω，可知Ω<ω，即兩孤波能量量子相同，且小于不考慮非線性項時自旋波相應(yīng)能量量子，這表明由于非線性相互作用而導(dǎo)致的孤波解是穩(wěn)定解。

很明顯，A1為復(fù)數(shù)，A1的大小和相位都隨m的變化而變，也就是說，更鍵的強(qiáng)弱不僅影響兩孤子的相對峰值大小，還影響相對相位。

圖3 m取不同值時Vj孤子峰值的圖像Fig.3 The images of the soliton peak of Vj with different m

圖4 m取不同值時φj孤子峰值的圖像Fig.4 The images of the soliton peak of φj with different m

圖6顯示了k=3時，Vj(t)(令x=jb)孤子的包絡(luò)振幅隨x、t變化的規(guī)律，可明顯看出，一維更鍵反鐵磁鏈中確實有孤子存在。

當(dāng)2qP+vg=0時，式(43)、(44)表示的孤子包絡(luò)振幅不隨時間而變化，代表局域模。

圖5 m取不同值時Vj孤子寬度的圖像Fig.5 The images of the soliton width of Vj with different m

圖6 k=3時Vj孤子振幅的圖像Fig.6 The image of the soliton amplitude of Vj with k=3

5 結(jié) 論

[1] 姜壽亭，李衛(wèi).凝聚態(tài)磁性物理[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2003: 122-142.

[2] 吳深尚. 鐵磁自旋波對Texture介觀環(huán)中持續(xù)電流的影響[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1996,35(3): 51-55.

[3] 姜濤, 劉金明. 一維Hubbard-Hirsoh模型的鐵磁性[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1996,35(3):56-61.

[4] 嚴(yán)密, 彭曉領(lǐng). 磁學(xué)基礎(chǔ)與磁性材料[M]. 杭州: 浙江大學(xué)出版社, 2006: 31-42.

[5]COEYJMD.Magnetismandmagneticmaterials[M].NewYork:CambridgeUniversityPress, 2009: 128-231.

[6] 鄭麗秋, 方前鋒. 巨磁電阻材料LaxMnO3的內(nèi)耗研究[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2001, 40(z2): 245-247.

[7] 徐星滿, 陳衛(wèi)麟. 碳酸根橋聯(lián)三核銅(Ⅱ)配合物的合成和磁性質(zhì)研究[J]. 中山大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2002, 41(4): 52-55.

[8] PUSHKAROV D I, PUSHKAROV K I. Solitary magnons in one-dimensional ferromagnetic chain[J]. Phys Lett A, 1977, 61(5): 339-340.

[9] 翁紫梅，陳浩.單離子各向異性影響下的一維鐵磁鏈中的孤子[J].物理學(xué)報,2007, 56(4): 1911-1918.

[10] 朱善華，黃國翔，徐在新.一維更鍵Heisenberg鐵磁鏈間隙非線性元激發(fā)[J].物理學(xué)報，1997，46(10): 2036-2046.

[11] PANDIT R, TANNOUS C, KRUMHANSL J A. Statistical mechanics of a classical one-dimensional canted antiferromagnet II Solitons[J]. Phys Rev B，1983，28(1): 289-299.

[12] GOUVEA M E, AS P. Nonlinear excitations in the classical one-dimensional antiferromagnet[J]. Phys Rev B, 1986, 34(1): 306-317.

[13] LIU W M, ZHOU B L. Solitons in an order-parameter-preserving antiferromagnet[J]. J Phys: Cond Matter, 1993, 5(12): L149-L156.

[14] 屈少華.反鐵磁鏈中的孤波研究[J].四川大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)， 2004，42(2): 106-109.

[15] DANIEL M, KAVITHA L. Localized spin excitations in an anisotropic Heisenberg ferromagnet with Dzyaloshinskii-Moriya interactions[J]. Phys Rev B, 2001, 63(17): 172302.

[16] CHIBA M, KUBO T, AJIRO Y, et al.S=1/2 quantum spin-gap in 1-D antiferromagnet with bond alternation: NMR study of CuCl2(γ-picoline)2[J]. Czechoslovak J Phys, 1996, 46(4): 1971-1972.

[17] SORENSEN E, AFFLECK I, AUGIER D, et al. Soliton approach to Spin-Peierls antiferromagnets: large-scale numerical results[J]. Phys Rev B, 1998, 58(22): R14701.

[18] 王治國，丁國輝，許伯威. 反鐵磁鏈的自旋Peierls相變[J]. 物理學(xué)報, 1999, 48(2): 296-301.

[19] 劉海蓮，王治國，陳宇光，等. 具有對稱和反對稱超交換作用的一維Spin-Peierls系統(tǒng)的基態(tài)行為[J]. 物理學(xué)報,2005, 54(5): 2329-2333.

[20] DZYALOSHINSKII I. A thermodynamic theory of “weak” ferromagnetism of antiferromagnetics[J]. J Phys. Chem Solids，1958，4(4)：241-255.

[21] MORIYA T. Anisotropic super exchange interaction and weak ferromagnetism[J]．Phys Rev，1960，120(1)：91-98.

[22] KRAMERS H A. L’interaction entre les atomes magnétogènes dans un cristal paramagnétique[J]. Physica 1, 1934, 1(1/2/3/4/5/6): 182-192.

[23] AFFLECK I， OSHIKAWA M．On the field-induced gap in Cu benzoate and other S=1/2 antiferromagnetic chains [J]．Phys Rev B，1999,60(2)：1038-1056.

[24] JACOBS A E, TETSURO N．Fluctuation-induced phase in CsCuCl3in a transverse magnetic field：Theory[J]．J Phys: Cond Matter，1998，10(28)：6391-6404.

[25] HOLSTEIN T, PRIMAKOFF H. Field dependence of the intrinsic domain magnetization of a ferromagnet[J]. Phys Rev, 1940,58(12): 1098-1113.

[26] Glauber R J. Coherent and incoherent states of the radiation field[J]. Phys Rev, 1963, 131(6): 2766-2788.

[27] 劉式適,劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程 [M]. 2版. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2012:127-132.

[28] YOSHIMURA K, WATANABE S. Envelope soliton as an intrinsic localized mode in a one-dimensional nonlinear lattice[J]. J Phys Soc Jpn, 1991, 60(1): 82-87.

Soliton excitation in a one-dimentional antiferromagnetic chain with bond alternation

WANGSen，CHENHao，WANGRuiqiang

(School of Physics and Telecommunication Engineering,South China Normal University,Guangzhou 510006,China)

antiferromagnetic chain； soliton； multi-scale method

10.13471/j.cnki.acta.snus.2016.03.015

2015-10-22

國家自然科學(xué)基金資助項目(11174088)

汪森( 1980年生) ，男;研究方向:低維非線性物理;通訊作者: 陳浩;E-mail:chenhao@ scnu.edu.cn

O482.51；O

A

0529-6579(2016)03-0089-08