楊小芳

[摘要]從不同角度、不同方向去思考問題，往往會(huì)得到多種精妙的解法，在解一些經(jīng)典幾何題時(shí)，可以采取基本幾何圖形的疊加法，使幾何題顯得更直觀，取得“無中生有，妙趣橫生”的效果.

[關(guān)鍵詞]幾何題 直觀 疊加法

[中圖分類號(hào)] G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2016）02-0050

幾何學(xué)不完全是邏輯推理、計(jì)算，幾何的直觀性能使解題充滿美感.我們?cè)谧非蟪Ｒ?guī)解題手段的同時(shí)，應(yīng)追求解題的美感、簡(jiǎn)潔性和直觀性，以下是筆者在競(jìng)賽輔導(dǎo)中積累的一些解題思路，有別于一般的添加輔助線的方法，而用了基本幾何圖形的疊加法，暫時(shí)叫它為“無中生有”，用這種方法解題也是“妙趣橫生”.

一、大道無痕，返璞歸真

圖3的格點(diǎn)圖不僅體現(xiàn)了圖形的直觀性，還體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的直觀性.圖中各條線段的長(zhǎng)都源自格點(diǎn)圖.“大道無痕，返璞歸真”，無字證明必是絕妙證明，直觀性可達(dá)極致.

格點(diǎn)圖求線段長(zhǎng)是一種常規(guī)題，難不倒學(xué)生，但用如此直觀的方法解題是學(xué)生很難想到的.數(shù)與形的完美結(jié)合能解決很多數(shù)學(xué)難題.教師不妨在平時(shí)有意識(shí)地讓學(xué)生記憶一些典型數(shù)據(jù)的幾何特征，如百等，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)圖形和數(shù)據(jù)的敏感度.

二、勾股弦圖，經(jīng)典之美

【例2】如圖4，以Rt△BCA的斜邊BC為一邊，在△BCA的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為（），連接AO，如果AB=3，AO=5/2，那么AC的長(zhǎng)為_____.

圖5是著名的弦圖，線段之間的關(guān)系一日了然.圖4已有了圖5的影子，可將圖4與圖5疊加.參加競(jìng)賽輔導(dǎo)的學(xué)生應(yīng)該不難想到點(diǎn)O是圖中一大一小兩個(gè)正方形的共同點(diǎn).得到AA'的長(zhǎng)度為10/2，馬上得到AM的長(zhǎng)，便能求出答案.

本題用到了“弦圖”這一基本圖形，逐步展示數(shù)據(jù)，得到結(jié)果，水到渠成，體現(xiàn)了“經(jīng)典之美”.許多數(shù)學(xué)題是在經(jīng)典試題和經(jīng)典圖形的基礎(chǔ)上改編而成的.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的幾何題從不“劍走偏鋒”.幾十年來，偏題、怪題屈指可數(shù)，即使是偏題、怪題，我們破解之后，也會(huì)發(fā)現(xiàn)它的每一步都很合理.

三、變換視角，豁然開朗

前面兩題用最基本的格點(diǎn)圖和常見的弦圖作為背景疊加圖，用最直觀的方法來做幾何題.這種解題方法說難也難，說易也易.其實(shí)用常見的幾何圖形作為背景，用疊加的形式可以很直觀地解題，如添加輔助線等.細(xì)心觀察，諸如此類的題還有很多.

【例3】如圖7，已知AB=12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD=5，BC=10。點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)是

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“AD=5，BC= lO，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)”是典型的應(yīng)用中位線解題的條件.而“AB_LBC于B.AB⊥AD于A”是典型的平行線條件.由圖7聯(lián)想到平行四邊形不難，把圖8作為背景圖疊加，答案一日了然.

上面三題用幾何最基本的格點(diǎn)圖、弦圖、平行四邊形作為疊加的背景，快速、準(zhǔn)確地解題，妙不可言.

當(dāng)然，不是所有的難題都可以用上述方法，但縱觀諸如此類的幾何題，只要抓住題日中的典型條件和典型特征.再結(jié)合平時(shí)做題的記憶，也不難解決.數(shù)學(xué)題都是“無巧不成書”：常規(guī)題就是給出完整的圖形、醒日的條件；而把圖隱去一部分，題日有隱含條件就是所謂的難題.所以，疊加一些基本幾何圖形作為背景，其實(shí)是在完美地補(bǔ)全題日殘缺的地方，呈現(xiàn)原有的常規(guī)形狀.這樣解題就變得直觀.