吳東敏

【摘要】 類比是根據(jù)兩個(gè)不同的對(duì)象，在某些方面（特征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，猜測(cè)這兩個(gè)對(duì)象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法.本文分別介紹了類比的含義，類比的作用及類比在數(shù)學(xué)解題中的各種應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 類比；推理方法；數(shù)學(xué)；應(yīng)用

一、類比法是重要的數(shù)學(xué)思想方法

類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出它們?cè)谄渌麑傩陨弦蚕嗤蛳嗨频耐评矸椒? 通俗地說就是化“生”為“熟”，按照熟悉事物的性質(zhì)、判定來研究陌生事物，使知識(shí)延伸.

在數(shù)學(xué)中，類比也是公認(rèn)的非常重要的數(shù)學(xué)思想方法之一. 在初中數(shù)學(xué)的許多方面都發(fā)揮著積極作用. 美國數(shù)學(xué)家波利亞對(duì)類比法十分推崇，他在《怎樣解題》的第三部分——探索法小詞典里，首先談到的即是類比. 他認(rèn)為： “在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學(xué)成就中無不充滿了類比. 類比可在不同的水平使用.”“我們希望能預(yù)測(cè)結(jié)果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測(cè)結(jié)果的某些特征.這種似乎可信的預(yù)測(cè)通常是以類比為基礎(chǔ)的.” 波利亞還說“類比是一個(gè)偉大的引路人”. 在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)展概念、定理、公式的重要手段；是提出新問題和猜想的重要方法；更是探索問題、解題的好工具：求解數(shù)值時(shí)，類比能讓復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化；證明時(shí)，類比能提供參照和捷徑；記憶數(shù)學(xué)時(shí)，類比能讓知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，讓記憶長(zhǎng)了翅膀. 類比能使難點(diǎn)簡(jiǎn)單化. 類比能使我們的知識(shí)更系統(tǒng)，思維更廣闊. 本文主要探索類比在解題中的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測(cè)性方法進(jìn)行探測(cè)的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.類比、歸納是獲得猜想的兩個(gè)重要的方法.

二、類比在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用舉例

1. 數(shù)和形的類比

類比分析 把數(shù)和形進(jìn)行類比，從數(shù)看是一個(gè)式子，從形看是兩點(diǎn)的距離，這樣題目更直觀，分析起來就更簡(jiǎn)單. 比如例1，如果單純從式子分析，很難做出來，但是從形，就很容易想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”.

反思 數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造關(guān)聯(lián)問題，拓寬解題思路.

2. 類似圖形的類比（類似知識(shí)點(diǎn)的遷移類比）

例2 如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥DE交BC于點(diǎn)F.

（1）求證：△ADE∽△BEF；

（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4，AE = x，BF = y.當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值？并求出這個(gè)最大值.

例3 如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為6，動(dòng)點(diǎn)D，E分別在線段BC和AC上運(yùn)動(dòng)，且∠ADE = 60°保持不變；

（1）設(shè)DC = x，AE = y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x的取值范圍）；

（2）在（1）中，當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷△AED的形狀，并說明理由.

類比分析 兩道例題都是證相似，而且都有共同的特點(diǎn)，就是有三個(gè)同樣的角，而且這三個(gè)角的頂點(diǎn)都在同一直線上，這樣很容易通過外角求得一個(gè)角相等，再加上本來的另一個(gè)角，就證得了相似，然后利用相似的邊的關(guān)系求得第二問.

反思 有些幾何問題，或圖形相似，或條件相似，或結(jié)論相似，通過對(duì)比分析，常能悟出解題的思路.

3. 從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的類比

例4 （1）如圖1，D，O，A三點(diǎn)共線， DO = OA ，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點(diǎn)E，連接BC.求∠AEB的大?。?/p>

（2）如圖2，當(dāng)D，O，A三點(diǎn)不共線，其他條件都不變，保持△OCD和△OAB的形狀和大小不變，求此時(shí)∠AEB的大小.

例5 已知：在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，D為BC的中點(diǎn).

（1）如圖（1），E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE = AF，試說明△DEF為等腰直角三角形.

（2）如圖2，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，仍有BE = AF，其他條件不變，那么△DEF是否仍為等腰直角三角形？請(qǐng)說明理由.

類比分析 這類題目，第一問都不是很難，第二問就是類比第一問，第一問證全等，第二問就證全等，第一問用了哪個(gè)定理，基本上第二問也用哪個(gè)定理，只是圖形點(diǎn)從線段上變到了線段的延長(zhǎng)線上或者從在同一直線上變成了不在同一直線上，看起來圖形復(fù)雜很多，但是解題方法是沒變的.

反思 無論圖形變得多么復(fù)雜，基本圖形不變，抓住題目本質(zhì)，復(fù)雜圖形只是基本圖形的變形，只要類比第一問，問題就會(huì)迎刃而解.

4. 解題規(guī)律的類比（相同性質(zhì)的類比）

例6 若（x + y）2 + |x - 3| = 0，則xy = .

例7 若 + |m - 2| + （n - 3）2 = 0，則mnp = .

類比分析 一個(gè)數(shù)的平方，一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，利用這個(gè)相似的性質(zhì)，無論是數(shù)的平方，還是數(shù)的絕對(duì)值，或是算術(shù)平方根相加等于0，則每一項(xiàng)都是為0的.

反思 有些知識(shí)點(diǎn)有類似的性質(zhì)，我們可以通過類比找到解題思路.

5. 歸納為同一題型的類比

例8 如左下圖，要在河邊修建一個(gè)水泵站，向張莊A、李莊B送水.修在河邊什么地方，可使使用的水管最短？

例9 如上右圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為8，對(duì)角線交于點(diǎn)O， E為AB上的點(diǎn)，且BE = 2，直線AC上有點(diǎn)P，使得△EPB的周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)為 .

類比分析 其實(shí)例9與例8是同一個(gè)問題：最短水管問題，利用對(duì)稱把其中一點(diǎn)對(duì)稱到另一邊，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來求解，只不過例9的“河“變成了一條線而已.

反思 數(shù)學(xué)中的很多題目其實(shí)是“換湯不換藥“，只要真正理解了題意，難題的模型其實(shí)只是基本圖形.

三、使用類比要注意的問題

1. 對(duì)類比的結(jié)論能進(jìn)行辯證的處理

因?yàn)轭惐仁褂糜小盎蛉恍浴保瑢儆凇昂锨橥评怼保夯蛘哒_，或者不正確，或者不完全正確，所以應(yīng)明確告訴學(xué)生類比有可能失敗.

2. 類比可以從多方面進(jìn)行

不要局限于一方面，可以多種類比，多方位、多角度，從條件、結(jié)論、圖形、方法、規(guī)律，等等.

3. 教師在平時(shí)的教學(xué)中要多挖掘教材的潛在知識(shí)，對(duì)學(xué)生多加引導(dǎo)

老師在平時(shí)的課堂上多加引導(dǎo)，創(chuàng)造寬松的環(huán)境，開放課堂，學(xué)生才能解放思維，敢于放膽去歸納、總結(jié)、類比，長(zhǎng)此以往，才能掌握類比的思想方法并靈活運(yùn)用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陳群頌. 也談難點(diǎn)的突破[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2012（Z1）.

[2]薄守敏.類比法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)運(yùn)用[D].連云港：連云港師范高等專科學(xué)校，2006.