摘 要：本文通過(guò)幾種典型題型的探究來(lái)說(shuō)明貝葉斯公式在醫(yī)療檢測(cè)、產(chǎn)品檢測(cè)、概率推理、日常生活等一系列復(fù)雜的問(wèn)題中，為我們提供了更有價(jià)值、更快捷有效的決策信息，成為我們解決復(fù)雜概率問(wèn)題的有效工具。

關(guān)鍵詞：貝葉斯公式；應(yīng)用；案例

1 貝葉斯公式

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S。A為E的事件，B1，B2，…，Bn為S的一個(gè)劃分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則：

P（Bi | A）=，i=1，2，…，n。稱為貝葉斯公式。

2 貝葉斯公式的應(yīng)用

2.1 在產(chǎn)品檢測(cè)中的應(yīng)用

例1 某汽車制造廠所用的汽車離合器是由四家不同的汽車零件制造廠提供的，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析得以下數(shù)據(jù)：

已知在汽車制造廠的零件儲(chǔ)藏室里由這四家汽車零件制造廠提供的離合器是均勻的混在一起放置的，且外觀沒(méi)有任何區(qū)別。

1）隨機(jī)在儲(chǔ)藏室里取一個(gè)離合器，求此離合器為次品的概率。

2）隨機(jī)在儲(chǔ)藏室里取一個(gè)離合器，若取到的離合器是一件次品，請(qǐng)分析此次品出自何廠的幾率最大。

解：設(shè)A表示“取到的是次品”。

Bi表示“取到的產(chǎn)品是第i家汽車零件制造廠提供的”，i=1，2，3。

則有

1）由全概率公式：

故隨機(jī)在儲(chǔ)藏室里取一個(gè)離合器，求此離合器為次品的概率。

2）由貝葉斯公式得：

根據(jù)計(jì)算得的結(jié)果分析得，此次品出自第二家汽車零件制造廠的幾率最大。

2.2 在日常生活中的應(yīng)用

例2 某人下午5：30下班，他所積累的資料表明：

某一天他擲一顆骰子來(lái)決定乘地鐵還是乘汽車回家，擲出骰子結(jié)果若是小的數(shù)（1，2，3），他就乘汽車，若是大的數(shù)（4，5，6），他就乘地鐵，已知他是6：47到家的，求此人是乘汽車回家的概率。

解：設(shè)A表示“乘汽車”；B表示“乘地鐵”；C表示“6：45-6：50到家”。

則有

由貝葉斯公式有：

故此人乘汽車回家的概率為。

2.3 在醫(yī)療檢測(cè)中的應(yīng)用

例3 某地被測(cè)驗(yàn)的居民中有0.6%是癌癥患者，利用某種診斷癌癥的試驗(yàn)來(lái)檢測(cè)有如下效果：試驗(yàn)反應(yīng)呈陽(yáng)性的患病概率為0.94，而未患病且試驗(yàn)反應(yīng)呈陰性、假陰性、假陽(yáng)性的概率為0.94。若當(dāng)?shù)匾幻用竦脑囼?yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，那么該居民的患病概率有多大？

解：設(shè)事件A表示“試驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性”；事件B表示“被試驗(yàn)者患有癌癥”。則有：

由貝葉斯公式得：

故該居民的患病概率約為0.086。

2.4 在概率推理中的應(yīng)用

例4 已知一個(gè)位于英國(guó)的發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“0”和“1”，由于通訊系統(tǒng)收到了某些信號(hào)的干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“0”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未必收到信號(hào)“0”，而是分別以0.8和0.2的概率收到“0”和“1”；同樣，發(fā)出信號(hào)“1”時(shí)分別以0.9和0.1的概率收到“1”和“0”.如果收?qǐng)?bào)臺(tái)收到“0”，求它沒(méi)收錯(cuò)的概率是多少？

解：設(shè)A=“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)‘0”，=“發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)‘1”.

B=“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)‘0”，=“收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)‘1”.

于是，

由貝葉斯公式，得：

即收?qǐng)?bào)臺(tái)沒(méi)收錯(cuò)信號(hào)的概率為0.923。

3 總結(jié)

在解決一些醫(yī)療檢測(cè)、產(chǎn)品檢測(cè)、概率推理、日常生活等一系列復(fù)雜的問(wèn)題中，貝葉斯公式為我們提供了更有價(jià)值、更快捷有效的決策信息，成為我們解決復(fù)雜概率問(wèn)題的有效工具。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

莫慶美（1963-），女，廣西蒙山人，賀州學(xué)院副教授，主要研究方向：高等數(shù)學(xué)與微分方程教學(xué)研究。