姬梁飛

摘 要 本文采用縱橫比較分析方法，展示了各個(gè)省市高考數(shù)學(xué)試卷中蘊(yùn)含有分類思想這類綜合題的整體分布情況。探究分類討論思想在高考數(shù)學(xué)綜合題中的應(yīng)用規(guī)律以及思路，并對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)給出了一些有益的建議。

關(guān)鍵詞 分類討論 思想方法 高考數(shù)學(xué) 綜合題

中圖分類號(hào)：G633.66 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）19-0045-03

美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞曾認(rèn)為，“數(shù)學(xué)的解題能力是一種很好的培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)思維的途徑。”作為擔(dān)負(fù)我國(guó)選拔人才平臺(tái)中最主要方式的高考，自1978年開(kāi)始恢復(fù)高考至今，她已經(jīng)走過(guò)了36個(gè)春秋。研究高考的命題規(guī)律對(duì)探索國(guó)家人才培養(yǎng)策略以及改進(jìn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)都有著重大的現(xiàn)實(shí)意義。數(shù)學(xué)家克萊因先生曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)它是一種精神，一種理性的精神，然而正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度，亦正是這種精神，它試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會(huì)生活；它試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問(wèn)題；努力去理解和控制自然；盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識(shí)的最深刻的和最完美的內(nèi)涵?！睌?shù)學(xué)精神主要有數(shù)學(xué)求真精神、數(shù)學(xué)理性精神、數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)獨(dú)立思考精神等，數(shù)學(xué)思想正體現(xiàn)著數(shù)學(xué)精神，它包涵大膽而智巧的想象、豐富而奇特的直覺(jué)、奧妙而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉?gòu)思，縝密而嚴(yán)肅的推理，它結(jié)合具體的數(shù)學(xué)方法一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)的思維特質(zhì)。作為數(shù)學(xué)基本思想方法之一的分類討論思想方法，它不僅是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，而且還是一種邏輯性的解題方法。與此同時(shí)，高考數(shù)學(xué)試題中的綜合題歷年來(lái)都是高考命題中的最后堡壘，它也是每年高考時(shí)段廣大師生談?wù)撟疃嗟慕裹c(diǎn)題目，故此，分類討論思想方法在高考數(shù)學(xué)綜合題中扮演一個(gè)重要的角色，又擔(dān)負(fù)著培育新時(shí)代人才的職責(zé)與使命。

一、縱向比較分析

本研究通過(guò)縱向比較，分析了北京市2003年至2014年、上海市2010年至2014年、廣東省2007年至2014年以及新課程標(biāo)準(zhǔn)卷2007年至2014年等共34套高考數(shù)學(xué)試卷的綜合題情況?，F(xiàn)將這34套高考數(shù)學(xué)卷中蘊(yùn)含有分類討論思想方法的綜合題目所考查的知識(shí)點(diǎn)情況分別列表如下：

【結(jié)果分析】 通過(guò)對(duì)這些試卷所涉及的考點(diǎn)進(jìn)行調(diào)查研究分析，分類討論思想方法在歷年來(lái)的各省市的數(shù)學(xué)試卷中都有所體現(xiàn)，主要滲透于圓錐曲線、不等式證明、函數(shù)性質(zhì)、綜合數(shù)列、實(shí)際問(wèn)題、新定義探索等板塊知識(shí)應(yīng)用過(guò)程中，尤其在綜合研究函數(shù)的性質(zhì)特征與圓錐曲線方面的應(yīng)用最為明顯。

二、橫向比較分析

本研究通過(guò)橫向比較，分析了2013年全國(guó)各省市高考數(shù)學(xué)16套試卷以及2014年全國(guó)各省市高考數(shù)學(xué)15套試卷所涉及分類討論思想方法應(yīng)用的綜合題分布情況，這些綜合題的解答過(guò)程基本上都需要應(yīng)用分類討論思想方法才能完成題目。按照分類討論思想方法在高中數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用情況，現(xiàn)在將這些蘊(yùn)含分類討論思想方法的綜合題目所考查的知識(shí)情況分別展示如下：

2013年全國(guó)各省市高考數(shù)學(xué)涉及分類討論思想方法運(yùn)用的綜合題分布情況

【統(tǒng)計(jì)分析】 統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，在2013年與2014年全國(guó)10多種不同的高考數(shù)學(xué)卷的綜合題中，每一套數(shù)學(xué)試卷中至少有一道題目考查了分類思想方法的運(yùn)用，甚至某些省份高考數(shù)學(xué)試卷中有多達(dá)到三道綜合題目都涉及分類討論思想方法的應(yīng)用。一方面，這些綜合題目多集中于整套試卷的尾部，難度一般都處于中檔以上，這類試題也通常作為整套數(shù)學(xué)試卷中區(qū)分度最高的試題，因此這類試題無(wú)疑成了歷年高考數(shù)學(xué)試卷壓軸部分的常備主力軍。另一方面，這些數(shù)據(jù)表明了分類討論思想方法滲透的知識(shí)點(diǎn)多集中于不等式證明、綜合數(shù)列、圓錐曲線以及函數(shù)性質(zhì)研究，尤其在考查函數(shù)綜合性質(zhì)特征等方面運(yùn)算量之多、思維力度之深、討論范圍之寬都往往是其它題目無(wú)法比擬的，同時(shí)對(duì)于高考這樣一個(gè)大型選拔性考試，它幾乎是每年高考數(shù)學(xué)都要必考的一個(gè)項(xiàng)目。

三、結(jié)束語(yǔ)

分類討論思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基本思想方法的重要組成部分，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)著不同尋常的地位，在教材中也能夠隨處見(jiàn)到分類思想的各種運(yùn)用。它不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是多年來(lái)高考數(shù)學(xué)中?？肌⒈乜嫉膬?nèi)容。它不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也是一種重要的解題策略。近年來(lái)，在全國(guó)各省市高考數(shù)學(xué)試卷中滲透有分類討論思想方法的試題也是逐漸增多，尤其體現(xiàn)在分類討論思想方法在高考數(shù)學(xué)綜合題中考查與應(yīng)用。這些綜合題一般都是命題者精心設(shè)計(jì)、構(gòu)思巧妙的好題，其試題往往新穎獨(dú)特，對(duì)學(xué)生思維的抽象性、邏輯性以及學(xué)生綜合理解能力、自學(xué)能力等方面都提出了更高的要求。分類討論思想方法為高考數(shù)學(xué)提供了思維的練兵場(chǎng)，成為考查學(xué)生處理復(fù)雜問(wèn)題能力的試金石。最主要的是高考題要考查學(xué)生處理復(fù)雜多變問(wèn)題、解決現(xiàn)實(shí)模型等綜合能力，這就需要有一個(gè)比較公平同時(shí)又具有區(qū)分度的載體，與此同時(shí)分類討論思想方法正是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要法寶，也是考查學(xué)生對(duì)未來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能的一個(gè)良好途徑。

因此，一方面如何引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)引起分類討論的原因，如何通過(guò)分析、學(xué)會(huì)化整為零、各個(gè)擊破，恰如其分地正確運(yùn)用分類思想，這將是每一個(gè)高中數(shù)學(xué)教師都需要面臨的一個(gè)重要問(wèn)題。數(shù)學(xué)教師需要通過(guò)多角度的案例教學(xué)進(jìn)行培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力與素質(zhì)，這也是數(shù)學(xué)教育勢(shì)在必行的一項(xiàng)任務(wù)。教師可以從理論與實(shí)踐兩方面加強(qiáng)對(duì)學(xué)生這方面能力的培養(yǎng)與提升。教師也可以從身邊教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)或教學(xué)智慧，找到培養(yǎng)與滲透分類思想方法的一些辦法。另一方面，分類討論思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性與縝密性，在提高學(xué)生全面分析與解決問(wèn)題能力等方面都起到了十分關(guān)鍵的作用。所以，在高考數(shù)學(xué)綜合題中滲透的分類討論思想方法是考試中培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)精神，開(kāi)辟出能夠增長(zhǎng)學(xué)生科學(xué)、合理解決問(wèn)題本領(lǐng)的一條有效途徑。然而，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，許多學(xué)生對(duì)這一種思想方法的掌握情況并不樂(lè)觀，甚至有些學(xué)生對(duì)分類討論思想方法抱有一種恐懼的心理。正因如此，在新課程改革的背景下大力改進(jìn)分類討論思想方法的相關(guān)教學(xué)更有著密切的現(xiàn)實(shí)意義。

高考數(shù)學(xué)綜合題是試卷的精華部分，這些題目命制的宗旨也是為了國(guó)家選拔優(yōu)秀人才的需要。高考數(shù)學(xué)綜合題在命制過(guò)程中往往蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思維方法，而且試題本身也往往具有一定的深刻性與迷惑性。它是區(qū)分學(xué)生解題思維能力水平、保證高考試題區(qū)分度的一個(gè)重要體現(xiàn)。因此，高考數(shù)學(xué)綜合題里面蘊(yùn)含著許多分類討論思想方法，其在解答試題的過(guò)程中常常是精深?yuàn)W妙的，試題命制技巧也是匠心獨(dú)具。無(wú)論是這些分類討論思想方法的具體應(yīng)用，還是試題本身的解題技巧都值得教師深入的研究。故此，本文建議教師認(rèn)真領(lǐng)會(huì)分類討論思想方法以及在綜合題中命制思想與技巧，或者通過(guò)逆向工程法剖析高考專家組精心命制的試題，從中領(lǐng)悟那些試題背后隱藏的深意，以期改進(jìn)自身的教學(xué)。

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（責(zé)任編輯 楚云鵬）