方灶娣

最近參加一次人教版《分數(shù)的意義》的教學(xué)研討，其中一個教學(xué)環(huán)節(jié)引起我的思考，現(xiàn)以課堂實錄與大家交流探討。

課堂回放：教師順利地引導(dǎo)學(xué)生分“單個物體”得出：把一個餅平均分成2份，其中一份就是這個餅的1/2；把一個長方形平均分成6份，其中的一份就是這個長方形的1/6。

這時，教師話鋒一轉(zhuǎn)，把手放在一個叫汪思澤的同學(xué)身上。說：“剛才我們找到了二分之一，六分之一。你能不能說一說汪思澤是幾分之一？”

遲疑了片刻后，一個孩子舉手發(fā)言“老師，我們班有38個人，把我們班平均分成38份，汪思澤是其中一份，所以他是我們班的1/38。”

教師正想肯定這個孩子的觀點，課堂中卻出現(xiàn)了別樣的聲音——“不對，汪思澤不是我們班的1/38！”“我認為也不是！”——（很多同學(xué)附和）

“為什么不是？”老師好奇地問。（顯然學(xué)生的疑問超出了他的預(yù)期）

“因為得到分數(shù)一定要平均分的，我們38個人身高體重都不一樣，所以他不是平均分的結(jié)果，也就不是1/38?！边@個孩子振振有詞的回答。

“對，沒有平均分，所以不是1/38”學(xué)生們紛紛表示贊同。

老師一下子愣住了，稍后“機智”地引導(dǎo)“那如果，我們?nèi)嗟耐瑢W(xué)都和汪思澤一樣呢？那他是1/38嗎？”

“那就是了！”學(xué)生都一致說。

“好的，那我們就把大家都看成是汪思澤吧，現(xiàn)在可以這么說：把38個人平均分成38份，其中一份就是這個整體的1/38。”

“老師，應(yīng)該是把38個汪思澤平均分成38份，其中一個才是1/38?！?/p>

“怎么會有這么多汪思澤??？”

“哈哈哈”教室里爆發(fā)出學(xué)生歡快的笑聲和教師無奈“呵呵”聲……

課后談話：課后，我拉住旁邊的兩個孩子聊：“我們?nèi)齻€人，我——能不能說是咱們?nèi)齻€人的三分之一？”兩個孩子對視了一下說“不能，你比我們年紀要大。不是平均分成三份，所以不是1/3?！薄芭叮@樣，那如果老師和你們一樣大呢？”“哈哈，那也不是。”“啊，你怎么想的？”“因為，你比我們體重要重，身高要高，還是沒有平均分啊，怎么會有分數(shù)？！”“哦，那老師要怎么樣才是咱們?nèi)齻€人的三分之一呢？”“那……除非我們?nèi)齻€人是一樣的，哈哈！”孩子們邊說邊笑著走開了……

一、問題源于何處？——不同視角，預(yù)設(shè)≠生成

無論從課堂中學(xué)生的表現(xiàn)還是課后的訪談，毫無疑問地指向同一關(guān)鍵：平均分。可見，分數(shù)概念在學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中，“平均分”是最為本質(zhì)核心，又易提取的顯性表征，而這也是教師在教學(xué)“分數(shù)初步認識”的時候所反復(fù)、重點強化的結(jié)果。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程。在上述學(xué)習(xí)過程中，教師著眼于“把全班同學(xué)看作一個整體”意圖引導(dǎo)學(xué)生“把學(xué)生刻畫為數(shù)，通過對‘?dāng)?shù)的平均分，抽象概括，形成分數(shù)的概念”。而在學(xué)生思考中，“平均分”又意味著什么？不難發(fā)現(xiàn)，他們關(guān)注的是“外形的大小，重量的輕重，年齡的大小”等一系列直觀、可視的感性表征。在他們的思維中，“平均分”等于“一樣大小，同樣輕重”。而汪思澤無論是年齡、身高、體重在全班同學(xué)中都不會是恰好平均分成38份的結(jié)果。所以，孩子們異口同聲而又振振有詞的“汪思澤不是1/38”雖在意料之外，實則情理之中。

二、如何改進設(shè)計？——超越經(jīng)驗，理性>感性

感性經(jīng)驗是學(xué)生進行學(xué)習(xí)的應(yīng)然基礎(chǔ)，學(xué)生的經(jīng)驗——平均分產(chǎn)生分數(shù)，提供了他們形成分數(shù)意義概念的基礎(chǔ)。但是平均分并不能代替概念的全部。如果不能引導(dǎo)孩子們對自身已有的感性經(jīng)驗進行理性的再思考，那么經(jīng)驗最終只能是經(jīng)驗。因此，要真正理解分數(shù)的意義，不但要借助經(jīng)驗，而且還理應(yīng)超越經(jīng)驗。

所以，教師在教學(xué)“把多個物體看作一個整體”“把這個整體平均分成若干份”時，要特別注意引入變式，即創(chuàng)設(shè)“不同外觀，不同大小但有共同屬性的教學(xué)素材”看作一個整體。如新課后的做一做（圖一）“12顆不同品種的糖，4顆白的，4顆花的，4顆黃色的，任意平均分成4份，其中一份都占總數(shù)的1/4”讓學(xué)生明白顏色、外觀、糖的品種并不影響平均分得到1/4這個分數(shù)。再如，練習(xí)十一的第三題（圖二）。通過這樣的變式引導(dǎo)，讓學(xué)生體會平均分的更深層次的含義——即平均分的實質(zhì)不是指各部分之間的外觀、形狀、大小完全一致（特別是等分多個實物時，可能每份數(shù)會有“形”的區(qū)別，如蘋果的大小等），而是在一個整體中，他們的地位相同，或者刻畫成“數(shù)”時，“量”的多少相一致。有如此類教學(xué)作鋪墊，然后，引入全班同學(xué)的座位表圖，利用課件轉(zhuǎn)換成38個點。引導(dǎo)孩子思考“每個點代表我們班的一個人，汪思哲就是其中的1/38”。利用圖形建立具體事物與量之間的聯(lián)系，實現(xiàn)“物”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)變。讓學(xué)生感悟全班雖然有38個不同年齡、體重、身高的同學(xué)，但是從“數(shù)”的角度而言，每個人都代表“一個人”的量，都是38份中的其中一份，也就是1/38，所以汪思澤理所當(dāng)然是1/38。

而這種對“平均分”的理性數(shù)學(xué)認識，其實質(zhì)是孩子對自己學(xué)習(xí)經(jīng)驗的一種超越和原有知識的重新建構(gòu)。

三、有何思考與啟示？——教學(xué)理解，教材+生本

教材中引導(dǎo)學(xué)生理解“把一些物體看作整體”的教學(xué)素材如下圖三。

很多教師認為，分數(shù)意義教學(xué)應(yīng)該從分實物入手，因為實物是形象的、具體的，而用幾何圖形表征則是抽象的，學(xué)習(xí)總是從形象抵達抽象，教材是如此編排的，這位教師也是在“讀懂”教材，聯(lián)系學(xué)生的生活基礎(chǔ)上如此進行教學(xué)。

而我們不得不思考的是：在教學(xué)中永遠有兩條看不見的線，其一是教師心中預(yù)設(shè)的線，其二是學(xué)生思維進程中的線。教學(xué)中諸多預(yù)設(shè)外的生成就在于這兩條線沒有有機整合，沒有貼合為一條線。教學(xué)中的生成超出預(yù)設(shè)，實則是教師沒有讀懂學(xué)生的思維。

我們不妨從學(xué)生的理解角度思考，實物由于外形、大小等夾雜著很多非本質(zhì)的因素，往往成了干擾學(xué)生學(xué)習(xí)的攔路虎。正是選擇分“不恰當(dāng)”的實物入手對學(xué)生理解分數(shù)的意義造成了更多的認知障礙。事實上，由于圖形摒棄了一些非本質(zhì)屬性，孩子有時反而更容易理解。因此，不妨從分簡單的圖形開始，如把“4個三角形，8個圓看作一個整體”而后再引入“外形同樣的實物——如分書”，進而導(dǎo)入變式如“分同質(zhì)不同形的糖果——圖一”和“班級的點陣圖”。從而真正實現(xiàn)教師預(yù)設(shè)的線與學(xué)生的思維線合二為一。

由此看來，教師對教學(xué)的“理解”其實質(zhì)是“對教材的理解+對學(xué)生的理解”。教學(xué)中既要研究如何“教”，更要研究如何“學(xué)”；既要分析“教材”，更應(yīng)著力于挖掘好的“學(xué)材”；既要基于學(xué)生經(jīng)驗，更需超越學(xué)生經(jīng)驗。如此教學(xué)，才能真正實現(xiàn)以學(xué)論教，順學(xué)而導(dǎo)。

（作者單位：浙江省諸暨市陶朱街道三益小學(xué)）