章敏

【摘 要】類比思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用廣泛，類比的魅力在于它可以使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更容易、更生動、更形象，有利于學(xué)生自主探索與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。本文主要列舉了初一教材中關(guān)于類比思想的應(yīng)用，闡述了類比在初中學(xué)習(xí)的重要地位以及通過類比更加容易的學(xué)習(xí)新的知識。通過概念的類比，理解概念的本質(zhì)；通過知識結(jié)構(gòu)的類比，構(gòu)建起知識的網(wǎng)絡(luò)；通過思維的類比，突破學(xué)生學(xué)習(xí)思維難點，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。鍛煉學(xué)生解決問題的能力，提高初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性。本文的最后也點出了該思想方法容易進入的誤區(qū)，體現(xiàn)本學(xué)科的嚴謹。

【關(guān)鍵詞】類比 有理數(shù) 整式 立方根 不等式 應(yīng)用 有效性

1 引言

著名教育家玻利亞曾形象地說過：“類比是一個偉大的領(lǐng)路人?！痹诔踔袛?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，類比思想是理解概念，鍛煉思維，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的重要手段。類比法是初中重要的教學(xué)方法，數(shù)學(xué)中的許多概念、定理、法則等是通過類比得到的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，恰當?shù)貞?yīng)用新舊知識的類比，不僅有利于理解、掌握新知識，還能使舊知識得到鞏固，同時拓寬視野，突出問題的本質(zhì)，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高解決問題的能力。在解題中尋找問題的線索，往往也借助于類比方法，從而達到啟發(fā)思路的目的。

2 數(shù)學(xué)類比的定義

數(shù)學(xué)上的類比是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，有可能將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)遷移到另一類未知的對象上去的一種合情推理。它能夠解決一些看似復(fù)雜困難的問題。從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎(chǔ)上才能實現(xiàn)。

類比的作用機制可以用如下的框圖來表示：

類比包括目標問題和原問題兩個部分。目標問題是需要解決的問題，原問題是已經(jīng)解決的，并且是已經(jīng)掌握的、比較常見、比較熟悉、比較形象具體、比較容易明白的問題。原問題與目標問題之間是平行關(guān)系，類比原問題解決目標問題，通過類比學(xué)會目標問題。下面根據(jù)自己的教學(xué)實踐，談?wù)勗诔跻唤滩闹袔c運用類比的例子。

3 類比在初一教材中的應(yīng)用

3.1 有理數(shù)加減混合運算

有理數(shù)的加法是有理數(shù)運算的開始，是進一步學(xué)習(xí)有理數(shù)減法的基礎(chǔ)，也是今后學(xué)習(xí)實數(shù)運算，代數(shù)運算，解方程以及函數(shù)知識的基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中必須掌握的基礎(chǔ)知識和技能，學(xué)生能否接受和形成在有理數(shù)范圍內(nèi)進行的各種運算的思維方式，本節(jié)課的學(xué)習(xí)尤為重要，因此我類比了正負數(shù)的概念來引入，通過類比使學(xué)生更加容易接受新知識。具體方法如下：

例1：計算：-7+3-2-4。

分析：先將負數(shù)放在一起，正數(shù)放在一起。

得：-7-2-4+3

然后類比生活中水位變化的實例，同時展示電腦課件。我們把水位上升1米記為+1，水 位下降1米記為-1。問：

師：-7表示

生：水位下降了7米。

師：-2表示

生：水位下降了2米。

師：-4表示

生：水位下降了4米。

師：+3表示

生：水位上升了3米。

師：-7-2-4+3表示水位先下降了 米，又上升了

米，那么水位一共 了 米

在這里我類比了“有理數(shù)的乘法”一開始引入的水位變化的實例。水位的變化在生活中很常見，學(xué)生理解、想象起來不難，再借助電腦課件直觀的動畫演示，生動形象地反應(yīng)出水位變化的情況。這樣既加深了學(xué)生的印象，有助于學(xué)生理解，又能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的動力和喚起學(xué)生強烈的求知欲。通過這樣的嘗試，學(xué)生反饋上來的情況就好得太多，達到了預(yù)期的教學(xué)目標。

3.2 有理數(shù)乘法法則的探究

有理數(shù)的乘法運算不是一類新的運算，只是參與運算的數(shù)在原來有理數(shù)的基礎(chǔ)上添加了負數(shù)，所以通過類比前面非負數(shù)的乘法得出負數(shù)乘法的相關(guān)結(jié)論。

例2：

通過對上式進行類比得到下面的式子

通過上一組式子類比得到如下式子

上述通過兩次類比得到了有理數(shù)乘法法則，并歸納出兩數(shù)相乘符號確定的方法，為后面有理數(shù)的除法奠定了基礎(chǔ)。其實有理數(shù)的除法同樣可以類比加減法之間的轉(zhuǎn)化，從而想到變除為乘。

3.3 整式中的類比

在整式這一章有很多用到了類比這一重要的數(shù)學(xué)思想。例如：確定多項式的系數(shù)與次數(shù)，通過類比有理數(shù)的加減法得到整式的加減法，通過類比有理數(shù)去括號法則得到整式去括號的法則。

例3：3+2=5 類比 3a+2a=5a 類比 3a+2a+3b+2b=5a+5b

3.4 合并同類項中的類比

在“合并同類項”一課中創(chuàng)設(shè)了如下情景：

（1）實物歸類

教師把學(xué)習(xí)用品、玩具、零食（形狀有圓、方、三角形）混在一起，讓學(xué)生按照自己的標準進行分類，要求學(xué)生回答以下問題：①你的分類的標準是什么？②假如分類標準一樣，則分類是否唯一？③你有幾種分類方法？

（2）多項式中項的歸類

觀察多項式-2x+8y–4z+x–y回答下列問題：①你想把哪些項歸為一類？②你是根據(jù)什么特征來分類的？那么3a2b–4ab2–3+5a2b+2ab2+2ab–6ab+8

（學(xué)生分小組進行討論，并由代表集中發(fā)言，其他組進行補充完善）

實物歸類的主要目的是讓學(xué)生感受生活中存在分類現(xiàn)象，并且通過實物分類，讓學(xué)生明確分類的標準與方法，事實上學(xué)生通過準確的實物分類理解了分類的意義與標準。再出示多項式，讓學(xué)生進行分類，學(xué)生一定會與實物分類進行類比，也會有不同的分類方法，比如對于-2x+8y–4z+x–y，有的學(xué)生利用系數(shù)的正負來進行分類，而同類項只是分類中的一種特殊情況。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要充分利用學(xué)生所熟悉的生活背景，把數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)融入到學(xué)生的生活中，通過“由表及里”類比，獲得數(shù)學(xué)本質(zhì)和模型。象上面生活中的分類方法與標準是原問題，是學(xué)生所熟悉的、了解的，由實物分類類比到數(shù)學(xué)分類，學(xué)生覺得數(shù)學(xué)并不是那樣的神秘與抽象，離學(xué)生的生活是那樣接近，把日常生活中普實的方法移植到比較抽象的數(shù)學(xué)中，從而更容易、更切實地理解數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，加強了數(shù)學(xué)與實際的聯(lián)系。

3.5 立方根中的類比

著名的學(xué)習(xí)理論家奧蘇貝爾指出：要進行有意義的學(xué)習(xí)必須知道學(xué)生已經(jīng)知道了什么。在教學(xué)人教版七年級下冊第六章實數(shù)立方根時，考慮到“平方根”與“立方根”兩節(jié)在內(nèi)容與知識展開順序上是平行的，內(nèi)容主要是研究立方根的概念和求法，知識展開順序是先從具體的計算出發(fā)類比給出立方根的概念，然后研究立方根的特征。而在本課中，平方根的概念、表示方法等都是學(xué)生原有的知識。為了建立立方根的概念，充分“借用”平方根的有關(guān)概念的產(chǎn)生過程進行類比，新舊知識通過類比聯(lián)系，既有利于復(fù)習(xí)鞏固平方根，又有利于立方根概念的理解和掌握。具體教學(xué)過程如下：

先列表復(fù)習(xí)平方根的有關(guān)知識，然后魔方展示：抽象出立方體。

（1）若魔方的體積是8cm3，則棱長是多少cm？為什么？

∵ 23=8，∴ 棱長是2cm。（為將要學(xué)習(xí)的立方根與立方運算是互逆運算作鋪墊）

（2）若魔方的體積是80cm3，則棱長是多少cm？為什么？a3=80

（3）這里的2和a我們能否把它取個名？ 生：立方根。

（4）你為什么取這個名呢？ 生：根據(jù)平方根的定義猜想得到的。

（5）那么什么是立方根呢？生：……

（6）一個數(shù)a的平方根你怎樣表示？生：

（7）一個數(shù)a的立方根你又想怎樣去表示呢？生1： 生2：糾錯

生3：改正

教師通過問題串，把立方根的定義、表示方法與平方根定義、表示方法聯(lián)系在一起，采用類比的數(shù)學(xué)思想，自主學(xué)習(xí)立方根的定義與表示方法，學(xué)得自然、輕松。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的形成過程、同化過程，就決定了對數(shù)學(xué)概念掌握的程度。只有理解數(shù)學(xué)概念、剖析概念，抓住概念的本質(zhì)，才能舉一反三，觸類旁通。

3.6 解一元一次不等式與解一元一次方程類比

在講解“一元一次不等式”時，學(xué)生由于剛剛接觸不等式，對不等式本來就不是很熟悉，對不等式的解法也就感到陌生。如果照著書上的例題直接講解，學(xué)生可能會感到有點模糊，不那么得心應(yīng)手，不知道為什么要這樣來解題，就會照著按部就班的做題，以至于沒有掌握解題的方法，思維會有點混亂。為了讓學(xué)生一開始就能從根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一種學(xué)習(xí)的方法，在講授這節(jié)內(nèi)容時，我類比了解一元一次方程的方法，這樣的講解學(xué)生接受起來就容易多了。

例4：解一元一次方程：2x+6=3-x

解：移項得：2x+x=3-6

合并同類項得：3x=-3

系數(shù)化為1得：x=-1

解一元一次不等式：2x+6<3-x

解：移項得：2x+x<3-6

合并同類項得：3x<-3

兩邊都除以3得：x<-1

學(xué)生只要注意最后一步：系數(shù)化為1時，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個負數(shù)時，不等號的方向改變即可。通過這種類比，學(xué)生掌握起來就容易得多了。

4 類比的效果

4.1 類比方法是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要途徑

運用數(shù)學(xué)類比思維可以把陌生的對象和熟悉的對象進行對比，把未知的東西和已知的東西相對比，特別是在資料少，還不足以進行歸納推理和演繹思維的情況下，類比可以啟發(fā)思路，提供線索。類比法具有兩個特征。一是適用范圍廣，可以跨越各個種類進行不同類事物的類比，既可以比較本質(zhì)的屬性，又可以比較非本質(zhì)的特征。二是具有較強的探索性和預(yù)測性，可見，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，根據(jù)教材的特點，運用類比方法，引導(dǎo)學(xué)生去探索和發(fā)現(xiàn)問題，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的有效途徑。

4.2 深入研究教材 挖掘類比素材

教材中的概念、公式和規(guī)律都蘊涵著豐富的數(shù)學(xué)思想和方法。作為數(shù)學(xué)教師，必須深入研究教材，挖掘它的思想性，并在教學(xué)中給予充分利用。利用類比的方法是數(shù)學(xué)教學(xué)中一種行之有效的教學(xué)方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中借助于類比方法，有利于啟發(fā)學(xué)生思路，使學(xué)生順利而全面地形成數(shù)學(xué)概念和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律、方法。在教學(xué)中，用類比的方法將概念中的本質(zhì)屬性用最明確的形式表達出來，使人一目了然。

5 結(jié)論

類比是一種從特殊到特殊的推理。它的前提和結(jié)論是或然的，是一種不嚴格的推理。因此推理的不嚴格性是它的特點之一。這個特點既是它的所長也是它的所短。因為在科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐活動中需要嚴格的推理，沒有嚴格的推理科學(xué)的理論大廈就不可能建立正常嚴肅的生活秩序就不會建立。演繹推理的嚴格性正好與類比推理的不嚴格性相互補充共同促進科學(xué)的發(fā)展。從亞里士多德的完備的三段論到現(xiàn)代數(shù)理邏輯的發(fā)展和完善演繹推理成為一種嚴密的強有力的推理和證明工具成為思維活動中的一個重要的組成部分。但是科學(xué)要進一步發(fā)展要解決科學(xué)研究中出現(xiàn)的矛盾不斷進行理論擴充嚴格的推理只能使科學(xué)被限制在一定的框架之內(nèi)循規(guī)蹈距地前進。類比推理的不嚴格性可以誘發(fā)人的創(chuàng)造性思考它可以觸類旁通啟發(fā)思路。正如康德所指出的那樣每當理智缺乏可靠論證思路時，類比這個方法往往能指引我們前進。

反思教學(xué)過程，進行類比教學(xué)時，不但要多找對象的相同點，而且應(yīng)找本質(zhì)的相同點，既要注意問題的共性，又要注意問題的個性。對學(xué)生在類比過程產(chǎn)生的想法，能確定正誤的要及時評價，不能確定的要給予方法的指導(dǎo)，要求學(xué)生重新去研究。同時也要善待錯誤、用好錯誤，要反思錯誤、變錯為寶，提高思維的深刻性。

為培養(yǎng)高素質(zhì)的人才，除了使學(xué)生能“學(xué)會”之外，更重要的還應(yīng)當使學(xué)生“會學(xué)”，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，類比就是這樣一種學(xué)生能掌握的重要的學(xué)習(xí)與思維的方法。類比思維方法的運用能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，有利于創(chuàng)造性思維能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)習(xí)效率的提高。

參考文獻

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