劉德宏

（射陽縣教育局教研室，江蘇 鹽城 224300）

推理能力是《義務教育數(shù)學課程標準》提出的十個核心概念之一。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習、生活中經(jīng)常要使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理兩種形式。[1]類比推理是合情推理的重要形式之一，它是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上相同或相似，從而推出它們在其他屬性上也可能相同或相似的思維方式。[2]類比推理是在比較的基礎上，從特殊到特殊的推理,它是引發(fā)猜想、發(fā)現(xiàn)結論的有效途徑，是培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識的重要方法。因此，在小學數(shù)學教學中，必須高度重視類比推理能力的培養(yǎng)。

一、類比推理的主要形式

1.外部形式上的類比

根據(jù)數(shù)學對象表面上的相似而進行的推理，是一種從形式到形式的類比，這種類比得出的結論或然性較大，但有助于學生對知識的理解。比如，學習了長方形的面積=長×寬，就會自然地想到正方形的面積=邊長×邊長，學習平行四邊形面積時，也可能想到平行四邊形的面積=底×鄰邊，但這個結論是錯誤的結論。

2.內在實質上的類比

通過比較分析數(shù)學對象之間的實質性的內在聯(lián)系而得出的推理，這種推理根據(jù)兩類對象在本質屬性方面的相似之處，類推出其他方面的相似，從而認識新數(shù)學對象的本質，因此，得出結論的正確性相對較高。比如，在學習比的基本性質之前，學生已經(jīng)掌握了分數(shù)的基本性質，而且在這一知識的探究過程中，已經(jīng)與商不變的規(guī)律進行了實質性的比較與聯(lián)系。學生認識了比的意義，知道了比的實質是兩個數(shù)相除，比也可以寫成分數(shù)的形式。因此，可緊緊抓住比與分數(shù)、除法的關系，引導學生根據(jù)分數(shù)的基本性質、商不變的規(guī)律，自然類比出比的基本性質。教學中，教師要激活學生已有知識，引導學生進行新舊知識的比較，找出新舊知識在本質上的一致性，從而主動進行知識的遷移，建構出新知識。

3.過程方法上的類比

數(shù)學教學要重視讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，獲得深刻的探究體驗，感悟數(shù)學思想方法，積累思維活動的經(jīng)驗，促進技能方法的遷移。如，五年級學生在學習“圓的面積公式推導”時，把一個圓平均分成若干個小扇形，拼成一個近似的長方形，從而推導出圓的面積公式。經(jīng)歷了這樣的過程，掌握了這樣的推導方法，學生在學習“圓柱體積公式推導”時，就自然地想到把圓柱的底面等分成若干個扇形，再沿著半徑切開，將圓柱拼成一個長方體，從而可以推導出圓柱的體積公式。這就是過程方法上的類比。

二、培養(yǎng)類比推理能力的教學策略

1.探尋本質聯(lián)系，搭建類比支架

數(shù)學知識之間有著密切的內在聯(lián)系。在學習新知時，要求學生頭腦里具備同化新知識的上位概念或相似概念，類比推理才能順利進行。因此，教師要充分激活學生的已有知識，尋找維系新舊知識的主線，探尋新舊知識的內在聯(lián)系，在最近發(fā)展區(qū)為學生搭建類比的支架，為實現(xiàn)知識遷移、進行類比推理打好基礎。如，學習“異分母分數(shù)加減法”，其本質上的根源知識，就是“相同數(shù)位上的數(shù)，才能直接相加減”這一計算原理，這就是維系知識聯(lián)系的主線，也就是類比的支架。學生在學習整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)加減法時，已經(jīng)形成了這種計算認識，積累了這種計算經(jīng)驗。因此，在教學時，可以先設計一組整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)加減法練習，引導學生歸納出計算過程背后隱含的共同核心要素——“相同數(shù)位上的數(shù)，才能直接相加減”。學生受這個計算原理的啟發(fā)，就能類比嘗試，將異分母分數(shù)轉化成同分母分數(shù)，實現(xiàn)計數(shù)單位相同，直接相加減。歸納出異分母分數(shù)加減法的法則后，再次進行新舊知識的對比，以凸顯出此類計算的共同點，強化新舊知識之間的本質聯(lián)系。這樣的類比教學活動，促進了學生對知識的深刻理解，構建了比較完善的知識結構，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維。

2.基于生活原型，啟發(fā)類比抽象

現(xiàn)實生活中的實物原型往往會啟發(fā)人們展開類比聯(lián)想，引發(fā)猜測，獲得靈感，構造數(shù)學模型，抽象概括出數(shù)學概念。小學生的思維以直觀形象思維為主，現(xiàn)實生活中的實物原型對學習新知識有很大的啟發(fā)作用。因此，從原型啟發(fā)，展開類比學習，顯得尤為重要。例如，教學“認識線段”時，讓學生兩手捏住毛線的兩端，繃緊拉直，形成了線段的實物原型，進而有機地揭示出線段的本質屬性。教學“認識平行”時，讓學生觀察跑道線、操場上的雙杠、秋千架上的兩根立柱，再根據(jù)實物原型，畫出三組直線，抽象出共同點——永不相交，從而概括出平行線的定義。教學“角的認識”時，引導學生觀察剪刀圖、鐘面上的時針和分針組成的角、五角星等實物圖，再抽象出“角”。

這種基于生活原型，展開類比抽象的方式，符合小學生的認知規(guī)律，能夠促進學生從實物原型中受到一些原理性的啟發(fā)，實現(xiàn)生活原型與數(shù)學對象之間的思維直接對接[3]，從而在類比中積累一定的經(jīng)驗，有機地進行數(shù)學抽象，主動建構出數(shù)學概念。

3.鼓勵聯(lián)想猜測，實現(xiàn)直覺類比

聯(lián)想與猜測都是類比推理常用的方法，類比的實質是一種聯(lián)想。教學中，要啟發(fā)學生找出新舊知識之間的相似性和本質聯(lián)系，展開聯(lián)想，大膽猜測，憑借直覺，進行類比推理?？梢允侵R的聯(lián)想類比（包括概念、關系、性質、定律、法則等），也可以是思想方法的類比聯(lián)想，還可以是解決問題思路與方法的聯(lián)想類比。

如，教學“體積單位”時，根據(jù)度量面積的大小需要統(tǒng)一面積單位，聯(lián)想到度量體積大小也要統(tǒng)一體積單位，并由1平方厘米、1平方分米、1平方米這三個常用面積單位聯(lián)想到1立方厘米、1立方分米、1立方米這3個常用體積單位；[4]在學習“等式的性質”時，由“等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，仍然是等式”聯(lián)想猜測到“等式兩邊同時乘或除以同一個數(shù)（0除外），仍然是等式”，從而完善了等式的性質；學過加法的交換律和結合律后，能夠聯(lián)想猜測到乘法的交換律和結合律。這些都是知識之間的聯(lián)想類比。

由于分數(shù)問題與百分數(shù)問題在數(shù)量關系和問題結構上的一致性，因此，就能由解決分數(shù)問題的思路與方法聯(lián)想類推到解決百分數(shù)問題的思路和方法；由行程問題中的“速度和×相遇時間=總路程”這一數(shù)量關系式類推到工程問題中去，得到“工作效率和×工作時間=工作總量”這一數(shù)量關系。[5]這樣的類比教學，將解決兩類問題的思路與方法有機地聯(lián)系起來，有效地實現(xiàn)了思路與方法的遷移，形成了更加完整的認知結構。

教學中，教師要為學生提供聯(lián)想猜測的機會，引導學生觀察思考、聯(lián)想猜測，借助直覺，類比發(fā)現(xiàn)，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

4.利用數(shù)形結合，促進類比遷移

數(shù)與形是數(shù)學研究的兩個對象，借助圖形描述數(shù)式，利用數(shù)式解釋圖形，這樣的數(shù)形類比，能夠啟迪思路，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維。[6]

例如，計算1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。解題時，先讓學生嘗試計算，然后引導學生觀察圖形（參見圖1），發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后再利用規(guī)律，簡便計算。這樣的解題過程，將數(shù)轉換成形，學生受到圖形的啟發(fā)，進行數(shù)形類比，能夠發(fā)現(xiàn)“從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加的和，等于奇數(shù)個數(shù)的平方”這一數(shù)學規(guī)律，最后利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，簡便地算出了得數(shù)。數(shù)形類比的確起到了化繁為簡，化抽象為直觀，啟迪解題思路、發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律的作用。

圖1

再如，教學時，學生往往想到先通分再計算，如果按照這樣的數(shù)字規(guī)律，再連加幾個分數(shù)，就顯得麻煩了。教師啟發(fā)引導學生將數(shù)式轉換成圖形，展開數(shù)形類比，能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律（參見圖2）。用一個大正方形表示1，在正方形中分別表示出，學生受到圖形的啟發(fā),容易發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)了這樣的規(guī)律，再讓學生利用規(guī)律，計算學生根據(jù)經(jīng)驗類比，容易得出前1道算式結果為1－后1道算式結果為可見，這樣的類比教學活動，以形解數(shù)，化繁為簡，有效地培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識。

5.重視驗證修正，減少類比失誤

類比推理是一種合情推理，它是根據(jù)新舊數(shù)學對象之間的相似性，類推得出的結論，但其結論具有或然性，未必全部正確，有時會出現(xiàn)形式主義錯誤。如，學生根據(jù)a-b-c=a-（b+c）類推出a÷b ÷c=a÷（b×c）,（b、c都不等于0），這個結論是正確的，但根據(jù)a×b+a×c=a×（b+c）類推出a÷b+a÷c=a÷（b+c）,這樣的結論就是錯誤的。解答“女生人數(shù)比男生人數(shù)多男生人數(shù)比女生人數(shù)少幾分之幾？”這道題目時，學生會錯誤地以整數(shù)計算的經(jīng)驗，得出“女生人數(shù)比男生人數(shù)少”這一錯誤的結論。學習“平行四邊形的面積公式”時，學生往往根據(jù)長方形的面積=長×寬，錯誤地類推出平行四邊形面積=底×鄰邊。

圖2

出現(xiàn)上面的錯誤，究其原因，沒有深刻理解數(shù)學對象之間的內在關聯(lián)，沒有找到本質上的聯(lián)系，且沒有經(jīng)過檢驗。為防止學生亂用類比造成錯誤，提高類比結論的可靠性。教師要重視培養(yǎng)學生檢驗修正的良好習慣，學會舉例驗證猜想，用反例揭示猜想中不合理的部分，逐步修正完善，以提高類比推理結論的正確性。如，教學“3的倍數(shù)的特征”時，學生往往根據(jù)2、5的倍數(shù)的特征，就看個位，輕易得出：個位上的數(shù)是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。顯然，這個結論是錯誤的。教師可引導學生用13、16、19、23、26、29等反例來驗證，說明猜想是錯誤的。接著，再引導學生觀察百數(shù)表中的3的倍數(shù)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)個位和十位上數(shù)的和都是3的倍數(shù)，于是又做出猜想：如果一個數(shù)各個位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，那么這個數(shù)就是3的倍數(shù)。最后再讓學生舉出不同的三位數(shù)、四位數(shù)，甚至五位數(shù)、六位數(shù)，并且及時用計算器進行驗證，得出第二次猜想是正確的，從而發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征。學生經(jīng)歷了類比猜想→舉例推翻猜想→再次猜想→驗證猜想→得出結論的過程，獲得的體驗會更加深刻，對特征的理解也會更加自然透徹。

類比推理可以獲得猜想，發(fā)現(xiàn)結論，要使結論具有可靠性，還要與演繹推理有機結合，進行猜想的驗證、結論的證明，從而提高類比推理結論的正確性。例如，在教學“圓面積計算公式的推導”時，先引導學生將一個圓等分成若干個扇形，然后拼成一個近似的長方形，再通過比較，找出長方形面積、長、寬分別與圓面積、周長、半徑之間的關系，在此基礎上，做出猜想，然后以下面的形式，有條理地推導出圓面積計算公式。

上面的探索過程，既應用了類比推理，也體現(xiàn)了類比推理與演繹推理的有機結合，保證了結論的可靠性。

類比推理是一種創(chuàng)造性推理，無論對學生今天的學習，還是與他們今后的工作及生活，都具有十分重要的作用。作為教師，要將類比推理能力的培養(yǎng)有機地融合在數(shù)學教學的整個過程之中，落實到數(shù)學課程的四個內容領域之中[7]，通過觀察、實驗、猜想、驗證等多樣化的數(shù)學活動，逐步實現(xiàn)推理能力的發(fā)展目標，努力提升學生的數(shù)學素養(yǎng)?！?/p>

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2][3]顧曉東.小學數(shù)學教材中的類比推理及教學策略[J].教學與管理，2015（20）：39-42.

[4][5][6]劉德宏.重視類比教學發(fā)展數(shù)學思考[J].教學實踐與研究，2013（8）：79-80.

[7]史寧中.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.