過(guò)家福 張心剛

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)限定選修課中的重要內(nèi)容，是解決研究函數(shù)等問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、極值、最值），解決與切線有關(guān)的問(wèn)題，證明不等式，構(gòu)造函數(shù)求變量的范圍等，深受命題者青睞，成為歷年各級(jí)考試或高考的熱點(diǎn)之一，但很多同學(xué)在應(yīng)用過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些諸如認(rèn)識(shí)上的偏差，轉(zhuǎn)化能力的缺失，致使每每解題失誤或得分艱難.

縱觀近年來(lái)各地高考，與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的內(nèi)容考查力度也較大，且每每以綜合題或壓軸題面孔出現(xiàn)，難度較大本文.本文結(jié)合自己對(duì)新教材的理解、教學(xué)體會(huì)和各類型相關(guān)考題的分析研究，就幾年來(lái)導(dǎo)數(shù)知識(shí)在考題中的常見(jiàn)呈現(xiàn)形式和破解策略進(jìn)行梳理，主要?dú)w結(jié)為如下幾種類型：

一、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲

線的切線問(wèn)題

例1 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知P是函數(shù)y=e^x（x>O）的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線l交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是

評(píng)析 本題綜合程度較高，以切線為切入口，變換直線位置關(guān)系，表示所需基本量（縱坐標(biāo)），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)作為工具進(jìn)行處理，牽涉變量較多，對(duì)同學(xué)們推理運(yùn)算能力要求較高.這些題目都考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在填空題中也是一種典型題型，不容忽視，

二、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的極值、最值和單調(diào)區(qū)間等問(wèn)題

評(píng)析 給定函數(shù)直接求給定區(qū)間上的最值和極值一般考查不多，更多的是含參數(shù)求范圍問(wèn)題，往往需要轉(zhuǎn)化，深入理解概念。比如，若f（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)，則、f'（x₀）=0只是x₀為f（x）的極值點(diǎn)的必要不充分條件.或者說(shuō)只有在x=x₀的兩側(cè)f'（x）符號(hào)相反，x=x₀才為f（x）的極值點(diǎn)，而學(xué)生初學(xué)導(dǎo)數(shù)時(shí)往往會(huì)忽略這一點(diǎn)，以為一個(gè)函數(shù)有極值的條件便是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程有實(shí)數(shù)解.所以在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，我們應(yīng)該清晰概念，理解其內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘題目條件，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)分析問(wèn)題的思維能力.

三、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的方法研究實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題

例3 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)項(xiàng)點(diǎn)A，B及CD的中點(diǎn)P處.AB=20km，BC=10km.為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上（含邊界）且與A，B等距的一點(diǎn)0處，建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO.記鋪設(shè)管道的總長(zhǎng)度為ykm.

（l）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

（i）設(shè)/BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數(shù)；（ii）設(shè)OP=x（km），將y表示成x的函數(shù)；

（2）請(qǐng)你選用（l）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的污水管道的總長(zhǎng)度最短.

評(píng)析 本小題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，要求針對(duì)不同變量的選取建立相應(yīng)的函數(shù)模型，充分體現(xiàn)構(gòu)建函數(shù)的多樣性和靈活性，要求同學(xué)們具備較強(qiáng)的分析推理能力，同時(shí)對(duì)一類問(wèn)題學(xué)會(huì)反思和提升.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)及應(yīng)用問(wèn)題的最值，在近幾年的高考題中頻頻出現(xiàn)，這些問(wèn)題都是利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題，基本思維流程是：梳理題目條件→構(gòu)建變量間函數(shù)關(guān)系（建模）→導(dǎo)數(shù)方法處理。

四、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題、求參數(shù)范圍等綜合問(wèn)題

例4 證明：當(dāng)x>0時(shí)，有1+2x2x