張自鶴

轉(zhuǎn)化和化歸思想是高中數(shù)學(xué)中最重要的思想方法，恰當(dāng)?shù)馗鶕?jù)問題的條件選擇解題策略，合理地轉(zhuǎn)化解題方向是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù).本文以圓錐曲線中最值問題的解法為例，探討在解決圓錐曲線中的最值問題中如何恰當(dāng)選擇解題策略，合理轉(zhuǎn)化解題方向.

圓錐曲線中的最值問題是解析幾何中常見的問題，是高考的熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題之一，解決這類問題的常用策略主要有：圓錐曲線定義轉(zhuǎn)化法、切線法、參數(shù)法、函數(shù)法和基本不等式法.

策略一：圓錐曲線定義轉(zhuǎn)化法

圓錐曲線定義轉(zhuǎn)化法就是根據(jù)網(wǎng)錐曲線的定義，把所求的最值問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離等等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法，其關(guān)鍵是用好圓錐曲線的定義.

例1 已知拋物線y=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析 由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，從而求|PA|+|PF|的問題可轉(zhuǎn)化為求|PA|+d的問題.

評注 圓錐曲線的定義是解決解析幾何問題的重要指導(dǎo)思想，用定義轉(zhuǎn)化法求最值，特別適合求與曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離有關(guān)的問題，其根據(jù)就是橢網(wǎng)或雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間有著固定的規(guī)律，以及拋物線上任意一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等.

策略二：參數(shù)法

參數(shù)法就是根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，把所求最值問題歸結(jié)為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)最值的問題，這種方法的要點(diǎn)是選取合適的參數(shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo).

評注 解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)都可以以角為參數(shù)來表示，拋物線上的動(dòng)點(diǎn)則可以以一個(gè)變量為參數(shù)，從而把問題轉(zhuǎn)化為利用求三角函數(shù)或變量表示的函數(shù)的最值的方法來求解解析幾何的最值問題.

策略三：切線法

當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點(diǎn)到某條直線（或直線上的點(diǎn)）的距離的最值時(shí)，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線之間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上取得最值的點(diǎn)，這種方法就是切線法.

分析 曲線上的點(diǎn)到直線的距離通常都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或線線距來完成，本題可通過直線逼近做切線，把問題轉(zhuǎn)化為線線距來完成.

評注 切線法的基本思想是數(shù)形結(jié)合，在使用切線法時(shí)要注意面出草圖，根據(jù)圖形大致確定何時(shí)取得最值.

策略四：基本不等式法

基本不等式法就是先將所求的最值用變量表示出來，再利用基本不等式求這個(gè)表達(dá)式的最值.基本不等式法是求圓錐曲線中最值問題時(shí)應(yīng)用最為廣泛的一種方法.

分析 （l）依條件，構(gòu)建關(guān)于p，t的方程；

（2）建立直線AB的斜率k與線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，并表示弦AB的長度，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求d的最大值.

評注 利用基本不等式法求最值的關(guān)鍵是用合適的變量表示出所求的目標(biāo)，然后利用基本不等式求得這個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值，在使用基本不等式求最值時(shí)要特別注意使用條件，特別是等號能不能取到以及所建立的目標(biāo)函數(shù)中的變量受什么因素的制約等.

策略五：函數(shù)法

函數(shù)法就是先把所求的最值表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，然后通過研究這個(gè)函數(shù)的最值來求出所要的最值，這是求解各類最值問題最為普遍的方法，其關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式.

（2）因?yàn)锳，B為定點(diǎn)，所以|AB|為定值，所以當(dāng)點(diǎn)P到直線的距離d最大時(shí)，△ABP的面積最大，故問題轉(zhuǎn)化為只需求點(diǎn)P到直線的距離d最大即可，同時(shí)還要注意當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)受限制，故在求最值要考慮坐標(biāo)的取值范圍.

解析 （l）由題意可求得直線l的方程為：y=2x-2，拋物線C的方程為：x=-2y.此處不再贅述.

評注 函數(shù)法是高中數(shù)學(xué)中廣為應(yīng)用的一種方法，用這種方法求圓錐曲線中的最值問題時(shí)，關(guān)鍵是要選用一個(gè)適當(dāng)?shù)淖兞浚扔眠@個(gè)變量來表達(dá)要解決的問題，這個(gè)變量通常選用直線的斜率、截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等，同時(shí)還要特別注意所建立的函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍，這些范圍就決定了函數(shù)的最值，在解題時(shí)要予以充分的考慮.

圓錐曲線中的最值問題，綜合性強(qiáng)，運(yùn)算量大，對學(xué)生的思維要求高，要根據(jù)題目條件恰當(dāng)選擇解題策略，合理轉(zhuǎn)化解題方向.解決這類問題時(shí)要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、合理轉(zhuǎn)化等方法，將問題轉(zhuǎn)化到我們常見的解題通性通法上來，其中最基本、最常用的策略是要根據(jù)題意，恰當(dāng)?shù)亟柚兞拷⑵鸷瘮?shù)關(guān)系，然后借助求函數(shù)最值的方法來解決圓錐曲線的最值問題.