卓劍

同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中要多和老師交流，交流多了就可以有效突破認(rèn)知中的思維障礙，實現(xiàn)深層次的思維探究.下面舉一個例子，從幾個方面進(jìn)行說明.

一、不可忽視的思維障礙

解析幾何由于具有字母較多，關(guān)系復(fù)雜，式子繁瑣等特征，一直是同學(xué)們懼怕的問題.增強減元意識，提高復(fù)雜關(guān)系的分析能力、代數(shù)式的化簡能力是突破思維的關(guān)鍵.

這個方程組太復(fù)雜了，接下來不知道怎么解了.

師：你的思路還是比較清晰的.你能先談?wù)剬栴}的想法嗎？

師：很好！符合減元的意識，這種處理也是解析幾何中常用的技巧.接下來，需要求點P，Q的坐標(biāo)，你是怎樣想的？

生：從圖中可以看出，點P是直線OP、直線l和橢圓的公共點.一方面，可以將直線OP與橢圓方程聯(lián)立，解得點P的坐標(biāo)，代人直線l的方程，進(jìn)行化簡；另一方面，也可以先聯(lián)立兩條直線方程，求出點P的坐標(biāo)，再代人橢網(wǎng)方程化簡.思路2應(yīng)該比較簡單，于是我選擇了后者.

師：分析得很透徹，我覺得兩種思路都可行，不過后者處理起來運算量較小.基于你剛才的兩點認(rèn)識，我覺得此路完全行得通.對于這個方程組，你義進(jìn)行了怎樣的處理？

師：在數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)非常優(yōu)美的式子時，這樣好的機(jī)會不容錯過.你得到的方程組結(jié)構(gòu)整齊優(yōu)美.想一想，可不可以從結(jié)構(gòu)上加以變形？

生：對式子去分母，分式化整式嗎？

這道題有很多種解法，有一位學(xué)生是借助于網(wǎng)系方程進(jìn)行求解的，他的解法如下.

根據(jù)題意，OM⊥ON可理解為以MN為直徑的網(wǎng)恰好經(jīng)過原點.

師：你對方程（*）所表示的網(wǎng)Q是怎么認(rèn)識和理解的？

生：首先，“OM⊥ON”可以理解為“以MN為直徑的圓經(jīng)過原點”，這里，蘊含著兩個信息.第一，動網(wǎng)Q經(jīng)過原點；第二，“以MN為直徑的網(wǎng)”必是“經(jīng)過M，N兩點的圓系中半徑最小的網(wǎng)”.

師：分析很深刻.“以MN為直徑的網(wǎng)”是圓系中“半徑最小的網(wǎng)”.那么動圓Q的半徑是什么？

師：何時半徑最小呢？

生：λ=2/5

師：根據(jù)剛才的分析，動圓經(jīng)過原點，會得到什么結(jié)論？

師：很好，問題解決的很成功！

師：換個角度思考，“圓系中半徑最小的網(wǎng)”的圓心應(yīng)該在哪里？

生：圓心應(yīng)在直線l上，

師：動圓Q的圓心坐標(biāo)是什么？看看能得到什么結(jié)論？

這位學(xué)生倍感困惑.他的解答錯在哪里呢？

原來問題出現(xiàn)在對“以MN為直徑的圓經(jīng)過原點”這句話的理解上.

一方面，他將“以MN為直徑的圓經(jīng)過原點”理解為“圓系經(jīng)過原點的圓中，半徑最小的圓”.有什么偏差嗎？

我們不妨借助于幾何面板來探究一下：作出這樣的圓Q（網(wǎng)Q經(jīng)過原點0，M，N），看看能否獲得一些啟示.

另一方面，理性地分析，將“以MN為直徑的網(wǎng)經(jīng)過原點”理解為“圓系中半徑r最小的網(wǎng)或圓心在直線l上的圓經(jīng)過原點”就恰如其分了，

借助幾何面板也恰好驗證了這一點.在圖4和圖5中，我們分別看到了隨圓C半徑變化時，動圓圓心Q始終在直線l上（即動圓Q是以MN為直徑的圓）.當(dāng)圓Q經(jīng)過原點時，恰好滿足OM⊥ON.

問題得到了網(wǎng)滿的解決，你是否在收獲之余，也感受到數(shù)學(xué)的魅力和探究的樂趣了呢？