山東寧陽(yáng)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)　　王志豪　　(郵編：271400)山東省泰安寧陽(yáng)一中　　　蘇凡文　　(郵編：271400)

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雙曲線化圓的兩個(gè)視角及其應(yīng)用

山東寧陽(yáng)第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)王志豪(郵編：271400)山東省泰安寧陽(yáng)一中蘇凡文(郵編：271400)

我們知道，利用仿射變換可以將橢圓變換為圓，采用圓的性質(zhì)解決橢圓問(wèn)題，但是極少見到將雙曲線仿射變換為圓的研究.一般來(lái)說(shuō)，橢圓所具備的性質(zhì)雙曲線也具備.筆者經(jīng)過(guò)思考，從兩個(gè)視角談一下將雙曲線仿射變換為圓，利用圓的性質(zhì)解決雙曲線問(wèn)題.想法不盡成熟，以期拋磚引玉，請(qǐng)同仁輔正.

1雙曲線化圓的兩個(gè)視角

視角一類比橢圓化圓將雙曲線化圓

視角二借助虛數(shù)單位i將雙曲線化圓

2兩視角下雙曲線化圓的應(yīng)用

(1)利用直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)取值范圍

例1若雙曲線x2-y2=1與直線y=kx-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解析視角一

視角二

(2)求雙曲線的切線方程

解析視角一

視角二

(3)雙曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題

解析視角一

視角二

仿射變換中有很多的變與不變，因仿射的角度不同，每種仿射下的“變與不變”也不相同，我們要充分利用“不變”的性質(zhì)解題，而“變”的性質(zhì)就決定了橢圓化圓、雙曲線化圓后，利用圓的性質(zhì)解題會(huì)有諸多的限制.例如中點(diǎn)弦問(wèn)題，利用角度一仿射后，其中的一個(gè)“變”是雙曲線的弦中點(diǎn)不一定是圓的弦中點(diǎn)了，那么再利用圓的性質(zhì)求中點(diǎn)弦就不對(duì)了；其中的一個(gè)“不變”是點(diǎn)在雙曲線內(nèi)(外)經(jīng)仿射后仍然在圓內(nèi)(外)，我們可以利用這個(gè)性質(zhì)判斷是否存在以此點(diǎn)為中點(diǎn)的弦.由此可見，利用仿射研究橢圓、雙曲線化圓問(wèn)題仍有大量工作可做，希望各位數(shù)學(xué)同仁能夠加以補(bǔ)充.

參考文獻(xiàn)

1王敬賡，岳昌慶．關(guān)于雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的對(duì)話[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2014(12)

(收稿日期：2015-12-24)