福建省龍海第一中學(xué)　　蘇藝偉　　(郵編：363100)

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對一道圓錐曲線試題的思考

福建省龍海第一中學(xué)蘇藝偉(郵編：363100)

數(shù)學(xué)學(xué)科的特點之一是理性思維.理性思維不僅表現(xiàn)在解題過程中能夠靈活地思考,用思考換計算,從而簡捷地解決問題,還表現(xiàn)在能夠摒棄傳統(tǒng)的就題解題,對題目的條件作出更深入的分析,能夠推廣試題的結(jié)論,能夠?qū)υ囶}有更深入的了解.本文以一道圓錐曲線試題為例,分析其題目條件隱含的規(guī)律,從而將其推廣到一般情況,并進(jìn)行了較為深入的思考.

分析本題以橢圓為載體考查圓錐曲線中定值問題的證明.由于要證點F2到直線QT的距離為定值,故先求出直線QT的方程,再利用點到直線的距離公式.而要求出直線QT的方程,只需圓P與圓F2的方程相減即可.因此本題應(yīng)該以P的坐標(biāo)表示出圓P的方程,再利用點P的坐標(biāo)滿足橢圓方程這一性質(zhì)加以處理.

圖1

1思考1

通過上述解題過程可以發(fā)現(xiàn),圓F2的半徑平方恰好是橢圓中的a2+b2,點F2到直線QT的距離恰好是a.可否推廣到一般情況?如果要使得點F2到直線QT的距離恰好是定值,則圓F2的半徑與橢圓方程存在什么樣的關(guān)系?

2結(jié)論

3思考2

=-8mtc+4c2-4t2+8b2+8b2m2

將分子中的c2替換成a2-b2,得

這樣就證明了兩圓必定會相交.

4思考3

上述結(jié)論是否可以類比到雙曲線中？

通過上述分析,我們似乎也可以得到類似的結(jié)論:

那么實際上也是如此嗎?下面筆者用一道具體的題目進(jìn)行檢驗.

圖2

圖3

這就說明上述結(jié)論不能類比到雙曲線.

5思考4

上述結(jié)論在雙曲線中不能成立的原因在于兩圓根本無公共點.為什么兩圓無公共點?

分析

兩圓方程相減得直線QT方程為

=-8mtc+4c2-4t2-8b2-8b2m2

將分子中的c2替換成a2+b2,得

這樣就證明了兩圓無公共點.

也就是說上述結(jié)論在橢圓中成立，但是在雙曲線中卻是不成立的.

6結(jié)束語

通過上述四個思考,我們摒棄了傳統(tǒng)的就題解題,對題目有了更深刻的認(rèn)識,提升了思辨能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).這就啟發(fā)我們在實際解題中,不能搞題海戰(zhàn)術(shù),不能靠押題猜題,而是應(yīng)該著重培養(yǎng)學(xué)生分析問題,解決問題的能力,多想幾個為什么,多鉆研,多反思.唯有如此,才能將繁重的腦力勞動轉(zhuǎn)化成一種快樂的享受和智能的挖掘.

(收稿日期：2016-02-17)