安徽省合肥市第五十中學(西區(qū))　　胡志杰　　程海蘭　　(郵編：233000)

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在探究中學習新知在活動中收獲成功
——以《勾股定理》教學為例

安徽省合肥市第五十中學(西區(qū))胡志杰程海蘭(郵編：233000)

1教學背景

《義務教育數(shù)學課程標準》(2011年版)較《義務教育數(shù)學課程標準》(實驗稿)與時俱進地明確指出：通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能“獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗”.把數(shù)學教學中的“雙基”發(fā)展為“四基”,即除了“數(shù)學基本知識”和“數(shù)學基本技能”之外,增加了“數(shù)學基本思想”和“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”.把“雙基”改為“四基”，“數(shù)學基本思想”得到了突出，“基本活動經(jīng)驗”則把理性的與感性的、顯性的與隱性的學習過程與學習結(jié)果都概括了進去.可見《標準》(2011年版)強調(diào)數(shù)學課程必須充分關注學生的數(shù)學活動經(jīng)驗.學生的數(shù)學活動經(jīng)驗不僅是數(shù)學教學的重要目標、數(shù)學課程的重要組成部分，也是數(shù)學課程生成和發(fā)展的基礎.鑒于此，安徽省合肥市第五十中學(西區(qū))專門成立了以胡志杰校長和張化副校長為課題負責人的課題組，申報了安徽省教育科學規(guī)劃課題《初中生“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”積累的教學實踐研究》(課題批準號：JG14178).

在省、市、區(qū)教育局領導和專家大力支持和指導下，課題于2015年2月4日順利開題.課題組查閱大量資料發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)關于“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”的研究主要分布在其定義、分類等理論研究方面，而從實踐層面上去研究這些欄目在教學上的作用及意義的內(nèi)容則涉獵較少，特別是對數(shù)學活動經(jīng)驗評價的研究很少，實踐定量分析的研究更少.因此，本課題的研究具有一定的實際意義.課題組制定以下幾種方法來展開研究：(1)行動研究法：充分發(fā)揮課題組成員大多為一線骨干教師的優(yōu)勢，在教學中通過實驗者自身的實踐進行實證性研究，具體分為以下幾個步驟：自主選題——確定主題——制訂活動計劃——活動展示——活動研討——總結(jié)經(jīng)驗——發(fā)現(xiàn)問題——尋找對策——驗證對策；(2)調(diào)查研究法：通過對當前學生積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗的調(diào)查分析(問卷調(diào)查、訪談)，發(fā)現(xiàn)問題，制定研究計劃，有針對性地開展案例分析研究；(3)案例研究法：基于真實的課堂教學案例的分析，形成高質(zhì)量的案例集.

根據(jù)課題組安排，由課題組成員周丹、邢麗娜老師開設了“PBP”(partner伙伴互助+back to back背靠背+polish反復打磨)教研模式下同課異構的數(shù)學活動課——《勾股定理》的市級展示課，于2015年4月1日下午在合肥市第五十中學(西區(qū))八(3)班教室進行.結(jié)合課題組前期的行動研究、理論提煉，這次展示課在數(shù)學活動設計上有所突破.在課后的評點中，得到了聽課專家的好評，給與會教師留下了深刻的印象.本文以邢麗娜老師的展示課為例，就“如何設計和組織數(shù)學活動，才能有利于學生積累基本數(shù)學活動經(jīng)驗”，談一點自己淺顯的看法，以供商榷.

2教材分析

2.1內(nèi)容簡析

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，是前面所學“三角形三邊關系”的知識延伸，又為九年級學生學習“解直角三角形”奠定了基礎.同時，勾股定理也是學生認識無理數(shù)的基礎，將形與數(shù)密切聯(lián)系起來，在數(shù)學的發(fā)展過程中和現(xiàn)實世界中有著廣泛的作用.本節(jié)課是以探索直角三角形三邊關系為內(nèi)容的學習，在整個中學數(shù)學知識結(jié)構中處于非常重要的地位.教科書上的設計重在引導學生“探索”，通過在方格紙上計算面積的方法探索勾股定理，同時又安排了用多種拼圖的方法驗證勾股定理，試圖讓學生經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗證的數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程，發(fā)展學生的探究能力、合情推理能力.

2.2目標定位

(1)教學目標

(i)利用測量和借助網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)勾股定理，能驗證勾股定理并應用定理進行簡單計算.

(ii)在發(fā)現(xiàn)勾股定理的過程中經(jīng)歷“觀察—猜想—實驗—歸納”等活動，發(fā)展推理能力，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的思想.

(iii)了解勾股定理歷史,感受數(shù)學美，激發(fā)學習熱情.

(2)教學重點

探索勾股定理.

(3)教學難點

勾股定理的探索過程.

突破難點方法：勾股定理的探究是通過圖形面積割補得到的，而課本中沒有專門講面積的理論，學生不易理解推理的依據(jù)，要根據(jù)圖形面積之間的關系列出代數(shù)式，再利用代數(shù)式的變形得出結(jié)論，過程比較復雜.突破難點的關鍵是以啟發(fā)性的分析思路，讓學生主動探究，通過對圖形的割、補，熟悉面積說明問題的思路，通過動手操作、合作交流來解決問題.

2.3方法闡釋

本節(jié)內(nèi)容重在探索，教學中通過設計問題引導學生積極思考，動手操作，采用 “問題情境——建立模型——理解應用與拓展”的模式展開.

3教學過程與評析

3.1活動一創(chuàng)設情境，引入新課

首先創(chuàng)設這樣一個問題情境：如圖所示，強大的臺風使得一根旗桿在離地面4.5米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部6米處，請問旗桿折斷之前有多高？

圖1

教師引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊長，如何求第三邊”的問題.學生會感到困難，教師指出學習了今天這一課就有辦法解決了，從而自然引入新課．

評析以實際問題為切入點引入新課，不僅自然，而且反映了數(shù)學來源于實際生活，數(shù)學是從人們生活的需要中產(chǎn)生的基本觀點，同時也體現(xiàn)了知識的產(chǎn)生過程、解決問題的過程就是一個“數(shù)學化”的過程．問題設計具有一定的挑戰(zhàn)性，目的是激發(fā)學生的探究欲望，實踐證明，這樣處理能較好地調(diào)動學生的積極性，開啟學生的思維，快捷引入新課．

3.2活動二發(fā)現(xiàn)勾股定理

(1)實踐思考——直角三角形的三邊有怎樣的關系？

問題請同學們動手畫任意一個直角三角形，測量其三邊長度并計算，交流自己的發(fā)現(xiàn).學生很快發(fā)現(xiàn)：(1)斜邊大于直角邊;(2)兩條直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.教師順勢追問：三邊之間是否存在等量關系？

圖2

評析追問三邊之間是否存在等量關系，指明學生探究的目的性．

(2)探索思考——借助網(wǎng)格發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊平方(即正方形A、正方形B和正方形C的面積)之間的關系．

(i)等腰直角三角形

觀察圖2，對于等腰直角三角形，將正方形A、正方形B和正方形C的面積填入下表，它們的面積之間有什么關系？

三角形的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積等腰直角三角形

結(jié)論正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積．

圖3

(ii)直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形

觀察圖3，對于直角邊長為整數(shù)的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面積又有什么關系呢？

三角形的形狀正方形A面積正方形B面積正方形C面積一般直角三角形

結(jié)論正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積．

(3)觀察 驗證——借助幾何畫板驗證直角三角形三邊平方之間的關系．

教師改變直角三角形三邊a、b、c的長度,學生觀察兩條直角邊平方與斜邊平方間的數(shù)量關系的變化情況．結(jié)論仍然是：正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積．

再將直角三角形改為非直角三角形，通過幾何畫板的測量功能計算三邊的平方，觀察三者之間是否具有上述關系？結(jié)論：正方形A面積+正方形B面積不等于正方形C面積．

對比之后可知，上述關系是直角三角形所特有的性質(zhì)．

(4)得出猜想.

=在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，那么a2+b2=c2．評析本環(huán)節(jié)設計的問題，引導學生經(jīng)歷了四個活動過程：首先結(jié)合教科書中正方形的面積求法做出研究，讓學生進行割、補、拼圖的數(shù)學探究活動，算出正方形面積，探究不同求法.這樣設計有利于突破難點，而且為歸納結(jié)論打下了基礎，讓學生體會到觀察、猜想、歸納的過程和樂趣，也讓學生分析問題和解決問題的能力在過程中得到提高.這種活動經(jīng)驗的積累對后面的繼續(xù)學習有很重要的意義．其次，針對教科書中給出的探究題目，用前面總結(jié)歸納得到的方法來求以直角三角形三邊長為邊的三個正方形面積之間的關系，不難得出“正方形A面積+正方形B面積=正方形C面積”的結(jié)論．而教科書中給的探索圖形，直角三角形三邊長度均為整數(shù)，這樣的正方形不具有一般性，對于邊長任意的正方形這個結(jié)論是否也成立呢？在這里，讓學生畫圖探討較為困難，因而可利用幾何畫板進一步驗證上面的結(jié)論，在此基礎上進一步探討出本節(jié)課的重點——勾股定理．這樣由淺入深，充分地讓學生經(jīng)歷了探索解決問題的過程，積累了經(jīng)驗，較好地突出了重點，突破了難點．

3.3活動三證明勾股定理

圖4

教師為每個學習小組提供四個全等的直角三角形硬紙片，直角邊長是a、b，斜邊長c．

提出問題：你能用四個全等的直角三角形拼成一個什么樣的正方形？拼出的正方形的面積怎么表示？

各個小組利用集體的智慧一起拼圖并計算面積．拼圖游戲結(jié)束后，學生代表分別上臺展示拼圖(圖4、圖5)和不同方法計算所拼正方形的面積，從而得出a2+b2=c2的結(jié)論．

學生代表我們組還想到了一種可以得出a2+b2=c2的拼圖方法(圖6)，只需要將兩個全等的直角三角形拼成一個直角梯形．

教師結(jié)合學生的拼圖及證明介紹數(shù)學史：趙爽的弦圖及總統(tǒng)證法，得出勾股定理：

勾股定理

圖5

圖6

在直角三角形中，兩條直角邊的平方等于斜邊的平方.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b表示兩條直角邊，c表示斜邊，那么a2+b2=c2

教師介紹定理名稱的由來：人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”，所以我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.因此就把這一定理稱為勾股定理.我國早在三千多年就知道了這個定理，國外稱之為畢達哥拉斯定理.

由此延伸，開始介紹數(shù)學史．

評析因為勾股定理的面積法證明的構造性已超出學生的能力范圍，所以教師直接引導學生用四個全等的直角三角形拼成一個正方形，再讓學生用不同的方法表示拼成的正方形的面積，從而得出的結(jié)論．在小組合作探究活動中發(fā)現(xiàn)不同的思路，并面向全體學生做適當?shù)谋容^和討論，有利于開闊學生的視野，增強論證的趣味性，激發(fā)學生對數(shù)學證明的興趣和掌握數(shù)學證明方法的信心，豐富學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，提高思維水平．大量數(shù)學史實的介紹，可增強學生的數(shù)學文化素養(yǎng)，提升學生的愛國主義情懷．

3.4活動四鞏固應用

回顧開頭情境中的問題，利用勾股定理解決實際問題．

評析首尾呼應，解決問題.讓學生在熟悉定理、運用定理的同時，再次體會到數(shù)學源于生活，又服務于生活．

3.5活動五課堂總結(jié) 課外延伸

(1)該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關系？

(2)在探索和驗證定理的過程中，我們運用了哪些方法？

(3)這節(jié)課中你還有什么收獲？

(4)你還有哪些不懂的，或是還想要繼續(xù)探索的？

課后作業(yè)：

搜集有關勾股定理的資料和其他的驗證方法，下節(jié)課交流．

評析圍繞四個問題，師生以談話交流的形式，共同總結(jié)本節(jié)課學習的收獲．教師從知識內(nèi)容、應用到的數(shù)學思想方法、獲取知識的途徑等方面引導學生多角度地進行歸納總結(jié)，感悟點滴，將知識系統(tǒng)化，有利于提高學生素質(zhì)，鍛煉學生的歸納總結(jié)及語言表達能力．將作業(yè)延伸到課外，拓展了學生視野．

4總評

縱觀邢麗娜老師的這節(jié)展示課，以問題為載體，數(shù)學活動為主線，教師的啟發(fā)引導與學生的思維同步，引導學生經(jīng)歷了一次發(fā)現(xiàn)和驗證勾股定理的過程．全程滲透數(shù)學思想及方法，使學生的活動充滿了探索和創(chuàng)造，有利于發(fā)展學生數(shù)學思維能力，并積累數(shù)學活動經(jīng)驗．總之，這節(jié)課中組織學生活動的形式有很多值得我們學習和借鑒的，現(xiàn)舉一二．

4. 1通過數(shù)學活動，注重教學目標的整體實現(xiàn)

結(jié)合本課例目標，邢老師根據(jù)教學內(nèi)容和學生的情況設置的四個教學活動圍繞教學目標，重點突出，難點分解．學生經(jīng)歷了將生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，主動參與拼圖、數(shù)據(jù)測量計算的操作活動，經(jīng)歷了從特殊到一般的猜想和驗證，并在實踐中探索并發(fā)現(xiàn)新知識，運用新知識解決實際問題．

4.2巧用生活情境，培養(yǎng)學生構建數(shù)學模型的能力

本課例首先提出一個問題情境，要想解決這個實際問題需要先將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊長，如何求第三邊”的問題，體現(xiàn)了數(shù)學是從人們的生活需要中產(chǎn)生的基本觀點，同時讓學生經(jīng)歷了知識的產(chǎn)生過程、解決問題的過程，感受“數(shù)學化”的過程．學生在課堂上積累的活動經(jīng)驗，可以啟發(fā)學生在實際生活中找到數(shù)學原理的原型，并通過實際操作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律．當學生掌握了勾股定理的數(shù)量關系后，遇到相關問題時就會自然而然地聯(lián)想到構建直角三角形模型，從而運用勾股定理去求解．

4.3經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

章建躍教授在《數(shù)學教育之取勢明道優(yōu)術》一文中指出：“教好數(shù)學”的內(nèi)涵應該是“為學生建構前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數(shù)學知識的過程中學會思考” ．數(shù)學活動經(jīng)驗是一種過程性知識，是學生在數(shù)學活動過程中內(nèi)化了的數(shù)學知識、技能及情感體驗，既包括學生的日常生活經(jīng)驗，又包括學生在學校數(shù)學課程中獲得的經(jīng)驗．幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果．本課例從解決實際問題引發(fā)認知沖突開始，激發(fā)學生探索直角三角形三邊之間關系的欲望．設置幾個由淺入深的探索性活動讓學生在“做”的過程和“思考”的過程中體會直角三角形三邊的關系，從等腰直角三角形到非等腰直角三角形，從整數(shù)邊直角三角形到任意邊長直角三角形，逐漸從特殊歸納出一般猜想，再有目的地去證明猜想，得出勾股定理，最后解決開始的沖突．這一完整的過程不僅可以完成勾股定理的學習，也能幫助學生積淀學習其他幾何定理學習的基本經(jīng)驗．

4.4感悟數(shù)學思想，發(fā)展數(shù)學能力

勾股定理的面積法證明不同于其他幾何命題的證明，其構造性已超出學生的能力范圍，所以教師直接引導學生做拼圖游戲，用四個全等的直角三角形拼成一個正方形，并讓學生用不同的方法表示拼成的正方形的面積，從而得出a2+b2=c2.學生在操作活動中嘗試找出勾股定理的證明方法，再次加深對勾股定理的理解．學生在這一探究活動中充分體會數(shù)形結(jié)合思想，感受幾何證明的新方法，豐富了學生的數(shù)學視野，發(fā)展了學生的數(shù)學能力．

5結(jié)束語

綜上所述，學生不是從老師那里獲取知識，而是在數(shù)學活動的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、積累經(jīng)驗．我們的一切數(shù)學教學活動都應該促進學生的成長與發(fā)展，應該以幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗為目的．數(shù)學教學活動的設置要圍繞教學目標啟發(fā)學生進行有效的思考，使學生在動手操作的實踐基礎上，探索數(shù)學知識的規(guī)律，從而建立數(shù)學模型，更應該尊重學生各自的知識經(jīng)驗、思維方式和習慣，培養(yǎng)學生用思維的眼光去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題并解決問題，使學生的感性認識通過實際操作上升為理性的思維認識．同時要求教師在教學活動中應是一個促進者、協(xié)作者、組織者，要善于做點燃學生探究欲望和智慧火花的人，要善于讓學生說教師要說的話，做教師想做的事．問題的設置，要注意其層次性，使問題的提出由淺入深、由簡單到復雜，循序漸進，滿足不同層次學生求知探索的欲望，從而獲得直接經(jīng)驗的體驗和理論知識的收獲，在實際的應用中不斷地培養(yǎng)學生的動手驗證意識和創(chuàng)新精神．

參考文獻

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(收稿日期：2016-01-25)