程 靖，陳 力(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州350116；2.福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州350116)

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漂浮基空間機(jī)器人捕獲衛(wèi)星過程沖擊動力學(xué)建模及基于非線性濾波器的鎮(zhèn)定運動控制

程 靖1，2，陳 力1，2
(1.福州大學(xué)機(jī)械工程及自動化學(xué)院，福州350116；2.福建省高端裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心，福州350116)

摘要:研究了空間機(jī)器人系統(tǒng)捕獲目標(biāo)衛(wèi)星時發(fā)生碰撞的沖擊效應(yīng)及之后的穩(wěn)定控制問題。首先利用拉格朗日第二類方程建立了空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)模型，目標(biāo)物的動力學(xué)方程則通過牛頓歐拉法獲得。其次利用運動幾何關(guān)系及動量守恒原理，分析了碰撞沖擊對系統(tǒng)的影響。對于兩者接觸后形成失穩(wěn)的聯(lián)合體系統(tǒng)，設(shè)計了輸出反饋控制方案，以完成穩(wěn)定控制。同時，考慮到空間機(jī)器人輸入力矩有限的條件，運用帶飽和函數(shù)的控制率將控制力矩限制在一定范圍內(nèi)。該方案利用非線性濾波器估測機(jī)械臂關(guān)節(jié)的速度，使其在控制過程中僅需測量系統(tǒng)位置信息。最后，通過李雅普諾夫判據(jù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。數(shù)值仿真實驗?zāi)M了碰撞沖擊效應(yīng)，并驗證了上述控制方案的有效性。

關(guān)鍵詞:漂浮基；空間機(jī)器人；碰撞沖擊；輸入受限

1　引言

隨著人類在太空領(lǐng)域的不斷深入探索，空間機(jī)器人的研究也越來越受到重視，引起了眾多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注[1-6]，空間機(jī)器人系統(tǒng)越來越多地應(yīng)用到了航空器維修、空間站建設(shè)、衛(wèi)星捕獲等空間任務(wù)中[7-9]。在完成空間操作任務(wù)的過程中，機(jī)械臂末端將不可避免地與被捕獲物接觸，產(chǎn)生的碰撞會使空間機(jī)器人系統(tǒng)發(fā)生翻轉(zhuǎn)。漂浮基多體系統(tǒng)在太空運動過程中，各部分還存在強(qiáng)烈的耦合干擾作用，這增加了控制設(shè)計的難度。目前空間機(jī)器人的研究已經(jīng)有了許多成果，大多是考慮無捕獲操作的軌跡運動[10-12]。而捕獲操作涉及復(fù)雜的碰撞沖擊問題，以及對失穩(wěn)的聯(lián)合體系統(tǒng)的控制問題，比無捕獲操作的情況更具有難度。Yoshida和Nenchev[13]運用零空間的概念，找出了能夠降低碰撞沖擊效應(yīng)的最優(yōu)空間機(jī)械臂構(gòu)型。Kazuya[14]等利用具有冗余度的空間機(jī)器人，從而減小空間機(jī)器人抓捕碰撞時的瞬時沖擊力。但是，這些方案中都未考慮系統(tǒng)接觸碰撞過程之后的穩(wěn)定控制問題。實際情況中，考慮到發(fā)射裝置的尺寸、重量，蓄電池電壓等因素的影響，控制器的輸出力矩是有限的[15]，這將導(dǎo)致控制器難以提供所需力矩，從而降低控制精度。為了進(jìn)一步節(jié)約系統(tǒng)成本，減少因測量轉(zhuǎn)動速度或轉(zhuǎn)動加速度產(chǎn)生的誤差，要求傳感器僅測量位置信號。

針對上述情況，以漂浮基空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)過程為研究對象，利用拉格朗日方法及牛頓歐拉法，分別建立了空間機(jī)器人系統(tǒng)及剛性目標(biāo)系統(tǒng)動力學(xué)模型。兩者的動量交換通過碰撞完成，利用力的傳遞關(guān)系及動量守恒定律，研究了機(jī)械臂末端與被捕獲目標(biāo)衛(wèi)星發(fā)生碰撞后的沖擊效應(yīng)，并獲得了碰撞后失穩(wěn)的聯(lián)合體系統(tǒng)模型。提出了基于非線性濾波器的輸出反饋控制，采用帶濾波器的飽和反饋控制，使控制力矩限制在一定的范圍內(nèi)，并估計機(jī)械臂關(guān)節(jié)的角速度，從而避免了反饋系統(tǒng)的角速度。最后，進(jìn)行計算機(jī)仿真模擬沖擊效應(yīng)，并驗證所提出的控制方案的有效性。

2　空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)模型

以做平面運動的位置不受控、姿態(tài)受控空間機(jī)器人系統(tǒng)為研究對象，圖1為空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)的示意圖。

該系統(tǒng)由漂浮基座，兩個剛性臂桿及末端執(zhí)行器組成。建立平動的慣性坐標(biāo)系XOY，整個系統(tǒng)在該平面內(nèi)運動。建立分體的連體坐標(biāo)系，臂桿由關(guān)節(jié)鉸鏈接，，O1、O2分別為關(guān)節(jié)鉸的中心，O0、Om分別為載體和負(fù)載質(zhì)心。各分體質(zhì)心相對O點的矢徑為r0、r1、r2，ei為各分體主軸方向上的基矢量。d0為載體質(zhì)心到O1的距離，l1、l2為兩臂桿中心線長度，dm為目標(biāo)質(zhì)心到捕獲位置的距離。mi(i = 0，1，2，m)分別為各部分質(zhì)量，Ii(i = 0，1，2，m)為轉(zhuǎn)動慣量。

圖1　空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)過程示意Fig.1 Schematic diagram of target capture by space robot

結(jié)合拉格朗日第二類方程，并忽略微弱重力梯度的影響?？傻没恢貌豢亍⒆藨B(tài)受控的空間機(jī)器人系統(tǒng)的動力學(xué)方程如式(1):

式中，D(q)∈?5×5表示空間機(jī)器人系統(tǒng)對稱、正定慣性矩陣，是包含科氏力、離心力的列向量。τ∈?3×1表示漂浮基座姿態(tài)控制力矩及關(guān)節(jié)鉸驅(qū)動力列向量。定義為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)向量，q0= [x0y0]T為基座質(zhì)心位置坐標(biāo)向量，qθ= [θ0θ1θ2]T。J為機(jī)械臂末端接觸點對應(yīng)的運動Jacobian矩陣，F(xiàn)∈?3×1為機(jī)械臂末端受到的沖擊力。

由運動幾何關(guān)系可得，機(jī)械臂末端速度與廣義坐標(biāo)的關(guān)系如式(2):

定義目標(biāo)衛(wèi)星上質(zhì)心的位置坐標(biāo)及姿態(tài)角列向量qm= [xmymθm]T為目標(biāo)的廣義坐標(biāo)，其相對應(yīng)的捕獲位置p′與其廣義坐標(biāo)的運動學(xué)關(guān)系為:

對于視為剛體的目標(biāo)系統(tǒng)，采用牛頓—歐拉法可獲得其動力學(xué)方程如式(4):式中，Dm∈?3×3是被捕獲目標(biāo)對稱、正定的慣性矩陣，F(xiàn)′為p′上受到的末端執(zhí)行器的反作用力，根據(jù)牛頓第三定律有式(5):

3　碰撞沖擊效應(yīng)分析

空間機(jī)器人捕獲目標(biāo)衛(wèi)星時，先追蹤目標(biāo)至合適位，之后在展開機(jī)械臂進(jìn)行抓捕操作。假設(shè)兩者發(fā)生理想的單點碰撞，并產(chǎn)生動量交換。捕獲完成后目標(biāo)與空間機(jī)器人系統(tǒng)固連，最終形成不發(fā)生相對滑動的聯(lián)合體系統(tǒng)。兩者的捕獲位置受到的作用力使各自的運動狀態(tài)發(fā)生了改變。

將(4)式代入(1)式，并利用(5)式可得表示空間機(jī)器人系統(tǒng)受沖擊影響的公式(6):

在極短的撞擊時間Δt內(nèi)產(chǎn)生的沖量引起了空間機(jī)器人系統(tǒng)與目標(biāo)系統(tǒng)之間的動量變化，由動量定理，考慮碰撞時間并對(6)式積分得式(7):

其中t0為碰撞前瞬間時刻。

在瞬時接觸時間Δt內(nèi)，產(chǎn)生了很大的沖擊力，則可認(rèn)為該瞬間時刻廣義速度和廣義加速度將發(fā)生突變，而空間機(jī)器人各部分相對位置保持不變。則在該時段內(nèi)，D(q)、Dm、J和Jm可以近似為定值。同時，避免關(guān)節(jié)應(yīng)受力過大而損壞，不開啟控制，使空間機(jī)器人系統(tǒng)各部分處于自由狀態(tài)。則(7)式可以近似寫為式(8):

在碰撞沖擊結(jié)束后，空間機(jī)器人系統(tǒng)與被捕獲目標(biāo)立即固結(jié)成為一個整體。之后兩者的捕獲相關(guān)位置具有相同的速度和加速度。由(2)式和(3)式可以得到目標(biāo)上及機(jī)械臂末端捕獲位置對應(yīng)點的速度關(guān)系如式(9):

由(8)式和(9)式可推得抓取動作完成后，整體系統(tǒng)的廣義速度值如式(10):

4　聯(lián)合體系統(tǒng)動力學(xué)模型

空間機(jī)器人系統(tǒng)完成抓取任務(wù)后，假設(shè)捕獲位置不發(fā)生相對滑動，則有式(11):

對(11)求導(dǎo)并移項得式(12):

聯(lián)合式(1)、(4)、(5)及(12)，可得聯(lián)合體系統(tǒng)動力學(xué)方程如式(13):

為節(jié)約控制液，應(yīng)使空間機(jī)器載體位置不控，但考慮到與地面基站的通訊過程，則需要保證載體姿態(tài)受控。假設(shè)碰撞接觸后的聯(lián)合體系統(tǒng)不受其他外力作用[1]，則系統(tǒng)滿足動量守恒定律，由動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程可知N矩陣前兩列元素為零。式(13)可重寫為分塊矩陣形式如式(14):

其中，M11∈?2×2、M12∈?2×3、M21∈?3×2、M22∈?3×3、N12∈?2×3、N22∈?3×3、N11∈?2×2、N21∈?3×2兩個矩陣分別為零元素矩陣。

該聯(lián)合體動力學(xué)模型矩陣具有如下性質(zhì):

性質(zhì)1:矩陣Mθ對稱、正定、有界，且有存在。

5　輸出反饋控制方案設(shè)計

定義誤差及濾波誤差函數(shù)分別為式(17)、(18):

其中，qθd∈?3×1為給定的有界期望軌跡，α為系數(shù)矩陣。濾波器僅輸出關(guān)節(jié)鉸位置以及相關(guān)信號。則可寫為式(19):

將(19)式代入(5)式得式(20):

設(shè)計輸出反饋控制器如式(21)～(22):

其中，Kφ= diag(kφ1，kφ2)，β= diag(β1，β2)，Φ是濾波器的輸出，λ，kφi( i = 1，2)和βi都是大于零的常數(shù)。tan( Φ )= [tanφ1，tanφ2]T。

證明:定義如式(23)所示李雅普諾夫函數(shù)，

根據(jù)ln( coshx )≥0，可知(23)式是正定函數(shù)。

將函數(shù)V對時間求導(dǎo)，結(jié)合(19)和(20)式，并利用性質(zhì)2，可以得到式(24):

6　數(shù)值仿真

以平面空間機(jī)器人抓取目標(biāo)衛(wèi)星過程為例，令t0+Δt為初始時刻，進(jìn)行數(shù)值模擬仿真。聯(lián)合體系統(tǒng)參數(shù)選取為:

各部分質(zhì)量為: m0= 50 kg，m1= 2 kg，m2= 2 kg，mm= 5 kg；各部分轉(zhuǎn)動慣量為:I0= 40 kg˙m2，I1= 3 kg˙m2，I2= 3 kg˙m2，Im= 3 kg˙m2；基座質(zhì)心到O1距離為: l0= 1 m，兩機(jī)械臂長度為: l1= 3 m，l2= 3 m，p′到目標(biāo)質(zhì)心距離為: lm= 0. 2 m。

空間機(jī)器人系統(tǒng)初始位置為q(t0) = [0 m 0 m 100°30°60°]T，接觸碰撞前被捕獲目標(biāo)的速度為= [0. 5 m/ s 0. 5 m/ s - 1 rad/ s]T。

對于失去穩(wěn)定的聯(lián)合體系統(tǒng)，其控制目標(biāo)是:在接觸碰撞之后，迅速開啟控制，并希望聯(lián)合體系統(tǒng)恢復(fù)初始位置并穩(wěn)定。任取一組控制器參數(shù)為: K = diag(100，100，100)，α= 0. 5，β= diag(30，30，30)，λ= 30。對比圖2和圖3可知，在沒有進(jìn)行主動的穩(wěn)定控制的情況下，空間機(jī)器人系統(tǒng)受負(fù)載沖擊后發(fā)生翻滾現(xiàn)象，這對精密的太空設(shè)備是不利的。進(jìn)行主動控制后系統(tǒng)逐漸恢復(fù)初始狀態(tài)，并趨于穩(wěn)定。同時，圖4也表明了控制力矩也得到了有效限制。

7　結(jié)論

本文基于剛體動力學(xué)理論并結(jié)合動量守恒定律，推導(dǎo)了單臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的碰撞沖擊過程。受碰撞沖擊的機(jī)器人系統(tǒng)，不加以控制將產(chǎn)生翻滾現(xiàn)象，失去穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明，所提控制方案可完成聯(lián)合體系統(tǒng)的消旋控制及鎮(zhèn)定運動控制。

圖3　漂浮基座姿態(tài)及關(guān)節(jié)鉸位置(控制器關(guān))Fig.3 Attitude and joint angles of the floating base(uncontrolled)

圖4　控制力矩Fig. 4 Control torques

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Impact Dynamics and Calming Control Based on Nonlinear Filter for Free-floating Space Robot Capturing a Satellite

CHENG Jing1，2，CHEN Li1，2
(1. School of Mechanical Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350116，China；2. Collaborative Innovation Center of High End Equipment Manufacturing in Fujian，F(xiàn)uzhou 350116，China)

Abstract:The impact analysis of space robot while capturing a target and the stability control problem after the impact were studied. Firstly，with the Lagrange equation，the dynamic model of space robot system was established and the dynamic model of the target was derived by Newton-Euler approach. Secondly，the impact effect of rigid coupling model was analyzed by applying geometric relationship and principle of momentum conservation. Output-feedback control scheme was designed for unstable combined system so as to stabilize the combined system. The input torque limited by the control law was designed for the condition of limited inputs with saturation function. The angle velocity of the system was estimated by nonlinear filter and it only required the position measurement of the system. At last，the stability of the combined system was demonstrated by Lyapunov criteria. Numerical example was used to simulate the process of collision impact and the validity of the proposed control scheme was verified.

Key words:free-floating base；space robot；collision impact；limited inputs

作者簡介:程靖(1989 - )，男，博士研究生，研究方向為空間機(jī)器人系統(tǒng)動力學(xué)與控制。E-mail: cjzz859@163. com

基金項目:國家自然科學(xué)基金資助項目(11372073，11072061)

收稿日期:2015-08-17；修回日期:2015-12-21

中圖分類號:TP241

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1674-5825(2016)01-0033-05