丁建中，王春潔，2，王家俊，宋順廣(.北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京009；2.虛擬現(xiàn)實技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，北京009)

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著陸工況對月球著陸器著陸緩沖性能影響分析

丁建中1，王春潔1，2，王家俊1，宋順廣1
(1.北京航空航天大學機械工程及自動化學院，北京100191；2.虛擬現(xiàn)實技術與系統(tǒng)國家重點實驗室，北京100191)

摘要:復雜的著陸工況對月球著陸器緩沖機構的工作可靠度影響很大?；诘湫偷乃耐仁皆虑蛑懫鹘⒃旅嬷戇^程動力學仿真模型，構造了二階響應面等效分析模型進行敏感度分析，分析了著陸工況各組成因子對著陸器緩沖機構緩沖性能的影響，發(fā)現(xiàn)對緩沖性能影響顯著的工況因子有足墊與月面摩擦系數(shù)、豎直速度、沿z軸方向水平速度、等效月面坡度及繞y軸轉(zhuǎn)角。通過蒙特卡洛模擬研究了工況因子取值對緩沖性能的影響，并通過貝葉斯公式計算了可控著陸工況因子不同取值時的緩沖可靠度。研究發(fā)現(xiàn)，采用光滑足墊及降低關閉發(fā)動機時著陸器距月面的高度可以提高著陸器的著陸緩沖可靠度。

關鍵詞:腿式著陸器；著陸緩沖性能；著陸緩沖機構；著陸工況；敏感度分析；可靠度分析

1　引言

著陸器緩沖機構正常完成著陸緩沖吸能是著陸器軟著陸實現(xiàn)的保證，其保證著陸器不發(fā)生傾倒，并維持著陸器的姿態(tài)以完成月面任務。目前，國內(nèi)外學者對月球著陸做了大量的著陸動力學仿真分析研究:文獻[1]介紹了月球著陸器安全著陸可靠度的分析方法，文獻[2-5]著重介紹了剛體著陸器的建模與仿真，文獻[6]介紹了著陸器剛?cè)狁詈夏Ｐ偷慕７椒?。專家們的研究重點往往是著陸器本身機構及著陸穩(wěn)定性分析[7-10]，并分析著陸器在特定構型的可靠度[1，11]。

著陸工況對著陸緩沖具有重要影響。為進一步提高特定構型下月球軟著陸的可靠度，本文重點分析著陸工況因子對著陸器緩沖機構的影響，旨在找出對緩沖穩(wěn)定性具有顯著影響的工況因子，并分析其影響方式，最終實現(xiàn)通過控制可控工況因子取值的方式來提高著陸器月球著陸可靠度。

首先構建四腿式月球軟著陸動力學仿真模型，通過敏感度分析的方法找出影響顯著的因子，進行蒙特卡洛模擬得到隨機工況下著陸緩沖的可靠度，最后通過貝葉斯公式計算特定工況下的著陸可靠度。最后通過對比不同工況下的緩沖可靠度獲得優(yōu)化的控制方案，提高月面著陸可靠度。

2　月球軟著陸動力學仿真建模

2. 1 月球著陸器仿真模型

用于月球軟著陸動力學仿真分析的著陸器模型主要包含著陸器主體結(jié)構與軟著陸機構兩部分，著陸器主體部分在仿真過程中作為負載，作用于軟著陸緩沖機構。本文采用典型的四腿式著陸器進行仿真運算，模型示意如圖1。

圖1　著陸器仿真模型Fig. 1 Simulation model of the lunar lander

著陸器著陸緩沖機構是月球著陸器的關鍵部件，其包含主支柱、輔助支柱及足墊三部分，各支柱內(nèi)部通過蜂窩結(jié)構進行緩沖吸能，實現(xiàn)著陸緩沖。主輔緩沖器結(jié)構如圖2所示。

如圖2中L1，L2，L3，L4表示填充蜂窩的區(qū)域。這里建模所使用的主支柱緩沖器通過L1與L2兩段不同的蜂窩材料實現(xiàn)兩級壓縮緩沖，輔助支柱通過L3與L4兩段不同的蜂窩材料實現(xiàn)拉伸與壓縮的雙向單級緩沖，緩沖器的緩沖力與緩沖行程對應關系如圖3所示。

圖2　主輔支柱結(jié)構Fig. 2 Structure of the primary and secondary strut

圖3中FLi(i =1，2，3，4)表示第i段蜂窩的圧潰力。

在動力學模型中，以圖3所示的規(guī)律得到主輔支柱內(nèi)外筒之間的相互作用力，足墊與月面的接觸簡化為足墊與月面之間的法向碰撞力及切向庫倫摩擦力[1]。

2. 2 著陸工況

月球著陸器在距月面一定高度時開始著陸，其關閉所有發(fā)動機，在月球重力作用下完成軟著陸[1]。當著陸器與月面接觸時，對著陸器動力學特性產(chǎn)生影響的工況參數(shù)有月球重力、著陸場的凹凸地貌、月面地形坡度及此刻著陸器的姿態(tài)與速度(圖4)。其中著陸場地貌(石塊與凹坑情況)與月面坡度這兩個因子用等效月面坡度因子α近似表示。為了更直觀地描述，建立月面剛體坐標系:以著陸器底端幾何中心點為坐標原點，以過原點指向月球重力反方向為x軸正方向，以過原點指向月面下坡方向為z軸正方向，y軸由右手定則確定。所確定工況因子有:著陸器豎直速度(vx)、水平速度(vy，vz)、著陸器繞各軸轉(zhuǎn)角(θx，θy，θz)及各轉(zhuǎn)角對應角速度(ωx，ωy，ωz)。

3　敏感度分析

3. 1 試驗設計

敏感度分析能夠幫助找出對著陸器緩沖性能影響顯著的工況因子，可通過試驗設計的方法來實現(xiàn)。著陸器緩沖機構的緩沖性能需要借助于具體輸出響應來體現(xiàn)。為反映著陸器緩沖過程中緩沖機構最大吸能能力，選取著陸器緩沖機構四個主支柱中最大的緩沖壓縮行程作為輸出響應。

使用優(yōu)化拉丁超立方設計試驗，著陸器主支柱最大壓縮行程(Pmax)能體現(xiàn)著陸器緩沖機構的最大緩沖吸能，故選其為試驗的輸出響應，試驗的輸入因子如表1所示(其取值范圍為極限邊界)。構造二階響應面進行敏感度分析。

表1　試驗設計輸入因子及符號表示Table 1 Input symbols of the DOE

3. 2 敏感度分析

敏感度分析結(jié)果以帕累托圖形式呈現(xiàn)，如圖5所示。

圖5所示為累積貢獻度達到85%的因子的占比。圖示中所列對主支柱最大緩沖行程有影響的工況因子很多，且多為因子的交叉項。獨立對響應Pmax影響顯著的因子有足墊與月面間摩擦系數(shù)(f)、豎直速度(vx)、沿+ z方向水平速度(vz)、等效月面坡度(α)及繞y軸轉(zhuǎn)角(θy)。

圖5　最大壓縮行程對各因子敏感度Fig. 5 Sensitivities of the maximum compression stroke

著陸緩沖過程中能量守恒，如式(1):

式中Ep表示著陸過程勢能變化，Ek表示著陸過程動能變化，Wf表示摩擦力做功及月壤吸能，W0表示緩沖機構蜂窩吸能。式(1)中，著陸器著陸過程中機械能轉(zhuǎn)化為緩沖機構蜂窩壓潰做功及著陸器在滑移過程中摩擦做功，W0與緩沖機構中的主要緩沖元件主支柱的壓縮行程呈正相關關系，當Ek增加、Wf減小時，W0增大，Pmax增大；Ek的大小主要由豎直速度決定；Wf主要受足墊與月面間摩擦系數(shù)影響。一般情況下，先著陸的腿受到的沖擊較其他腿大，先著陸腿主支柱緩沖行程最長。沿月面坡度方向的水平速度vz方向影響到先著陸腿的受沖擊力的大小，若其沿下坡+ z方向(見圖4)，會減少先著陸腿所受沖擊，故其與最大主支柱緩沖行程呈負相關關系。等效月面坡度與繞y軸轉(zhuǎn)角這兩個因子影響先著陸腿與后著陸腿之間的著陸時間間隔，進而對主支柱最大緩沖行程造成影響。

4　緩沖可靠度分析

4. 1 蒙特卡洛模擬

為了說明工況因子對著陸器緩沖性能的影響方式，需要計算各因子不同取值下的緩沖可靠度。蒙特卡洛模擬的方法是計算著陸器緩沖機構的工作可靠度有效方法[1，9]。為了減少計算量，參照本文第三節(jié)敏感度分析的結(jié)果，只選取對著陸器緩沖性能影響大的幾個工況因子作為變量，其它因子作為常量。選取作為變量的工況因子及各因子取值(依實驗及預測)所滿足分布特性如表2所示。

表2　工況因子值分布特性Table 2 Distribution function of the ingredients

根據(jù)工況參數(shù)的分布特性，進行蒙特卡洛隨機抽樣并運行仿真。n次抽樣樣本X的統(tǒng)計量均值方差分別用與S2來表示。則定義統(tǒng)計量Zn如式(2)。

根據(jù)中心極限定理，當抽樣次數(shù)n足夠大時，Zn滿足標準整體分布N(0，1)。給定置信水平1-α后，有式(3)成立:

可求得總體均值μ的置信區(qū)間如式(4):

其中z1-α/2表示標準正態(tài)分布分位點。

為了確保參數(shù)的精度，使得總體均值的置信區(qū)間盡可能短，定義模擬精度如式(5):

當λ小于給定值λ0時，終止蒙特卡洛模擬。

樣本均值在給定1 -α= 0. 99的置信水平下，設定λ0= 0. 01。在運算1500次后達到模擬精度，蒙特卡洛模擬完成，得到蒙特卡洛模擬統(tǒng)計結(jié)果如表3所示，得到分布直方圖如圖6所示。

表3　主支柱最大緩沖行程數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果Table 3 Statistical results of the maximum cushioning stroke in the primary strut

圖6　主支柱最大緩沖行程Fig.6 Maximum cushioning stroke of the primary strut

4. 2 緩沖可靠度分析

對樣本結(jié)果的分布圖進行擬合，得到分布的概率密度函數(shù)。這里用對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)據(jù)進行擬合并采用K-S(Kolmogorov-Smirnov)檢驗方法來對擬合結(jié)果進行檢驗。

對數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如式(6):

擬合參數(shù)均值μ取值為5. 677，方差δ取值為0. 081，經(jīng)K-S檢驗后接受擬合分布假設。

擬合分布的擬合情況如圖7。

得到分布函數(shù)后，主支柱最大緩沖行程在區(qū)間(a，b)的概率可由式(7)所示公式計算得到。

在著陸器緩沖機構構型設計時，考慮到著陸器質(zhì)心高度及任務需要，設計主支柱總緩沖行程為420 mm，考慮到安全裕量，除以安全系數(shù)1. 3[4]，主支柱最大緩沖行程超320 mm時便認為是超緩沖行程，著陸器著陸緩沖失敗。根據(jù)式(7)，設定區(qū)間為(320，+∞)mm，計算得失效概率為13. 2%。

圖7　對數(shù)正態(tài)分布擬合Fig. 7 Fitting of logarithm normal distribution

在所有影響較大的工況因子中，足墊與月面之間摩擦系數(shù)f及著陸器豎直速度vx這兩個因子是可控的。足墊與月面之間摩擦系數(shù)隨足墊的光滑程度在區(qū)間[0. 3，0. 5]之間均勻分布。豎直速度大小由關閉發(fā)動機時著陸器距月面高度而定。

為了體現(xiàn)工況因子不同取值對著陸緩沖性能的影響，將因子f與vx分為取大值與取小值兩種情況:將f取值處于區(qū)間[0. 4，0. 5]內(nèi)記作事件A1，將f取值處于區(qū)間[0. 3，0. 4]內(nèi)記作事件A2，將vx取值(3. 5，+∞)m/ s記作事件B1，將vx取值( -∞，3. 5)m/ s記作事件B2，將著陸器緩沖失敗記為事件C。在1500組樣本中各事件發(fā)生的頻數(shù)與對應概率如4所示。

表4　事件概率統(tǒng)計Table 4 Probability of cases

表4中:P(A1) = P(A2) = P(B1) = P(B2) =0. 5，P(C) =0. 132。

P(A1| C)＞P(A2 | C)，P(B1 | C)＞P(B2 | C)，這驗證了敏感度分析中摩擦系數(shù)與豎直速度對主支柱最大緩沖行程呈正相關影響的結(jié)論。

P((A1∪B1) | C)＞P((A2∪B2) | C)，進一步說明了較大摩擦系數(shù)與較大豎直速度更容易發(fā)生緩沖失效。

根據(jù)式(8)所示貝葉斯公式:

可求得:P(C | A1) = 0. 158，P(C | A2) = 0. 106，P (C|B1) =0. 141，P(C|B2) =0. 123，P(C| (A1∩B2)) =0. 172，P(C|( A2∩B2)) =0. 102。

以上數(shù)據(jù)說明:在足墊與月面間摩擦系數(shù)和豎直速度同時取較小值時，緩沖機構可靠度提高，失效概率由原來的13. 2%降為10. 2%；當這兩個因子同時取較大值時，失效概率則上升為17. 2%。可見，選擇更加光滑的足墊，并在較低的高度關閉著陸器發(fā)動機，可以增強著陸器緩沖機構的安全可靠度。

5　結(jié)論

本文構建了月球著陸器月面軟著陸動力學仿真模型，分析并揭示了復雜工況組成因子對著陸緩沖性能的影響規(guī)律，得到結(jié)論如下:

1)工況因子的交叉項對著陸緩沖性能造成很大影響，獨自對緩沖性能有很大影響的因子有足墊與月面摩擦系數(shù)f、豎直速度vx、沿z軸方向水平速度vz、等效月面坡度α及繞y軸轉(zhuǎn)角θy；

2)采用更加光滑的足墊、降低停止著陸器發(fā)動機時的距月高度，可以提高著陸器緩沖機構的著陸可靠度。

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·信息研究·

Effects of Touchdown Conditions on the Buffering Performance of the Lunar Lander

DING Jianzhong1，WANG Chunjie1，2，WANG Jiajun1，SONG Shunguang1
(1. School of Mechanical Engineering and Automation，Beihang University，Beijing 100191，China；2. State Key Laboratory of Virtual Reality Technology and Systems，Beihang University，Beijiing 100191，China)

Abstract:Complex touch-down conditions have significant effects on the performance of the landing gears in energy absorption. A typical four-legged lunar lander was introduced to build the lunar landing dynamics analysis model and a second order response surface model was introduced to conduct a sensitivity analysis to find out the effects of different landing conditions on the energy-absorption performance. By means of this，high-impact factors such as frictional coefficient，vertical velocity，horizontal velocity along the z axis，equivalent lunar slope angle and rotation angle about the y axis were found. A Monte Carlo simulation was conducted to calculate the landing reliability based on which the reliability analysis with respect to different changeable landing condition values was conducted. It showed that a more smooth footpad and a shorter distant between the lander and the lunar surface could improve the buffering reliability at touchdown.

Key words:legged lunar lander；landing buffering performance；landing gear；touchdown conditions；sensitivity analysis；reliability analysis

作者簡介:丁建中(1991 - )，男，博士研究生，研究方向為多體動力學。E-mail:jianzhongd@ buaa. edu. cn

基金項目:“十二五”國防基礎科研資助項目(C0320110002)

收稿日期:2015-09-01；修回日期:2015-12-25

中圖分類號:V11

文獻標識碼:A

文章編號:1674-5825(2016)01-0132-06