辛鵬飛，榮吉利，楊永泰(.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京0008；.泉州裝備制造研究所，中科院海西研究院，泉州36000)

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基于PSO優(yōu)化算法的空間機械臂振動抑制研究

辛鵬飛1，榮吉利1，楊永泰2
(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京100081；2.泉州裝備制造研究所，中科院海西研究院，泉州362000)

摘要:針對空間柔性機械臂的末端殘余振動抑制問題，提出了一種基于逆運動學(xué)分析和粒子群優(yōu)化算法的柔性機械臂笛卡爾空間軌跡規(guī)劃和振動抑制的新方法。采用自然坐標(biāo)法和絕對節(jié)點坐標(biāo)法分別對柔性關(guān)節(jié)、柔性臂桿進行動力學(xué)建模，最終得到全面考慮柔性特性的柔性機械臂動力學(xué)模型；針對機械臂末端笛卡爾空間“點到點”和“靜止到靜止”的規(guī)劃運動，采用五次多項式函數(shù)對末端軌跡進行離散規(guī)劃，并通過逆運動學(xué)理論分析求解得到含冗余參數(shù)的關(guān)節(jié)空間電機轉(zhuǎn)動軌跡；采用粒子群優(yōu)化算法(PSO)，將滿足機械臂末端振動最小化的軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為待定冗余參數(shù)的優(yōu)化問題，并迭代優(yōu)化求解該參數(shù)；最后以三自由度柔性機械臂開展仿真研究。仿真結(jié)果表明，提出的規(guī)劃方法具有很高的收斂速度，節(jié)約了計算時間；能夠?qū)崿F(xiàn)預(yù)定的機械臂軌跡規(guī)劃；對機械臂末端點的殘余振動能夠進行有效地抑制。

關(guān)鍵詞:柔性機械臂；軌跡規(guī)劃；振動抑制；逆運動學(xué)；粒子群算法

1　引言

空間機械臂具有適應(yīng)微重力、高溫差、高輻射太空環(huán)境的作業(yè)能力，采用空間機械臂協(xié)助或代替航天員完成一些太空作業(yè)工作，如完成釋放、回收衛(wèi)星以及空間站的在軌裝配、維修等任務(wù)，在經(jīng)濟性和安全性方面都具有重要的意義，已成為空間技術(shù)研究領(lǐng)域內(nèi)的一個重要的研究方向[1]?？臻g機械臂具有輕質(zhì)、結(jié)構(gòu)尺寸大等特點，其關(guān)節(jié)在跟隨電機運動時有不同步的現(xiàn)象，從而導(dǎo)致振動難以消除的問題，不但使位置控制或力控制精度大大降低，激發(fā)系統(tǒng)共振，甚至使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過早的疲勞破壞，影響結(jié)構(gòu)的使用壽命[2]。因此，如何有效提高機械臂系統(tǒng)的定位精度并且同時降低彈性振動，是亟待解決的重要問題之一，該問題的研究得到了國內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。

利用軌跡規(guī)劃優(yōu)化方法來進行振動抑制，是柔性機械臂振動抑制研究領(lǐng)域的熱點。主要是通過對機械臂的軌跡進行優(yōu)化設(shè)計，從而達到振動抑制的目的。Park等[3[4]增加了力矩約束條件，通過在兩連桿機械臂上的仿真證明無論在無約束還是有力矩約束的情況下，選出的最優(yōu)軌跡對殘余振動都有很好的抑制。但該領(lǐng)域的研究多采用歐拉方程或者假設(shè)模態(tài)法進行建模，一直未解決柔性機械臂建模不精確、不能求解大變形大位移的問題。Kojima等[5]研究了雙連桿柔性機械臂的最優(yōu)軌跡規(guī)劃殘余振動抑制的問題，基于遺傳算法(Genetic Algorithms，GAs)進行了優(yōu)化，證實該方法可以顯著地抑制殘余振動。但該模型僅考慮了臂桿柔性的問題，且需要迭代400代才能得到較優(yōu)的振動抑制結(jié)果。徐文福等[6]采用正弦-梯形函數(shù)作為關(guān)節(jié)速度的基函數(shù)，結(jié)合粒子群優(yōu)化算法來優(yōu)化基函數(shù)的系數(shù)，從而優(yōu)化關(guān)節(jié)速度，最終達到殘余振動抑制的目的。但是，在其機械臂模型中，僅考慮了臂桿柔性，并且需要優(yōu)化14個參數(shù)，這將消耗大量的計算時間。

本文采用自然坐標(biāo)法(NCF)和絕對節(jié)點坐標(biāo)法(ANCF)相結(jié)合，對空間柔性機械臂進行動力學(xué)建模，得到其多體系統(tǒng)動力學(xué)方程為指標(biāo)-3的微分代數(shù)方程。結(jié)合廣義α法及稀疏矩陣縮放技術(shù)，實現(xiàn)動力學(xué)方程的高效精確求解。利用五次多項式函數(shù)規(guī)劃機械臂末端軌跡。利用逆運動學(xué)理論，將笛卡爾空間的末端軌跡轉(zhuǎn)換為關(guān)節(jié)空間含自運動參數(shù)的關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角軌跡。結(jié)合粒子群優(yōu)化算法，針對柔性機械臂的空間定位和殘余變形問題，對影響構(gòu)型的自運動系數(shù)進行優(yōu)化選擇，以達到抑制機械臂殘余振動幅值的目的。本文采用絕對節(jié)點坐標(biāo)法建模，以精確描述空間機械臂系統(tǒng)的大變形大位移運動，并以較少的迭代優(yōu)化次數(shù)優(yōu)化關(guān)節(jié)自運動項，在完成軌跡規(guī)劃的同時，較好地抑制機械臂末端殘余振動的產(chǎn)生。仿真結(jié)果驗證了提出的基于逆運動學(xué)理論和粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合的柔性機械臂軌跡規(guī)劃與殘余振動抑制方法的有效性。

2　柔性機械臂建模及動力學(xué)方程描述

根據(jù)不同的變形假設(shè)，出現(xiàn)了多種不同的描述柔性體的方法。在這些方法中，廣泛使用的假設(shè)模態(tài)法和浮動坐標(biāo)法僅僅適用于小變形假設(shè)，不能精確描述柔性體的大變形問題；而近年來發(fā)展起來的絕對節(jié)點坐標(biāo)方法適合用于解決大變形與大位移相耦合的問題。

采用Shabana與Yakoub首次提出的ANCF三維二節(jié)點梁單元[7]對柔性臂桿進行建模，該單元如圖1所示:

圖1　絕對節(jié)點坐標(biāo)法描述的三維二節(jié)點梁單元Fig. 1 Three-dimensional beam element of two nodes described by ANCF

該單元中任意一點P的全局位置矢量如式(1):

其中，S為單元的形函數(shù)，為常值矩陣；e為單元的坐標(biāo)矢量，定義如式(2):

柔性關(guān)節(jié)對系統(tǒng)殘余振動影響顯著[8]，它本質(zhì)上是兩個剛性體之間通過扭簧進行連接，因此屬于多剛體系統(tǒng)動力學(xué)建模的范疇。本文采用自然坐標(biāo)法對剛性體建模，詳細(xì)過程參見文獻[9]。如圖(2)為柔性關(guān)節(jié)示意圖。本文采用Spong 等[10]提出的線性“轉(zhuǎn)子-扭簧系統(tǒng)”模型，電機、關(guān)節(jié)受到的力矩如式(3):

其中，τ為電機受到的驅(qū)動力矩，由電流引起，與電流大小有關(guān)；τm表示電機受到的力矩，τj表示關(guān)節(jié)受到的力矩；θ為柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動角度，即電機與關(guān)節(jié)的相對轉(zhuǎn)動角度；θm為電機實際轉(zhuǎn)動角度；K表示扭轉(zhuǎn)彈簧的非線性扭轉(zhuǎn)剛度，一般通過實驗手段測得。

圖2　自然坐標(biāo)法描述的柔性關(guān)節(jié)Fig. 2 Flexible joint described by NCF

結(jié)合絕對節(jié)點坐標(biāo)法和自然坐標(biāo)法，可以建立全面考慮柔性特性的空間機械臂動力學(xué)模型，且形成的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)動力學(xué)建模方法，具有常數(shù)質(zhì)量矩陣、不存在科氏力和離心力、約束方程簡潔等優(yōu)點。描述受完整約束的機械臂系統(tǒng)動力學(xué)特性的指標(biāo)-3的微分代數(shù)方程組形式如式(4)[11]:

式中:M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣，q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)，C為系統(tǒng)約束方程，Cq為系統(tǒng)約束方程對廣義坐標(biāo)的雅可比矩陣，λ為拉格朗日乘子，Q(q)為系統(tǒng)廣義外力，F(xiàn)(q)為系統(tǒng)彈性力。

本文在求解上述微分代數(shù)方程組時，采用了Arnold等提出的廣義α法迭代策略，這種算法的精度和效率已經(jīng)得到了充分的驗證[12]。

3　機械臂逆運動學(xué)分析

對空間機械臂系統(tǒng)而言，所謂逆運動學(xué)分析，是指已知笛卡爾空間軌跡，反求解關(guān)節(jié)空間軌跡。機械臂末端執(zhí)行器的位置、姿態(tài)規(guī)劃通常以笛卡爾空間內(nèi)機械臂末端軌跡函數(shù)X為對象，而系統(tǒng)本身控制對象為關(guān)節(jié)空間的電機轉(zhuǎn)動角θ，因此對機械臂系統(tǒng)進行逆運動學(xué)分析有助于更好地設(shè)計、控制末端執(zhí)行器的軌跡和姿態(tài)。同時，由于空間機械臂往往具有冗余自由度，使得通過逆運動學(xué)得到的解不唯一，因此可以附加一些約束從而利用優(yōu)化算法尋求滿足符合這些約束條件的解或按一定準(zhǔn)則尋求最優(yōu)解。

末端軌跡速度與關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系如式(5):

其中J為雅可比矩陣。

由最小范數(shù)法[13]，求解式(5)的逆運動學(xué)關(guān)系，得到式(6):

其中，J+是J的偽逆矩陣，J+= JT(JJT)-1；I是n ×n的單位矩陣；∈?n是任意矢量；(I-J+J)是零空間N(J)的映射矩陣，X為笛卡爾空間規(guī)劃軌跡函數(shù)，(I - J+J)是正交于J+的齊次解。這里齊次解的物理意義是，機械臂關(guān)節(jié)產(chǎn)生自運動，而不引起末端的運動。零空間的速度項會對機械臂產(chǎn)生構(gòu)型上的改變，而不會影響末端的速度，因此可作為優(yōu)化項來處理不同的優(yōu)化目標(biāo)。

在本文中，末端軌跡由笛卡爾空間規(guī)劃函數(shù)獲得，而關(guān)節(jié)的控制力矩是在關(guān)節(jié)空間施加。因此利用公式(6)、(7)，可以獲得關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動軌跡函數(shù)，同時冗余參數(shù)的存在使得優(yōu)化其他目標(biāo)函數(shù)成為可能。

4　粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法(Particle Swarm Optimization，PSO)，由Kennedy和Eberhart于1995年首次提出[14]。PSO算法從隨機解出發(fā)，通過迭代尋找最優(yōu)解，通過適應(yīng)度(待優(yōu)化的目標(biāo)值)來評價解的品質(zhì)，具有實現(xiàn)容易、精度高、收斂快等優(yōu)點。

本文采用Clerc等[15-16]提出的收縮因子粒子群算法，與其他粒子群算法相比，具有更快的收斂速度。設(shè)在一個n維的搜索空間中，由m個粒子組成的種群，其中第i個粒子的位置為xi∈?n，其速度為vi∈?n；pbesti∈?n表示第i個粒子的最優(yōu)位置，gbest∈?n表示所有粒子的最優(yōu)位置。粒子將根據(jù)公式(8)改變速度和位置:

其中c1與c2為學(xué)習(xí)因子，r1與r2為[ -1，1]之間的任意值，χ稱為收縮因子，定義為式(9):

其中，φ= c1+ c2，φ＞4。

圖3給出粒子群算法的一般流程:

圖3　粒子群算法流程圖Fig. 3 Flow chart of PSO algorithm

5　數(shù)值算例

以平面三連桿機械臂末端直線運動為例，分析通過優(yōu)化機械臂的自運動項來抑制殘余振動的效果，驗證上文所提出的空間機械臂末端振動抑制方法的有效性。三連桿機械臂構(gòu)型如圖4所示，其臂桿的幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)均相同，如表1所示。

圖4　平面三連桿機械臂構(gòu)型Fig. 4 Configuration of planar three-link manipulator

表1　柔性臂桿幾何與力學(xué)參數(shù)Table 1 Geometry and mechanical parameters of flexible links

工程上常用五次多項式函數(shù)規(guī)劃機械臂末端笛卡爾空間運動軌跡，假設(shè)滿足初始及終止時刻速度、加速度均為零，則軌跡定義如式(10):

其中，tf代表規(guī)劃時間，r0和rf分別代表機械臂末端初始位置和終止位置。

為了體現(xiàn)所提出的方法對于殘余振動抑制的效果，設(shè)計了一個較短時間內(nèi)運動較長距離的情況，以使得殘余振動效果更加明顯，具體描述如下:機械臂末端前1 s內(nèi)由[2. 5339，1. 3623]運動至[1. 9056，1. 8864]，后0. 5 s用于研究殘余振動的情況。

利用式(6)～(7)，并采用差分方法求得關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ，如式(11):

利用PSO算法，以運動結(jié)束后末端殘余振動幅值最小化為優(yōu)化目標(biāo)，通過同時優(yōu)化參數(shù)和

，實現(xiàn)抑制殘余振動的目的。該優(yōu)化模型的數(shù)學(xué)表達式如式(12):

PSO算法基本參數(shù)設(shè)置:粒子個數(shù)設(shè)置為50，迭代次數(shù)為100代。學(xué)習(xí)因子c1與c2取常用值，均為2. 05。

圖5為殘余振動幅值隨迭代次數(shù)的變化情況。

圖5　最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的變化曲線Fig. 5 Time history of the optimal function value

由圖中可以觀察到，指標(biāo)函數(shù)一直在單調(diào)遞減，只要沒有達到最優(yōu)值，尋優(yōu)就一直在繼續(xù)。機械臂末端的振動幅值隨著迭代次數(shù)的增加迅速降低，由最初的15. 6 mm降至6. 9 mm達到當(dāng)前優(yōu)化參數(shù)下的極限，降低了接近一個數(shù)量級，優(yōu)化效果明顯。圖6為采用PSO算法優(yōu)化之后得到的關(guān)節(jié)角度曲線，各個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動軌跡光滑連續(xù)，易于工程實現(xiàn)。

圖6　最終軌跡圖示與最終關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角曲線Fig. 6 Final endpoint trajectory and curve trajectories

6　結(jié)論

本文提出了一種新的將逆運動學(xué)理論與粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合的軌跡規(guī)劃與振動抑制方法。結(jié)合自然坐標(biāo)方法以及絕對節(jié)點坐標(biāo)方法，建立了全面考慮關(guān)節(jié)柔性和臂桿柔性的動力學(xué)模型；基于空間逆運動學(xué)理論將笛卡爾末端規(guī)劃軌跡轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)空間軌跡；采用粒子群優(yōu)化(PSO)優(yōu)化設(shè)計方法，優(yōu)化了求解逆運動學(xué)方程過程中產(chǎn)生的冗余參數(shù)，通過優(yōu)化最大殘余振動這一目標(biāo)函數(shù)，從而達到控制柔性機械臂末端殘余振動的目的，大大減小了機械臂末端的殘余振動。文中給出的仿真實例說明了該方法的有效性。本文提出的方法具有以下優(yōu)點:

1)每個關(guān)節(jié)軌跡需要優(yōu)化的參數(shù)僅有1個，大大減少了待優(yōu)化參數(shù)的數(shù)量，從而能夠極大地提高優(yōu)化效率，節(jié)約計算時間；

2)規(guī)劃設(shè)計的末端軌跡能夠準(zhǔn)確快速地轉(zhuǎn)化為關(guān)節(jié)電機轉(zhuǎn)動軌跡，實現(xiàn)預(yù)定的機械臂軌跡規(guī)劃方案，并且方便具體工程實現(xiàn)；

3)優(yōu)化后的最優(yōu)關(guān)節(jié)軌跡，非常有效地抑制了柔性機械臂末端的殘余振動，殘余振動幅值較未優(yōu)化狀態(tài)減小了一個數(shù)量級，效果顯著。

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Research on Vibration Suppression of Space Manipulator Based on PSO Algorithm

XIN Pengfei1，RONG Jili1，YANG Yongtai2
(1. Department of Mechanics，School of Aerospace Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China；2. Quanzhou Institute of Equipment Manufacturing，Haixi Institutes，Chinese Academy of Sciences，Quanzhou 362000，China)

Abstract:A new method of trajectory planning and vibration suppression for the flexible manipulator based on inverse kinematics analysis and particle swarm optimization (PSO) algorithm in Cartesian space was proposed in this paper. Natural coordinate formulation (NCF) and absolute nodal coordinate formulation (ANCF) were employed to model flexible joints and flexible links respectively based on dynamics analysis. In the point-to-point and rest-to-rest planning movement of the endpoint of space manipulator in the Cartesian space，the fifth-polynomial function was used to discrete the planning trajectory，and then the inverse kinematics was solved which resulted in joint trajectories including redundant parameters in the joint space. Using the PSO algorithm，the problem of minimizing the residual vibration at the endpoint of the space manipulator was converted into an optimization problem of the redundant parameters. The flexible manipulator with three degrees of freedom was modeled to carry out the simulation research. The simulation results showed that the proposed planning method had high convergence speed，thus could save the computing time greatly；Space manipulator could achieve predetermined trajectory planning and effectively suppress the residual vibration of the endpoint.

Key words:flexible manipulator；trajectory planning；vibration suppression；inverse kinematics；particle swarm optimization algorithm

作者簡介:辛鵬飛(1990 - )，男，博士研究生，研究方向為多體系統(tǒng)動力學(xué)。E-mail:pengfeixin@126. com

基金項目:中國航天科技創(chuàng)新基金(CAST20100141107)

收稿日期:2015-09-10；修回日期:2015-12-02

中圖分類號:O313. 7

文獻標(biāo)識碼:A

文章編號:1674-5825(2016)01-0023-06