☉浙江省寧波市北侖中學(xué)毛浙東

不識(shí)圖形真面目只緣身在此圖中

☉浙江省寧波市北侖中學(xué)毛浙東

書(shū)有書(shū)膽，戲有戲核，數(shù)學(xué)老師給學(xué)生講題，好比是說(shuō)書(shū)唱戲，也要牢牢把握題目的核心——題眼.但是很多數(shù)學(xué)問(wèn)題都被“包裝”過(guò)，學(xué)生往往會(huì)被問(wèn)題的表象所迷惑，無(wú)法看清其本來(lái)面目.比如在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，學(xué)生就常有“不識(shí)圖形真面目”的困惑.筆者現(xiàn)以自己的一堂立體幾何復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，來(lái)談?wù)剬ふ翌}眼的常見(jiàn)方法，希望能拋磚引玉.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.在圖形翻折中尋找題眼

圖1

A.存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AC與直線(xiàn)BD垂直B.存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD垂直C.存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)AD與直線(xiàn)BC垂直D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線(xiàn)“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

分析：容易判斷選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的.對(duì)于選項(xiàng)B，我們發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)AB與直線(xiàn)CD是異面直線(xiàn)，要判斷它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)時(shí)是否會(huì)垂直是比較困難的，但注意到直線(xiàn)CD和直線(xiàn)AB是平行的，因此B選項(xiàng)可被翻譯成：“如圖2，把直角△ABD繞著B(niǎo)D翻折成△A′BD，請(qǐng)判斷是否存在某個(gè)位置，使直線(xiàn)A′B與直線(xiàn)AB垂直？”在這個(gè)翻折過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段AB“掃”出了一個(gè)圓錐的側(cè)面，如圖3所示.

圖2

顯然直線(xiàn)AB與直線(xiàn)A′B是這個(gè)圓錐的兩條母線(xiàn)，在直角三角形ABD中，AB=1，AD=，故∠ABD＞45°，因此圓錐的頂角∠ABE＞90°，故在運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)AB與直線(xiàn)AB′是有可能垂直的，故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C，我們發(fā)現(xiàn)由于此時(shí)新圓錐的頂角∠ADE＜90°，如圖4所示，故在運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)AD與直線(xiàn)A′D不可能垂直，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

容易判斷選項(xiàng)D也錯(cuò)誤，因此本題答案為B.

圖4

點(diǎn)評(píng)：此題解法頗多，但筆者認(rèn)為最優(yōu)美，也是最本質(zhì)的解法就是尋找此題的“題眼”.去掉包裝后，我們發(fā)現(xiàn)本題的的翻折問(wèn)題，看清了這一點(diǎn)，一切都變得明朗起來(lái)了.

2.在圖形旋轉(zhuǎn)中尋找題眼

圖6

圖5

分析：本題是個(gè)立體圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，如圖6，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)四面體旋轉(zhuǎn)時(shí)，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度保持不變，射影面積的變化取決于線(xiàn)段C1D1長(zhǎng)度的變化，取線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，于是原題就退化成下題：在直角△CDM中，CM=1，，當(dāng)△CDM繞著點(diǎn)M在垂直于α的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)時(shí)，△CDM在平面α內(nèi)的射影線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是多少？

圖7

如圖7，過(guò)M作直線(xiàn)CD的垂線(xiàn)MN，垂足為N，當(dāng)△CDM旋轉(zhuǎn)時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)：當(dāng)CD與平面α平行時(shí)，射影線(xiàn)長(zhǎng)度達(dá)到最大值影線(xiàn)長(zhǎng)度達(dá)到最小射影線(xiàn)C1D1長(zhǎng)度的取值此原四面體的射影面積為S=

點(diǎn)評(píng)：本題將立體問(wèn)題平面化后，我們找到了這道題的題眼，其實(shí)質(zhì)仍是一個(gè)棱長(zhǎng)分別為1，的直角三角形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，正是這個(gè)關(guān)鍵三角形的變化，決定了整個(gè)四面體在平面α內(nèi)射影面積的變化.

3.在圖形滑動(dòng)中尋找題眼

例3已知直線(xiàn)l⊥α，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，若該正方體在空間符合下列條件：（1）A∈l，（2）C∈α，則O，C1兩點(diǎn)間距離的最大值為_(kāi)______.

圖8

圖9

分析：在正方體運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)A、C兩個(gè)點(diǎn)在滑動(dòng)，它們是兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，而結(jié)論要求O，C1兩點(diǎn)間的距離，因此O和C1也是關(guān)鍵點(diǎn)，而其他的點(diǎn)則無(wú)關(guān)緊要，因此本題可以退化成下題：已知直線(xiàn)l⊥α，在直角△ACC1中，CC1=1，AC=2%■，AC1=3%■，若該直角三角形在空間符合下列條件：（1）A∈l，（2）C∈α，則O，C1兩點(diǎn)間距離的最大值為多少？

如圖11，我們?nèi)【€(xiàn)段AC的中點(diǎn)M，顯然線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度保持不變，始終為AC長(zhǎng)的一半（直角三角形斜邊的中線(xiàn)為斜邊長(zhǎng)的一半），會(huì)變.由勾股定理可算得其長(zhǎng)度為示.回到原題，我們知道所求距離

圖10

圖11

圖12

點(diǎn)評(píng)：本題的題眼是一個(gè)棱長(zhǎng)分別為1，2%■，3%■的直角三角形的滑動(dòng)問(wèn)題，我們之所以一開(kāi)始難以看清其廬山真面目，就是因?yàn)樗厣碛谡襟w中，褪去正方體這件外衣，答案自然就水落石出了.

二、幾點(diǎn)思考

1.三道例題，一個(gè)模型

心理學(xué)研究表明，教師課堂上講的題目跳躍度越大，特別是所講的幾個(gè)例題之間毫無(wú)關(guān)聯(lián)，學(xué)生越容易產(chǎn)生疲勞，學(xué)習(xí)效率就會(huì)降低.反之，教師若給學(xué)生呈現(xiàn)的題目環(huán)環(huán)相扣，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)對(duì)知識(shí)進(jìn)行延伸，學(xué)生聽(tīng)起來(lái)就輕松，并理解得更深刻.眾所周知，知識(shí)在我們大腦的建構(gòu)是系統(tǒng)化的，而不系統(tǒng)的知識(shí)是不牢固的.

在本課中，教師給出了三道例題，系統(tǒng)地把“翻折、旋轉(zhuǎn)、滑動(dòng)”三種題型呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而且巧合的是，三道題殊途同歸，最終都化歸為同一個(gè)模型，即一個(gè)棱長(zhǎng)分別為1，的直角三角形的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.整堂課下來(lái)，學(xué)生聽(tīng)得輕松，偶爾還發(fā)出驚嘆聲，但細(xì)細(xì)回味，又發(fā)現(xiàn)巧合中蘊(yùn)藏著必然，不禁露出會(huì)心一笑.

2.三道例題，一種方法

本堂課教師給學(xué)生呈現(xiàn)了三道不同的題目，但是傳授的方法卻是如出一轍——尋找題眼.在立體幾何問(wèn)題中，題目的關(guān)鍵信息往往會(huì)藏身于復(fù)雜的圖形中，如何將它們提煉出來(lái)就成為解題的關(guān)鍵.其實(shí)，無(wú)論是翻折、旋轉(zhuǎn)還是滑動(dòng)問(wèn)題，尋找題眼最有效的方式就是努力尋找運(yùn)動(dòng)中的關(guān)鍵圖形，從而使問(wèn)題成功獲解.

當(dāng)然解決本課中的三道例題還有其他的思路，但教師沒(méi)有將這些方法選入教學(xué)設(shè)計(jì)中，這樣“罷黜百家、獨(dú)尊儒術(shù)”的做法既是為了突出重點(diǎn)，也是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)更本質(zhì)地看問(wèn)題.我們不排斥學(xué)生在課堂上用其他方法解決這些問(wèn)題，但是教師應(yīng)當(dāng)鮮明地亮出自己的觀(guān)點(diǎn)，因?yàn)槟苡猛环N方法解決不同問(wèn)題的方法，才能叫做通性通法.

3.三道例題，一個(gè)目標(biāo)

張奠宙教授曾說(shuō)：我們應(yīng)啟發(fā)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的真、善、美.教師給學(xué)生傳授正確的知識(shí)，就是求真；教給學(xué)生行之有效的解題的好方法，那是求善；帶著學(xué)生一起欣賞數(shù)學(xué)，則是求美.在本課中，我們看到了數(shù)學(xué)思維的簡(jiǎn)潔美，圖形本身的對(duì)稱(chēng)美，數(shù)學(xué)形式的統(tǒng)一美，表征和內(nèi)涵的和諧美.教師不但自身要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，還有學(xué)會(huì)傳播數(shù)學(xué)美.因?yàn)槲覀冇幸粋€(gè)共同的目標(biāo)，讓我們的學(xué)生也學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)，并快樂(lè)地研究數(shù)學(xué).

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.教育測(cè)量學(xué)［M］.北京：人民教育出版社，2007.

3.張奠宙.數(shù)學(xué)教育隨想集［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2013.

4.毛浙東.談?wù)劯呷龔?fù)習(xí)課例題的選擇——解析一堂圓錐曲線(xiàn)最值的復(fù)習(xí)課［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2009（12）.

5.毛浙東.巧用平面解析法破解立體幾何題［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2011（3）.

6.毛浙東.它山之石，可以攻玉——談數(shù)學(xué)課堂融入故事的藝術(shù)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（6）.G