☉江蘇如皋市第一中學(xué)夏雋

一次類比思想使用的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

☉江蘇如皋市第一中學(xué)夏雋

眾所周知，數(shù)學(xué)思想教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為高層次的意識(shí)形態(tài)的教學(xué)，從基本知識(shí)、基本技能到知識(shí)之間的整合教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)一直呈現(xiàn)一種螺旋式上升的過程，當(dāng)知識(shí)間整合教學(xué)完成之后，教學(xué)又進(jìn)入一種全新的上升狀態(tài)，即思想方法教學(xué).談起數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生從初中開始就接觸過很多，比如：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想等，這些思想方法都很重要，幫助學(xué)生在不同問題間游刃有余、輕松解決.筆者請(qǐng)學(xué)生數(shù)過他們了解的一些數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生可以說出很多思想方法的名稱，除上述之外還有特殊和一般的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、類比思想等，筆者又問這些思想方法間有什么差別？學(xué)生一臉茫然.這說明學(xué)生并沒有真正地體會(huì)數(shù)學(xué)思想的重要作用，他們會(huì)將方x+b僅有一解時(shí)b的范圍用畫圖的方式求出來，就認(rèn)為已經(jīng)掌握了數(shù)形結(jié)合思想.

其實(shí)，思想方法本身也有不同的差別，如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等可以稱之為具備知識(shí)基礎(chǔ)的知識(shí)型思想方法，比如：類比思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等明顯是置身于意識(shí)形態(tài)中的更為高端的思想方法，其往往除具備知識(shí)外，還極大地引領(lǐng)、開拓學(xué)生的思維，這就與課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于思想方法滲透于數(shù)學(xué)教學(xué)的描述不謀而合.從現(xiàn)階段中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來看，類比思想是啟發(fā)學(xué)生思維發(fā)展、延伸，幫助其培養(yǎng)創(chuàng)新性思維較好的方法.筆者以解析幾何中圓與橢圓的相似問題做一番設(shè)計(jì)，從圓的角度出發(fā)，來探索如何利用類比思想解決橢圓問題，以筆者之磚引讀者之玉.

大家知道，圓和橢圓有著很多類似的性質(zhì)，比如：類似的形態(tài)、直線與其位置關(guān)系僅有三種，切線的方程極為相似等，這種相似是偶然的嗎？筆者和大家一起來探索這樣的問題.

設(shè)計(jì)一、類比伸縮的認(rèn)識(shí)

先介紹下縱向伸縮變換：將圓x2+y2=a2在縱向均勻壓縮為原來的倍，其表達(dá)式變?yōu)樾碌那€，即橢圓= 1（a＞b＞0），考慮到焦點(diǎn)在y軸的情況類似，故本文只研究焦點(diǎn)在x軸的情形.記：已知圓上點(diǎn)P（x，y）變換成點(diǎn)P′（x′，y′），縱向變換然這是一個(gè)一一映射（可逆的），且由于點(diǎn)P、P′的橫坐標(biāo)相等，因此PP′的連線必垂直x軸.同理：有橫向伸縮變換.

設(shè)計(jì)二、類比伸縮的性質(zhì)

先給出幾個(gè)類比伸縮的性質(zhì)：

性質(zhì)1：記一個(gè)變換為f：其將一條直線變換為另一條直線，則變換后直線斜率為原來直線斜率的倍.

說明：由此可知，若兩直線原來位置關(guān)系為平行，則變換后兩直線平行性保持不變.

性質(zhì)2：記一個(gè)變換為f：將線段AB分為比值λ的點(diǎn)P變換成分線段A′B′為同一分比的點(diǎn)P′.

說明：這個(gè)容易證明，在伸縮變換中這個(gè)比值是不變的，可以利用定比分點(diǎn)公式證明，此處簡(jiǎn)化.

性質(zhì)3：一個(gè)面積為S的三角形經(jīng)f變換后的三角形面積S′=S.

簡(jiǎn)證：設(shè)△A1A2A3三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ai（xi，yi），則xi=x′i，yi=y′i（i=1，2，3）.

說明：對(duì)于三角形成立的上述性質(zhì)，在多邊形中也能成立，即可以將多邊形分解為多個(gè)三角形，即變換前

設(shè)計(jì)三、類比伸縮的運(yùn)用

圖1

解析：我們可以想象，若本題的背景是圓，則顯然有KAP·KBP=-1，因此可以肯定經(jīng)過了伸縮變換，在橢圓背景定值.如圖1，把縱坐標(biāo)變換為原來橢圓變成半徑為a的圓，由性質(zhì)1得定值.（本性質(zhì)可以在橢圓中進(jìn)行證明，但是運(yùn)算量比通過伸縮變換證明稍顯復(fù)雜一些）

問題2：（2009年安徽高考數(shù)學(xué)理科第20題）點(diǎn)P（x0， y0）在橢圓（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ直線l與直線垂直，O為坐標(biāo)原2點(diǎn)，直線OP的傾斜角為α，直線l2的傾斜角為γ.求證：點(diǎn)P

分析：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)就是證明直線l1是橢圓在點(diǎn)P的切線方程.由過圓x2+y2=a2上一點(diǎn)（x0，y0）的切線方程為x0x+ y0y=a2，可知利用伸縮變換得到直線l1：=1，即為過點(diǎn)P的橢圓切線.

證明：把縱坐標(biāo)變換為原來的a倍，則橢圓變成半b徑為a的圓，則過圓上點(diǎn)Q（X0，Y0）（Q為P的一一對(duì)應(yīng)點(diǎn)）的切線方程為X0x+Y0y=a2，由伸縮變換因此，l1就是橢圓在點(diǎn)P的切線方程，結(jié)論成立.

說明：大家知道，過圓上一點(diǎn)作的切線方程與過圓外一點(diǎn)引兩切線，兩切點(diǎn)連線的方程都是同一結(jié)論，而將背景改變?yōu)闄E圓后，其實(shí)橢圓中也有類似的結(jié)論.對(duì)于橢圓中相關(guān)切線的證明，可以利用類比思想和伸縮變換，這種方式非常有助于學(xué)生從不同的視角看待問題，其并沒有運(yùn)用一味的運(yùn)算方式，而是將圓中現(xiàn)成的結(jié)論通過伸縮變換直接轉(zhuǎn)換成橢圓的切線結(jié)論，是既高效又簡(jiǎn)捷的方式，還充滿了創(chuàng)新的精神.

圖2

記∠AiOAi+1=θi（1≤i≤n-1），式為琴生不等式，因?yàn)閒（θ）= sinθ在（0，π）上為凸函數(shù)，由琴聲不等等號(hào)成立，由性質(zhì)3知，橢圓的內(nèi)接n邊形的面為橢圓內(nèi)接n邊形面積的最大值.

對(duì)圓和橢圓之間的類比問題解決，筆者初步做了一番上述的探索.類比思想在其中起到了很大的作用，很多以前看似較為困難的問題在類比思想的運(yùn)用下，簡(jiǎn)化了很多，也給我們解決橢圓中類似的問題帶來了全新的解決思路.筆者這一課的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)于思維活躍的學(xué)生有著比較好的提高，因此，在教學(xué)中若能有效結(jié)合常規(guī)解決方案和類比思想下的伸縮變換，有助于這些優(yōu)秀學(xué)生更好地開拓新的問題解決視角.

圓錐曲線本身就是一個(gè)統(tǒng)一體，為了方便中學(xué)生學(xué)習(xí)，我們?nèi)藶榈貙⑵浞殖闪藞A、橢圓、雙曲線、拋物線四部分.圓和橢圓有著極為相似的性質(zhì)和特點(diǎn)，筆者建議在學(xué)習(xí)橢圓過程中，恰如其分地引入圓中的一些性質(zhì)、特點(diǎn)，利用圓中問題的解決進(jìn)而伸縮變換解決橢圓中類似的問題，既簡(jiǎn)化了問題解決的過程，又開拓了學(xué)生問題解決的思路，增加了學(xué)生的視野，也有利于學(xué)生創(chuàng)新精神的培養(yǎng).

1.張琴竽.活用伸縮變換巧解橢圓問題［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2009（10）.

2.劉瑞美.對(duì)2009年高考中一道圓錐曲線問題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志（高中版），2009（6）.F