雷小華

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1. 集合A={x | x-10<0}，B={x | x=3n+1， n∈N}，則A∩B=

（ ）

A. ？準 B. {4， 7} C. {4， 7， 10} D. {1， 4， 7}

2. 已知命題p：？堝∈R，sin=；命題q：？坌x∈R，x2+1>x，則下列命題為假命題的是（ ）

A. p∨q B. ？劭 p∨？劭 q C. ？劭 p∨q D. p∨？劭 q

3. 復數(shù)z =（i是虛數(shù)單位，x∈R），則復數(shù)z所對應的點（ ）

A. 位于x軸上方 B. 位于x軸下方

C. 位于y軸左方 D. 位于y軸右方

4. 若函數(shù)f（x）+g（| x |）是R上的偶函數(shù)，則下列結論成立的是（ ）

A. f（x）必為偶函數(shù) B. f（x）必為奇函數(shù)

C. g（x）必為偶函數(shù) D. g（x）必為奇函數(shù)

5. 已知雙曲線C：-=1（a>0，b>0） 的漸近線方程為y=±，則雙曲線C的離心率為（ ）

A. B. 2 C. D. 3

6. 已知x，y滿足約束條件x+y-1≤0，x-y+1≥0，y≥0，記z = ax+y（a>0） 的最大值與最小值分別為M與N，若M+N=0，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）

A. {1} B.[1， 2]

C.[1， 3] D.[1， +∞）

7. 執(zhí)行如圖1所示的程序框圖輸出的結果是（ ）

A. 6 B. 5

C. 4 D. 3

8. 如圖2，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1厘米），圖中粗線畫出的是某三棱錐的正視圖（主視圖）、側視圖（左視圖）、俯視圖，則該幾何體的體積為（ ）

A. B.

C. D.

9. 函數(shù)f（x）=x（x+a）+b（a∈R， b∈R），若方程f（x） = 0有實數(shù)根，則函數(shù)f（x）存在非負零點的概率為（ ）

A. B. C. D.

10. 等差數(shù)列{ an } 中，已知a1=lg2，21a1+a100=11，則a5+a6=（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 以BC為直徑的半圓O與直角三角形ABC共面，如圖3，已知BC=2，AB⊥AC， ∠ACB=30°，點P是半圓上的任一點，設∠BOP=（0≤≤？仔），f（）=（+）·，則函數(shù)f（）的圖像為（ ）

12. 已知n∈N？鄢，直線Ln：y=k（x-n2）（k>0）與拋物線Cn：y2=4n2x相交于An、Bn兩點，記AnBn兩點間的距離為dn，d=，則當n與k均趨向于無窮大時，d的取值范圍為（ ）

A. （，） B. （，） C. （，） D. （，1）

第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答. 第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題：本大題共4小題.每小題5分.

13. 已知{ an } 是公比為的等比數(shù)列，Sn為{ an } 的前n項和. 若S3=57，則a4= .

14. 若函數(shù)f（x） = x3+mx在x = m處的切線與x軸相交于點（2m， 0），則實數(shù)m= .

15. 我國著名數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》一書中有計算“三角垛”（圖4）物體總數(shù)的題目：“三角垛，下廣，一面一十二個，上尖，問：計幾何？答曰：三百六十四個. 術曰：下廣加一乘之，平積，下廣加二乘之，立高方積，如六而一”，意思就是：“有一個三角垛，底層每條邊上有12個物體，上面是尖的（只有1個物體），問：總共有多少個物體？答案是：364個. 計算方法是：用12加1的和乘12，作為底面的面積，再用12加2作為高來乘，得到一個長方體的體積，取它的6分之1，就是這道題目的解.” 推而廣之，如果用表示“三角垛”的層數(shù)，也就是底層每條邊上物體的個數(shù)，用Sn表示物體總數(shù)，就得到“楊輝三角垛公式”：Sn=，用這個公式，就能很方便地算出，“三角垛”中物體的總數(shù).

現(xiàn)有“正方垛”（圖5）自上而下，第1層12個，第2層22個，第3層32個，…，這里仍然用n表示“正方垛”的層數(shù)，用Tn表示物體總數(shù)，則“正方垛公式”Tn=Sn+ . 化簡即為Tn=，即〔12+22+32+…+n2=〕.

16. 已知函數(shù)f（x）=x2+2x+1， x≤0-log2（x+），x>0 若a

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）在？駐ABC中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c. 已知=.

（1）求的值；

（2）若cosB=，？駐ABC周長為（4+），求？駐ABC的面積.

18.（本小題滿分12分）某城市為了解道路交通狀況，工作人員在市內隨機選取處路段，在某段測試的時間內記錄到機動車的通行數(shù)量情況如下（單位：輛）：

147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 164 159 189 168 169

（1）完成頻數(shù)分布表，并作出頻率分布直方圖；

（2）如果機動車通行數(shù)量與道路交通狀態(tài)的關系如圖6，現(xiàn)用分層抽樣的方法從“擁擠”以上的路段中抽取7處給以改造，從中選2處安裝智能交通信號燈，那么阻塞路段被安裝智能交通信號燈的概率是多少？

19.（本小題滿分12分）如圖7，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，BC=2，對角線的交點為O，面ABD繞BD向上旋轉至EBD，使點E在底面的射影為AO的中點F. CG⊥面ABCD，CG=1.

（1）證明：平面EBD⊥平面GBD；

（2）求三棱錐E-BDG的體積.

20.（本小題滿分12分）直線l：y=x+m（m>0），橢圓C：+=1（a>）的長軸長為4，橢圓的左右焦點分別為F1、F2 . 已知直線與橢圓相切，切點為N.

（1）求a、m的值；

（2）設M是直線l上的任意一點，當·取得最小值時，求線段 | MN | 的長.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=e2x-2ax.

（1）若曲線f（x）在某點（x0， f（x0））處的切線恰為x軸，試求a的值；

（2）討論f（x）的零點個數(shù).

請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，注意：只能做所選定的題目. 如果多做，則按所做的第一個題目計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖9，AB是⊙O的直徑，AB=BC，CT、ED分別是⊙O的切線，切點分別為T、D.

（1）求證：DE⊥BC；

（2）若∠BAC=30°，BE=，試求切線CT的長.

23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系. 已知曲線C1：x=-1-t，y=2+t（t為參數(shù)），C2：x=2cos？茲，y=2sin？茲（？茲為參數(shù)）.

（1）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；

（2）若C1上的點P對應的參數(shù)為t=-，Q為C2上的動點，求PQ的中點M到直線L：2ρcos？茲+2ρsin？茲+3=0的距離的最大值.

24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

設函數(shù)f（x）= | x-a |-2 | x-3a |（a>0） .

（1）當a=1時，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的圖像與x軸圍成的三角形面積大于，求a的取值范圍.

2016年普通高等學校招生

全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學模擬試題

參考答案

一、選擇題

1.【答案】選D. 由A={x | x<10}，故A∩B={1，4，7}，故選答案D.

2.【答案】選B. 由p真q真可知：？劭 p∨？劭 q為假命題. 故選答案B.

3.【答案】選D. z =====i，顯然實部大于零，故復數(shù)z所對應的點位于y軸右方，故選答案D.

4.【答案】選A. 由函數(shù)f（x）+g（| x |）是R上的偶函數(shù)可知，f（x）必為偶函數(shù). 而對于g（x），可為偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù).故選答案A.

5.【答案】選C. e2==1+=3，所以e=. 故選答案C.

6.【答案】選D. zmin=-a，若要M+N=0，則需a∈[1， +∞）.故選答案D.

7.【答案】選B. 直到n=5，y=32-25=7>1跳出循環(huán). 故選答案B.

8.【答案】選A. 還原該幾何體，如圖10.

該幾何體的體積為VA-BCD=·SBCD·h=×××7×7=， 故選答案A.

9.【答案】選C. 方程f（x）=0即為x（x+a）+b=0，即x2+ax+b=0，若有實數(shù)解，則必有？駐=a2-4b≥0，即b≤a2. 若函數(shù) f（x）存在非負零點，則需a≤0. 從圖形看出滿足題意的概率為. 故選答案C.

10.【答案】選A. 由條件可得：a100=11-21lg2. 故d==（1-2lg2），所以a5+a6=2a1+9d=2lg2+9×（1-2lg2）=1. 故選答案A.

11.【答案】選A. 以CB所在的直線為x軸，以O為坐標原點建立直角坐標系. 則P（cos， sin），A（， -），由+=2=（-1， ），=cos-， sin+，所以f（）=（-1， ）·cos-， sin+=sin-cos+2=2sin（-）+2（0≤≤？仔）.

故應答案在A、C中，因0≤≤？仔，所以sin（-）∈[-，1]，故f（）∈[1， 4]，故答案選A.

12.【答案】選C. 拋物線Cn：y2=4n2x的焦點坐標為Fn（n2， 0），直線Ln：y=k（x-n2）（k>0）過定點Fn（n2， 0）. 聯(lián)立直線與拋物線組成方程組，y=k（x-n2），y2=4n2x， 消元得：

k2x2-2n2（k2+2）x+k2n4=0，設An（xn ′， yn ′）、Bn（xn ″， yn ″），則：

dn=| An Bn |=xn ′+xn ″+2n2=4n2·. 故d=·，當k趨向于無窮大時，

d=<[1+++…+]=（2-）→，故的范圍為，選C.

d=>[++…+]=（1-）→，故d的范圍為（，） ，選C.

二、填空題

13.【答案】8.由S3==57，得a1=27.故a4=a1·（）3=27×=8.

14.【答案】0或-. f′（x）=3x2+m，故f′（m）=3m2+m，

f（m）=m3+m2，切線方程為：y-（m3+m2）=（3x2+m）（x-m），由于過點（2m，0），故有0-（m3+m2）=（3m2+m）（2m-m），解得：m=0或m=-.

15.【答案】Sn-1（或）.正方垛可化為兩個三角垛，層數(shù)相差一層，故填Sn-1.

16.【答案】（-2，-），由于a+b=-2為定值，且c∈（0，），故a+b+c∈（-2，-）.

三、解答題

17.解析：（1）由正弦定理，設===k

則==…………1分

所以=…………2分

即（cosA-cosC）sinB=（sinC-sinA）cosB，……3分

化簡可得sin（A+B）=sin（B+C），…………………5分

又A+B+C=？仔，

所以sinC=sinA，因此=，即=………………6分

（2）由（1）得：c=a. 由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accosB=a2+2a2-2×a2×=2a2………8分

所以b=a，因a+b+c=4+，故a=，因此b=2.………………10分

由S△BDG=acsinB=××2×=……………12分

18. 解析：（1）

……………………………………………2分

……………6分

（2）“擁擠”以上的路段共處，用分層抽樣的方法抽取7處給以改造，則擁擠、很擁擠、阻塞三路段各被抽出4條、2條、1條.用事件A1、、A2、、A3、A4表示被選中的“擁擠”路段，用事件B1、B2表示被選中的“很擁擠”路段，用事件C表示被選中的“阻塞”路段，則從這7處中選2處安裝智能交通信號燈的基本事件有

（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C）；（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，C）；（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，C）；（A4，B1）、（A4，B2）、（A4，C）；（B1，B2）、（B1，C）；（B2，C）共21種情況…………………………9分

其中符合要求的有（A1，C）、（A2，C）、（A3，C）、（A4，C）、（B1，C）、（B2，C）共6種………10分

所以阻塞路段被安裝智能交通信號燈的概率是：P==…………12分

19. 解析：（1）連接OE、OG，由四邊形ABCD為菱形，故AC⊥BD，BO=OD.由∠ABC=120°，BC=2，故AO=OC=，BO=OD=1…………2分

由點E在底面的射影為AO的中點F，即EF⊥面ABCD，因FO？奐面ABCD，故EF⊥FO，由EO=2FO，故cos∠FOE==，所以∠FOE=60°……………4分

因CG⊥面ABCD，CO？奐面ABCD，故CG⊥OC.在△COG中，tan∠COG===，所以∠COG=30°…………………………………6分

由EF⊥面ABCD，CG⊥面ABCD，故E，F(xiàn)，O，C，G共面，所以∠EOG=180°-60°-30°=90°.

由△CBG？艿△CDG得BG=DG，故OG⊥BD. 根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠EOG即為二面角E-BD-G的平面角.

由∠EOG=90°，平面EBD⊥平面GBD………………8分

（2）由（1）可知：EO平面BDG，OG==2……………………9分

故三棱錐E-BDG的體積VE-BDG=S△BDG·OE=××2×2×=…………12分

20. 解析：（1）由2a=4得a=2………………………1分

聯(lián)立直線與橢圓的方程得y=x+m，+=1，消去y得：3x2+4mx+2m2-4=0…………………………3分

由于直線l與橢圓相切，故△=16m2-12（2m2-4）=0，解得：m=±，因m>0，所以m=……………………6分

（2）橢圓的左右焦點為F1（-，0）、 F2（，0） …………7分

設M（x，x+），則=（--x，-x-），=（-x，-x-），由·=（--x，-x-）·（-x，-x-）=2x2+2x+4=2（x+）2+1.

故當x=-時，·有最小值.此時點M的坐標為M（-，）…………10分

又由方程3x2+4x+12=0可知，N（，）…………………11分

故|MN|==…………………12分

21. 解析：（1）由f ′（x）=2e2x-2a=2（e2x-a）， 故f ′（x0）=2（e2x0-a）.

故切線方程為 y- f（x0）=2（e2x0-a）·（x-x0）， 即y-（e2x0-2ax0）=2（e2x-a）·（x-x0）………………………2分

因為切線恰為x軸，故 e2x0-a=0，e2x0-2ax0=0 ………3分

消去x0，得a（1-lna）=0，解得：a=0或a=e ………4分

當a=0時，f（x）=e2x，函數(shù) f（x）單調遞增，不合，舍去，故a=e……………………5分

（2）①若a=0， 則f （x）=e2x=（e2）x， 函數(shù)f（x）無零點……6分

②若a<0，則f ′（x）>0， 函數(shù)f（x）單調遞增，且f （）=

e-1<1-1=0，故f（0）=1>0僅存在唯一零點………7分

③若a>0， 則f ′（x）=2（ex-）（ex+）， 當x∈（0，lna）時，f ′（x）<0，f（x）單調遞減；當x∈（lna，+∞）時，f ′（x）>0，f （x）單調遞增；故函數(shù)f （x）的最小值為：

g（a）=f（lna）=e2×lna-2a×lna=a-alna（a>0）……8分

下面對f （x）的最小值g（a）作如下分析：

當a→0+時，顯然g（a）=a-alna>0，

由g′（a）=-lna，當a∈（0，1）時，g′（a）>0，g（a）單調遞增；當a∈（1，+∞）時，g′（a）<0，g（a）單調遞減；又g（1）=1-1×ln1=1，g（e）=e-e×lne=0 ………………9分

故當a∈（0，e）時，g（a）>0，函數(shù)f（x）無零點 ……10分

當a=e時，g（a）=0，函數(shù)f（x）有唯一零點 ………11分

當a∈（e，+∞）時，g（a）<0，函數(shù)f（x）有兩個零點.

綜上所述，f（x）的零點個數(shù)為：①當a∈[0，e）時，f（x）無零點；②當a<0或a=e時，f（x）有一個零點；③當a∈（e，+∞）時，f（x）有兩個零點 ……12分

22. 解析：（1）連接OD，則OD⊥DE …………1分

連接BD，則AD⊥BD ……………2分

因為AB=BC，所以AD=DC ………………3分

又AO=OB，所以OD∥BC ………………4分

所以DE⊥BC ………………………5分

（2）若∠BAC=30°，則∠BDE=30° ………6分

由BE=，故DB=1，AD=DC= ………8分

由切割線定理得：CT2=CD·CA=×2=6 ……9分

所以CT= ………………………………………10分

23. 解析：（1）C1：x+y-1=0，過（1，0）、（0，1）兩點的一條直線 …………2分

C2：x2+y2=4，以原點為圓心，2為半徑的圓 ………4分

（2）當t=-時，P（，）. Q（2cos？茲，2sin？茲） ………5分

故M（+cos？茲，+sin？茲）…………………………6分

L為直線2x+2y+3=0 ……………………7分

∴點M到直線L的距離d==|cos？茲+sin？茲+| = |sin（？茲+）+|≤1+ …………9分

即當？茲=2k？仔+，k∈Z時，d取得最大值1+ ……10分

（也可從圓心到直線的距離再加上圓的半徑這一思路入手，同樣可得）

24. 解析：（1）當a=1時，不等式 f（x）>1 化為│x-1│-2│x-3│>1，

當x≤1時，不等式化為x>6，無解；

當18，解得

當x>3時，不等式化為x<4，解得3

所以f（x）>1的解集{x│

（2）由題意可得：f（x）=x-5a，x≤03x-7a，a3a………7分

所以函數(shù)f（x）的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A（， 0）， B（0， 2a）， C（5a， 0），三角形的面積為 |5a-|·2a= ……9分

因為三角形的面積大于，故a的取值范圍為a>1

…………………………10分

責任編輯 徐國堅