趙紅婷

前段時(shí)間，筆者有幸聆聽(tīng)蔡宏圣老師執(zhí)教蘇教版五下“認(rèn)識(shí)方程”一課。蔡老師指出：“方程的定義不等于方程?！蹦敲?，對(duì)方程而言，定義是最重要的嗎？比定義更重要的是什么？是對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)，還是對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感悟？筆者思考教師不能僅僅滿足于讓學(xué)生根據(jù)方程外在形式定義去辨別方程，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從更深層次認(rèn)識(shí)方程。

一、尋找感覺(jué)：用數(shù)學(xué)的眼光去觀察

有時(shí)，學(xué)生知道某一概念，卻未必真的對(duì)其有感覺(jué)。而學(xué)生一旦對(duì)所學(xué)概念有了感覺(jué)，認(rèn)知水平就會(huì)達(dá)到較高層次。蔡老師認(rèn)為，對(duì)于“先學(xué)后教”的課，教師需要有這樣的警惕：學(xué)生貌似懂了，可能只是淺層次的懂，未必真正理解概念含義。整節(jié)課，他始終鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察、審視，尋找對(duì)方程的獨(dú)特感覺(jué)。

【教學(xué)片段1】

師：什么是方程？

生：含有未知數(shù)的等式是方程。（教師板書(shū)）

師：怎樣的等式是方程，你能舉個(gè)例子嗎？

生：x+50=200，2x=200。

師：判斷是否是方程，要抓住什么？

生：要看是不是有未知數(shù)，是不是等式。

師：一年級(jí)學(xué)過(guò)這樣的算式（ ）×3=12，這個(gè)是方程嗎？理由是什么？

生：是的，理由是它有未知數(shù)，而且還是等式。

師：怪不得你們都懂了，原來(lái)你們一年級(jí)就接觸了！

師：請(qǐng)看，y×4=8是方程嗎？

生：是方程。

師：再看，x×3>50是方程嗎？

生：不是方程，因?yàn)樗皇堑仁健?/p>

【賞析】對(duì)于方程，學(xué)生會(huì)有怎樣的感覺(jué)？顯然，對(duì)數(shù)學(xué)的感覺(jué)主要基于經(jīng)驗(yàn)。關(guān)于方程，學(xué)生并非一張白紙，他們有朦朧的感覺(jué)，教學(xué)的目的在于激發(fā)和提升這種感覺(jué)和體驗(yàn)。蔡老師的處理可謂與眾不同。課伊始，他就單刀直入，讓學(xué)生試著說(shuō)出方程概念。學(xué)生正確表述后，蔡老師再讓學(xué)生舉出方程的例子。蔡老師還令學(xué)生說(shuō)出判斷方程的依據(jù)。然后蔡老師呈現(xiàn)了一年級(jí)填括號(hào)的例子，以及一些含有未知數(shù)的式子，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去觀察和判斷。豐富的例子，豐厚了學(xué)生對(duì)方程的體驗(yàn)。

二、簡(jiǎn)化形式：用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去記錄

抽象、去情境是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。從某種意義上說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是一個(gè)不斷追求簡(jiǎn)潔的過(guò)程。方程并非憑空出現(xiàn)，它是一些生活情境的數(shù)學(xué)化表達(dá)。方程是用數(shù)學(xué)的方式，即用數(shù)、符號(hào)等，來(lái)記錄事情。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去記錄生活中相等的事例，凸顯方程的本質(zhì)。

【教學(xué)片段2】

出示天平圖：左邊是一粒橙子和一個(gè)50克的砝碼，右邊是150克的砝碼。

師：你能說(shuō)出這幅天平圖的意思嗎？

生：x+50=150。

師：看起來(lái)是一粒橙子加上50克等于150克，你們把它簡(jiǎn)化了，變成了什么？

生：x+50=150。

教師故意用文字寫出題意：一粒橙子加上50克等于150克。

師：老師寫了那么多文字，跟你們寫的式子，有什么區(qū)別？

生：我們把橙子設(shè)為x。

生：我們用上了等于號(hào)，就是符號(hào)。

師：還用上了什么？

生：還用了數(shù)。

師：你們用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫下來(lái)，就成了方程。方程是怎么來(lái)的？

生：是把我們的語(yǔ)言描述表達(dá)成了數(shù)學(xué)算式。

生：把一些未知數(shù)轉(zhuǎn)化成了字母。

生：它是兩邊相等的。

師：不同的人看周圍世界是不一樣的，用數(shù)學(xué)的眼光去看，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言記錄下來(lái)，方程就是其中之一。不同年齡可以寫出不同樣子的方程。

【賞析】?jī)H用語(yǔ)言描述，可以把方程問(wèn)題闡述清楚，但邏輯上容易出現(xiàn)混淆，而用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)闡述就顯得清晰易懂。史寧中教授指出，教學(xué)方程時(shí)，可先讓學(xué)生用自然語(yǔ)言闡述事情，然后抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)，最后用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程，并解決問(wèn)題。事實(shí)上，強(qiáng)調(diào)用數(shù)學(xué)符號(hào)把要說(shuō)的話（即兩件等價(jià)事情）表達(dá)出來(lái)，這是方程的根本，是學(xué)生必須真正掌握的東西。蔡老師對(duì)此深有體會(huì)，出示情境后，通過(guò)文字描述和符號(hào)描述的對(duì)比，學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)的簡(jiǎn)潔性。對(duì)學(xué)生而言，方程并不陌生，一年級(jí)的填括號(hào)（方格）開(kāi)始，方程就一直在那里，只不過(guò)，隨著抽象思維的發(fā)展，對(duì)方程表述的形式化程度愈高，表達(dá)方式也越有數(shù)學(xué)味。

三、凸顯本質(zhì)：用數(shù)學(xué)的思維去感悟

學(xué)習(xí)方程的意義在于：一是學(xué)習(xí)從生活中的錯(cuò)綜復(fù)雜的事情中，將最本質(zhì)的東西抽象出來(lái)，這個(gè)過(guò)程是非常難的，也很有訓(xùn)練的價(jià)值；二是在運(yùn)算中遵循最佳的途徑，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這種優(yōu)化思想對(duì)于人的思維習(xí)慣的影響是深遠(yuǎn)的。

【教學(xué)片段3】

教師出示四個(gè)情境問(wèn)題。

第1題：天平左邊是3粒橘子，右邊是180克砝碼，天平向左傾斜。

第2題：天平左邊是250克砝碼，右邊是一粒橘子和一粒蘋果，天平平衡。

第3題：5個(gè)小杯和1個(gè)容量為300毫升的大杯合起來(lái)一共是800毫升。

第4題：一輛公共汽車上，原有乘客50名，中途又有12名乘客上車，現(xiàn)在車上共62名乘客。

師：你能看到方程嗎？

生：題1不是方程，因?yàn)樗?x>180，不是等式。

生：題2是方程，x+y=250。

師：題3沒(méi)天平，能寫成方程嗎？

生：方程是800-300=5x，要找出等量關(guān)系，才能寫出算式。

師：是的，就像題1，沒(méi)有等量關(guān)系，就沒(méi)有等式。要找等量關(guān)系，就是找誰(shuí)和誰(shuí)是相等的。

師：題3還可以寫成怎樣的方程？

生：800-5x=300。

師：含有未知數(shù)就是未知數(shù)與數(shù)一起干活，形成等式，這才是我們要的方程。我們應(yīng)該寫怎樣的方程？

生：應(yīng)該把數(shù)和未知數(shù)寫在一起。

師：不要寫成以前算式的樣子。

師：第4個(gè)問(wèn)題是方程嗎？為什么？

生：不是方程，因?yàn)闆](méi)有未知數(shù)。

師：對(duì)，雖然有相等關(guān)系，但沒(méi)有未知數(shù)，所以不能寫出方程。

出示方程史話《為什么有方程》。

早在三千六百多年前，埃及人就會(huì)用方程來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題了。在我國(guó)古代，大約兩千多年前成書(shū)的《九章算術(shù)》中，就記載了用一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的史料。一直到三百多年前，法國(guó)的數(shù)學(xué)家笛卡爾第一次倡議用x、y、z等字母來(lái)代表未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程。

【賞析】方程闡述了一個(gè)事實(shí)本身，一個(gè)沒(méi)有經(jīng)過(guò)任何加工的事實(shí)本身，方程說(shuō)明兩件事情是等價(jià)的，這正體現(xiàn)了建模思想。認(rèn)識(shí)方程，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)量關(guān)系，體會(huì)方程的高度概括性和抽象性。就如4x=400這個(gè)方程可以記錄的事件很多，但這些不同的事件卻都可以用同一個(gè)方程來(lái)表示，正是因?yàn)椴徽撌悄姆N事件，它們本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系是相同的。教師為學(xué)生打開(kāi)了代數(shù)這一新視野，在代數(shù)世界里，未知數(shù)獲得了與已知數(shù)一樣的地位，可以平等地參與運(yùn)算。這是方程的基本特質(zhì)，也是學(xué)習(xí)方程的價(jià)值所在。

比定義更重要的是對(duì)數(shù)學(xué)的理解和感悟，是數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用和強(qiáng)化。學(xué)會(huì)抽象和概括，摒棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的外在屬性，只關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性，增強(qiáng)做事的運(yùn)籌和邏輯的條理，這種數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，這一數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成，對(duì)學(xué)生成為一個(gè)合格公民、適應(yīng)日常生活以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，都是至關(guān)重要的。

（作者單位：江蘇省張家港市泗港小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）