周而計(jì)

等號(hào)是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用、最基本的一種符號(hào)，從四則運(yùn)算中“遞等式”到解決問(wèn)題中“尋找等量關(guān)系”，小學(xué)數(shù)學(xué)教育幾乎是“等號(hào)教育”。

長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)等號(hào)教育“不對(duì)稱”的忽視，影響了學(xué)生正確地使用等號(hào)和對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解。所謂“不對(duì)稱”，狹義上是指從認(rèn)識(shí)、理解、使用等實(shí)踐過(guò)程上反思，存在著與目的、目標(biāo)等思想理論或?qū)W術(shù)中不相符合或匹配的現(xiàn)象。等號(hào)教育的不對(duì)稱性可從三個(gè)方面來(lái)進(jìn)行探究。

一、查閱教材：“點(diǎn)”上編排，并非“點(diǎn)到為止”

小學(xué)階段的等號(hào)教育主要集中在“對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)和使用”上，主要采取分散教學(xué)教材編排，滲透在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，尤其是在“數(shù)與運(yùn)算”領(lǐng)域，“相等”或獲得“相等”是最基本、最主要的數(shù)學(xué)意識(shí)和能力。

與等號(hào)的重要性不相稱的是，其在教材安排上的蜻蜓點(diǎn)水。等號(hào)作為單一的知識(shí)點(diǎn)安排在教材展開之始或變化之際，即在等號(hào)使用意義變化和對(duì)“數(shù)與運(yùn)算”不斷深化的需要時(shí)。它一般經(jīng)歷了這幾個(gè)階段：第一階段，等號(hào)是求精確值的需要。這一階段的教學(xué)任務(wù)主要安排在低年段，借助簡(jiǎn)單具體的生活情境，在比較數(shù)的大小中引出“相等”的概念時(shí)用“=”（單指符號(hào)）。等號(hào)教育最早出現(xiàn)在幼兒教育的中班教材中，重點(diǎn)是在簡(jiǎn)單數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上判斷“相等與不相等”；至一年級(jí)時(shí)，又將“≠”分解成“>”“<”兩種情況，在比較中抽象“=”；二年級(jí)估算的引入，尤其是“估商”，強(qiáng)化了等號(hào)對(duì)求精確值的意義。第二階段，等號(hào)是解決問(wèn)題的需要。這一階段的教學(xué)任務(wù)主要安排在中年段，借助具體的數(shù)學(xué)情境，在解決問(wèn)題時(shí)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（要求綜合列式），通過(guò)遞等式運(yùn)算過(guò)程，來(lái)反映解決問(wèn)題時(shí)運(yùn)算法則和定律等數(shù)學(xué)知識(shí)與技能使用的合理與合情時(shí)使用“=”。這時(shí)，對(duì)等號(hào)“相等”的理解強(qiáng)化了其可傳遞特征；尤其在簡(jiǎn)便計(jì)算或解法多樣化中，等號(hào)的可逆性中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)優(yōu)化思想等。第三階段，等號(hào)是邏輯抽象思維訓(xùn)練的需要。這一階段的教學(xué)任務(wù)主要安排在高年段，借助抽象的數(shù)學(xué)情境（字母表示數(shù)、數(shù)量或數(shù)學(xué)關(guān)系），引入方程概念，豐富學(xué)生解決問(wèn)題的方法和思維方式后，等號(hào)的內(nèi)涵得以豐富，并在具體情境中探究“不變”或相等條件下執(zhí)行“等價(jià)代換和等量平衡”的法則（如等式性質(zhì)）下發(fā)生的。新教材在五年級(jí)上冊(cè)安排了“等式的性質(zhì)”，為解方程尋求依據(jù)，突出等號(hào)兩邊的地位相等和等量關(guān)系。

等號(hào)常被片面理解為：沒(méi)有較復(fù)雜的抽象意義，卻有寓意鮮明的形象特征。對(duì)“=”的認(rèn)識(shí)，也大多停留在“只需‘略識(shí)便可‘無(wú)憂使用”的粗淺層面上。這造成教師在處理教材時(shí)，把等號(hào)教育作為簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)一帶而過(guò)。但等號(hào)教育卻始終與數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)思想的不斷深入和提高糾纏在一起。

二、調(diào)查學(xué)生：“廣”而用之，并非“運(yùn)之掌上”

1. 等號(hào)不應(yīng)是“得到”。

在算術(shù)四則運(yùn)算的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生認(rèn)為“=”只是作為表示“得到”的連接性符號(hào)，即將每一步“得到”的結(jié)果用“=”連接起來(lái)。而對(duì)“=”所蘊(yùn)含著恒等可逆的觀念，隨年齡和學(xué)識(shí)的增加呈弱化的傾向，表現(xiàn)在學(xué)生逐步對(duì)計(jì)算或解決問(wèn)題過(guò)程的反思、計(jì)算結(jié)果精確度和合理合情的要求失去了主動(dòng)性和耐心。

2. 等號(hào)不只是“相等”。

等號(hào)表示“相等”，一般包含三層含義：①等號(hào)表示數(shù)學(xué)運(yùn)算中計(jì)算結(jié)果相等；②等號(hào)表示方程兩邊數(shù)量關(guān)系相等；③等號(hào)表示等式兩邊的地位是一樣的。作為精確性運(yùn)算或抽象的要求，“=”是抽象性數(shù)字游戲和邏輯性思維過(guò)程的理性思考的基礎(chǔ)，且在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里（至少在小學(xué)階段）處于“不變”狀態(tài)，使學(xué)生對(duì)等號(hào)具有“相等”的多層含義失去活躍的理性思考。

3. 等號(hào)不只是“理性”符號(hào)。

等號(hào)是一種關(guān)系符號(hào)，在抽象性的數(shù)學(xué)環(huán)境中，具有強(qiáng)烈的“理性”特征。在解決問(wèn)題并利用等量關(guān)系和等價(jià)代換來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模等抽象性數(shù)學(xué)思考時(shí)，“=”所表示的“抽象結(jié)果”的生活味和現(xiàn)實(shí)意義往往被忽視，合情性反思常讓位于合理性學(xué)習(xí)。這是數(shù)學(xué)高于生活的“理性”陷阱。

對(duì)學(xué)生而言，使用“=”，如同運(yùn)之掌上，習(xí)慣于其形式，而忘了其內(nèi)涵。等號(hào)至少是“思維體操”的口哨，命令其進(jìn)行準(zhǔn)確的理性思考，從而獲得豐富的感性體驗(yàn)。

三、反思教學(xué)：“深”而究之，并非“無(wú)所事事”

等號(hào)是抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)，等號(hào)教育的本質(zhì)特征是理性思考?！?”絕不應(yīng)在表示運(yùn)算結(jié)果時(shí)“隨意”使用。不對(duì)稱特征下的等號(hào)教育不再簡(jiǎn)單，應(yīng)講究策略，突出理性思考價(jià)值，豐富感性積累，規(guī)范使用習(xí)慣。

1. 符號(hào)的意義在于養(yǎng)成一種習(xí)慣。

在“數(shù)與運(yùn)算”領(lǐng)域，充分發(fā)揮等號(hào)的可逆性和可傳遞性特征。在計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生必須養(yǎng)成在運(yùn)算法則、定理，等式性質(zhì)下進(jìn)行每一步可逆和可傳遞的精確運(yùn)算或推理的良好習(xí)慣。計(jì)算不但要“快、準(zhǔn)”，更要培養(yǎng)學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中的計(jì)算自信。而計(jì)算自信只有在“知其所以然”的前提下才能形成。在實(shí)際計(jì)算中，可將相關(guān)的法則和定理進(jìn)行數(shù)碼化（編號(hào)），便于操作（標(biāo)注在每一步后面）。這種數(shù)學(xué)書面表達(dá)習(xí)慣與初中的幾何證明過(guò)程是一致的。也可進(jìn)行逆運(yùn)算或驗(yàn)算，即將“答案”倒推向“算式”的方程思維式練習(xí)。

2. 符號(hào)的生命源于引發(fā)思考。

在“數(shù)與形”的領(lǐng)域，充分利用“形”的直觀來(lái)表現(xiàn)“數(shù)”的抽象，溝通有限與無(wú)限，生活與數(shù)學(xué)，小學(xué)與初中的知識(shí)銜接等聯(lián)系。如用分?jǐn)?shù)計(jì)算結(jié)果是“1”，化小數(shù)計(jì)算結(jié)果則是“0？郾999……”同一問(wèn)題用兩種不同方法制造了一個(gè)“美麗錯(cuò)誤”，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)好奇和理性思考。數(shù)學(xué)總是在“美麗錯(cuò)誤”中不斷思索、前進(jìn)。

3. 符號(hào)的感覺高于生活體驗(yàn)。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)之一是使學(xué)生懂得符號(hào)的意義，會(huì)用符號(hào)解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感。在“等價(jià)代換”時(shí)，如“1粒蘋果=2根香蕉”，這個(gè)數(shù)學(xué)模型中數(shù)量關(guān)系對(duì)于不同層次的學(xué)生有著不同的理解：低年級(jí)學(xué)生常理解成不同貨物之間的“等價(jià)”（或公平）交換，隨著學(xué)生生活和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，發(fā)展到從質(zhì)量、體積等方面上的比較與抽象思考。數(shù)學(xué)模型（一般性）與其在生活中的原型（典型性）之間存在著不斷地感性互動(dòng)和理性建構(gòu)。

4. 符號(hào)的使用力求規(guī)范有效。

改變“=”的書寫順序，有利于學(xué)生養(yǎng)成先思考清楚，再準(zhǔn)確表達(dá)的習(xí)慣，這樣也有利于培養(yǎng)正確使用“=”的自信。先弄清依據(jù)，確認(rèn)相等，再寫“=”；或先弄清數(shù)、數(shù)量、數(shù)量關(guān)系在生活或現(xiàn)實(shí)情境中是否符合情理，再寫“=”等。這些都是培養(yǎng)良好使用等號(hào)習(xí)慣較為有效的方法。

同時(shí)，要給學(xué)生減負(fù)，在大量的計(jì)算練習(xí)中，“疲勞”使用下學(xué)生無(wú)暇求真。隨著運(yùn)算或解決問(wèn)題情境的抽象化，學(xué)生并沒(méi)有因此獲得更多的計(jì)算技能和方法，而對(duì)每一步計(jì)算結(jié)果是否準(zhǔn)確越來(lái)越“自信”。等號(hào)“連接”的隨意性和形式性符號(hào)，僅被作為反映學(xué)生被動(dòng)式學(xué)習(xí)結(jié)果。這在高年級(jí)的學(xué)生中，相當(dāng)普遍?？梢?，等號(hào)教育也要精練多思，突出等號(hào)本質(zhì)。

5. 符號(hào)的靈魂系于學(xué)生主體。

傳統(tǒng)的應(yīng)試教育過(guò)于重視結(jié)果及對(duì)結(jié)果（含每一步過(guò)程）熟練應(yīng)用的評(píng)價(jià)，而對(duì)其在計(jì)算中的努力與思考、情感與習(xí)慣等關(guān)注不足。教育者過(guò)于關(guān)注的是作業(yè)的“錯(cuò)與對(duì)”，關(guān)注的是學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，而非學(xué)習(xí)知識(shí)的學(xué)生。于學(xué)生而言，只是盡可能對(duì)所學(xué)知識(shí)狀況“如實(shí)”地反映和描述，忽略了學(xué)習(xí)的自我反思，即不相等不能用“=”連接，由此等號(hào)也逐漸只作為一種描述性符號(hào)使用。

當(dāng)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生利用計(jì)算器、學(xué)優(yōu)生答案等更可靠的資源或工具來(lái)對(duì)符號(hào)的準(zhǔn)確使用進(jìn)行反思時(shí)，教師應(yīng)該給予積極的肯定，更重要的是要積極地引導(dǎo)其對(duì)每一次使用過(guò)程進(jìn)行反思，找出知識(shí)、技能或習(xí)慣上的盲點(diǎn)。學(xué)生要在自評(píng)實(shí)踐中獲得自信。而教師批閱作業(yè)，更應(yīng)關(guān)注對(duì)學(xué)生自評(píng)能力的合理肯定和積極鼓勵(lì)，促進(jìn)學(xué)生自信學(xué)習(xí)（包括學(xué)生對(duì)作業(yè)自評(píng)的能力和信心）習(xí)慣的形成。

（作者單位：福建省平潭縣敖東鎮(zhèn)中心小學(xué)）