周而計

等號是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用、最基本的一種符號，從四則運算中“遞等式”到解決問題中“尋找等量關(guān)系”，小學(xué)數(shù)學(xué)教育幾乎是“等號教育”。

長期以來，對等號教育“不對稱”的忽視，影響了學(xué)生正確地使用等號和對數(shù)學(xué)內(nèi)涵的理解。所謂“不對稱”，狹義上是指從認識、理解、使用等實踐過程上反思，存在著與目的、目標(biāo)等思想理論或?qū)W術(shù)中不相符合或匹配的現(xiàn)象。等號教育的不對稱性可從三個方面來進行探究。

一、查閱教材：“點”上編排，并非“點到為止”

小學(xué)階段的等號教育主要集中在“對等號的認識和使用”上，主要采取分散教學(xué)教材編排，滲透在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，尤其是在“數(shù)與運算”領(lǐng)域，“相等”或獲得“相等”是最基本、最主要的數(shù)學(xué)意識和能力。

與等號的重要性不相稱的是，其在教材安排上的蜻蜓點水。等號作為單一的知識點安排在教材展開之始或變化之際，即在等號使用意義變化和對“數(shù)與運算”不斷深化的需要時。它一般經(jīng)歷了這幾個階段：第一階段，等號是求精確值的需要。這一階段的教學(xué)任務(wù)主要安排在低年段，借助簡單具體的生活情境，在比較數(shù)的大小中引出“相等”的概念時用“=”（單指符號）。等號教育最早出現(xiàn)在幼兒教育的中班教材中，重點是在簡單數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上判斷“相等與不相等”；至一年級時，又將“≠”分解成“>”“<”兩種情況，在比較中抽象“=”；二年級估算的引入，尤其是“估商”，強化了等號對求精確值的意義。第二階段，等號是解決問題的需要。這一階段的教學(xué)任務(wù)主要安排在中年段，借助具體的數(shù)學(xué)情境，在解決問題時建構(gòu)數(shù)學(xué)模型（要求綜合列式），通過遞等式運算過程，來反映解決問題時運算法則和定律等數(shù)學(xué)知識與技能使用的合理與合情時使用“=”。這時，對等號“相等”的理解強化了其可傳遞特征；尤其在簡便計算或解法多樣化中，等號的可逆性中蘊含著數(shù)學(xué)優(yōu)化思想等。第三階段，等號是邏輯抽象思維訓(xùn)練的需要。這一階段的教學(xué)任務(wù)主要安排在高年段，借助抽象的數(shù)學(xué)情境（字母表示數(shù)、數(shù)量或數(shù)學(xué)關(guān)系），引入方程概念，豐富學(xué)生解決問題的方法和思維方式后，等號的內(nèi)涵得以豐富，并在具體情境中探究“不變”或相等條件下執(zhí)行“等價代換和等量平衡”的法則（如等式性質(zhì)）下發(fā)生的。新教材在五年級上冊安排了“等式的性質(zhì)”，為解方程尋求依據(jù)，突出等號兩邊的地位相等和等量關(guān)系。

等號常被片面理解為：沒有較復(fù)雜的抽象意義，卻有寓意鮮明的形象特征。對“=”的認識，也大多停留在“只需‘略識便可‘無憂使用”的粗淺層面上。這造成教師在處理教材時，把等號教育作為簡單的知識點教學(xué)一帶而過。但等號教育卻始終與數(shù)學(xué)內(nèi)涵、數(shù)學(xué)思想的不斷深入和提高糾纏在一起。

二、調(diào)查學(xué)生：“廣”而用之，并非“運之掌上”

1. 等號不應(yīng)是“得到”。

在算術(shù)四則運算的教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生認為“=”只是作為表示“得到”的連接性符號，即將每一步“得到”的結(jié)果用“=”連接起來。而對“=”所蘊含著恒等可逆的觀念，隨年齡和學(xué)識的增加呈弱化的傾向，表現(xiàn)在學(xué)生逐步對計算或解決問題過程的反思、計算結(jié)果精確度和合理合情的要求失去了主動性和耐心。

2. 等號不只是“相等”。

等號表示“相等”，一般包含三層含義：①等號表示數(shù)學(xué)運算中計算結(jié)果相等；②等號表示方程兩邊數(shù)量關(guān)系相等；③等號表示等式兩邊的地位是一樣的。作為精確性運算或抽象的要求，“=”是抽象性數(shù)字游戲和邏輯性思維過程的理性思考的基礎(chǔ)，且在相當(dāng)長的時間里（至少在小學(xué)階段）處于“不變”狀態(tài)，使學(xué)生對等號具有“相等”的多層含義失去活躍的理性思考。

3. 等號不只是“理性”符號。

等號是一種關(guān)系符號，在抽象性的數(shù)學(xué)環(huán)境中，具有強烈的“理性”特征。在解決問題并利用等量關(guān)系和等價代換來進行數(shù)學(xué)建模等抽象性數(shù)學(xué)思考時，“=”所表示的“抽象結(jié)果”的生活味和現(xiàn)實意義往往被忽視，合情性反思常讓位于合理性學(xué)習(xí)。這是數(shù)學(xué)高于生活的“理性”陷阱。

對學(xué)生而言，使用“=”，如同運之掌上，習(xí)慣于其形式，而忘了其內(nèi)涵。等號至少是“思維體操”的口哨，命令其進行準(zhǔn)確的理性思考，從而獲得豐富的感性體驗。

三、反思教學(xué)：“深”而究之，并非“無所事事”

等號是抽象的數(shù)學(xué)符號，等號教育的本質(zhì)特征是理性思考。“=”絕不應(yīng)在表示運算結(jié)果時“隨意”使用。不對稱特征下的等號教育不再簡單，應(yīng)講究策略，突出理性思考價值，豐富感性積累，規(guī)范使用習(xí)慣。

1. 符號的意義在于養(yǎng)成一種習(xí)慣。

在“數(shù)與運算”領(lǐng)域，充分發(fā)揮等號的可逆性和可傳遞性特征。在計算過程中，學(xué)生必須養(yǎng)成在運算法則、定理，等式性質(zhì)下進行每一步可逆和可傳遞的精確運算或推理的良好習(xí)慣。計算不但要“快、準(zhǔn)”，更要培養(yǎng)學(xué)生在計算過程中的計算自信。而計算自信只有在“知其所以然”的前提下才能形成。在實際計算中，可將相關(guān)的法則和定理進行數(shù)碼化（編號），便于操作（標(biāo)注在每一步后面）。這種數(shù)學(xué)書面表達習(xí)慣與初中的幾何證明過程是一致的。也可進行逆運算或驗算，即將“答案”倒推向“算式”的方程思維式練習(xí)。

2. 符號的生命源于引發(fā)思考。

在“數(shù)與形”的領(lǐng)域，充分利用“形”的直觀來表現(xiàn)“數(shù)”的抽象，溝通有限與無限，生活與數(shù)學(xué)，小學(xué)與初中的知識銜接等聯(lián)系。如用分?jǐn)?shù)計算結(jié)果是“1”，化小數(shù)計算結(jié)果則是“0？郾999……”同一問題用兩種不同方法制造了一個“美麗錯誤”，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)好奇和理性思考。數(shù)學(xué)總是在“美麗錯誤”中不斷思索、前進。

3. 符號的感覺高于生活體驗。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)之一是使學(xué)生懂得符號的意義，會用符號解決實際問題和數(shù)學(xué)本身的問題，發(fā)展學(xué)生的符號感。在“等價代換”時，如“1粒蘋果=2根香蕉”，這個數(shù)學(xué)模型中數(shù)量關(guān)系對于不同層次的學(xué)生有著不同的理解：低年級學(xué)生常理解成不同貨物之間的“等價”（或公平）交換，隨著學(xué)生生活和數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累，發(fā)展到從質(zhì)量、體積等方面上的比較與抽象思考。數(shù)學(xué)模型（一般性）與其在生活中的原型（典型性）之間存在著不斷地感性互動和理性建構(gòu)。

4. 符號的使用力求規(guī)范有效。

改變“=”的書寫順序，有利于學(xué)生養(yǎng)成先思考清楚，再準(zhǔn)確表達的習(xí)慣，這樣也有利于培養(yǎng)正確使用“=”的自信。先弄清依據(jù)，確認相等，再寫“=”；或先弄清數(shù)、數(shù)量、數(shù)量關(guān)系在生活或現(xiàn)實情境中是否符合情理，再寫“=”等。這些都是培養(yǎng)良好使用等號習(xí)慣較為有效的方法。

同時，要給學(xué)生減負，在大量的計算練習(xí)中，“疲勞”使用下學(xué)生無暇求真。隨著運算或解決問題情境的抽象化，學(xué)生并沒有因此獲得更多的計算技能和方法，而對每一步計算結(jié)果是否準(zhǔn)確越來越“自信”。等號“連接”的隨意性和形式性符號，僅被作為反映學(xué)生被動式學(xué)習(xí)結(jié)果。這在高年級的學(xué)生中，相當(dāng)普遍。可見，等號教育也要精練多思，突出等號本質(zhì)。

5. 符號的靈魂系于學(xué)生主體。

傳統(tǒng)的應(yīng)試教育過于重視結(jié)果及對結(jié)果（含每一步過程）熟練應(yīng)用的評價，而對其在計算中的努力與思考、情感與習(xí)慣等關(guān)注不足。教育者過于關(guān)注的是作業(yè)的“錯與對”，關(guān)注的是學(xué)生所學(xué)的知識，而非學(xué)習(xí)知識的學(xué)生。于學(xué)生而言，只是盡可能對所學(xué)知識狀況“如實”地反映和描述，忽略了學(xué)習(xí)的自我反思，即不相等不能用“=”連接，由此等號也逐漸只作為一種描述性符號使用。

當(dāng)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生利用計算器、學(xué)優(yōu)生答案等更可靠的資源或工具來對符號的準(zhǔn)確使用進行反思時，教師應(yīng)該給予積極的肯定，更重要的是要積極地引導(dǎo)其對每一次使用過程進行反思，找出知識、技能或習(xí)慣上的盲點。學(xué)生要在自評實踐中獲得自信。而教師批閱作業(yè)，更應(yīng)關(guān)注對學(xué)生自評能力的合理肯定和積極鼓勵，促進學(xué)生自信學(xué)習(xí)（包括學(xué)生對作業(yè)自評的能力和信心）習(xí)慣的形成。

（作者單位：福建省平潭縣敖東鎮(zhèn)中心小學(xué)）