李曉梅

所謂數(shù)學活動經(jīng)驗，就是在教學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍所形成的認識，數(shù)學活動經(jīng)驗的積累過程是學生主動探索的過程。也就是說，活動經(jīng)驗是在學生的數(shù)學實踐中隨著思維過程而不斷積累的。在“圖形與幾何”領(lǐng)域中，動手實踐是應(yīng)用最廣泛的一種學習方式。本文以“圓的周長”教學為例，對如何引導(dǎo)學生在有效操作中積累數(shù)學活動經(jīng)驗展開探討。

一、在操作中豐富數(shù)學活動經(jīng)驗

在數(shù)學活動過程中，學生需要通過一些外顯的動手操作活動，對學習材料形成直觀認識。動手操作雖然不一定能直接解決問題，但學生能從中獲取抽象素材，并在操作體驗中形成對學習材料的直接經(jīng)驗。這種直接經(jīng)驗往往是他們在具體活動過程中所留下的、具有個體特征的數(shù)學活動經(jīng)驗，一般是學生個人感覺或知覺方面的。在小學數(shù)學學習中，學生從一年級就開始形成并積累一些動手操作方面的數(shù)學活動經(jīng)驗，不斷累積的操作經(jīng)驗有助于他們在新知學習中進行操作，有助于他們進一步豐富數(shù)學活動經(jīng)驗。

教師先創(chuàng)設(shè)一個問題情境：圓桌和菜板都有點開裂，要在它們的邊緣箍上一圈鐵皮。分別需要多長的鐵皮？學生或者遇到過這樣的現(xiàn)實問題，或者能很快想到以前學過的周長知識，從而有效激活學生已有的生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗或測量圓的周長的操作經(jīng)驗，為學生新知探究中的測量操作活動奠定基礎(chǔ)。怎樣求圓的周長呢？有的學生想用卷尺或皮尺直接繞一圈量，有的學生想把圓形物體在直尺上滾一圈后量出長度，有的學生想用線在圓形物體上繞一圈后量線的長度等。教師出示兩個不同的圓形物體（一大一?。瑔枌W生除了上面的這些方法外，還可以怎樣求圓的周長？為了引導(dǎo)學生迅速進行新知探究，教師追問學生圓的大小與什么有關(guān)系？學生很快猜測圓的周長可能與直徑和半徑有關(guān)系。又有怎樣的關(guān)系？教師讓學生取出課前各自準備的圓形物品，分別量出它們的周長和直徑，算出周長和直徑的比值，并把結(jié)果填入下表中，看看有什么發(fā)現(xiàn)。

學生在測量和計算中獲得了對圓的周長和直徑關(guān)系的直觀感受。盡管只是學生個人的認知，是比較原始、膚淺和模糊的，甚至可能是片面的，但這種直接經(jīng)驗不但能豐富學生的操作活動經(jīng)驗，而且是學生形成新經(jīng)驗的重要素材。當然，學生的操作離不開教師的適當引導(dǎo)，其目的是幫助學生初步形成正確、清晰的活動經(jīng)驗。

二、在思考中形成數(shù)學活動經(jīng)驗

小學階段的概念、公式、規(guī)律一般是由合情推理（由特殊到一般的推理）產(chǎn)生的。學生動手操作后，教師要為他們提供自由想象、自由發(fā)揮和自主探索的時間和空間，使數(shù)學學習過程成為他們再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程。學生在“數(shù)學地思考”的過程中，常常能獲得一些歸納、類比或證明等思維活動經(jīng)驗，并且這種經(jīng)驗是對剛剛形成的操作經(jīng)驗的一種提升。因此，教師要引導(dǎo)學生充分經(jīng)歷抽象、歸納的過程，幫助學生積累合情推理的經(jīng)驗。

學生操作后，迫切地想知道自己的發(fā)現(xiàn)對不對，也想了解其他同學的操作結(jié)果和發(fā)現(xiàn)。同學間交流就成了學生最想做的事情。有的學生由于課堂時間有限，只能對一個圓形物體進行測量和計算，觀察結(jié)果可能有失偏頗。交流時，學生先了解各自測量了哪些物品，接著了解相同物品的周長，如1元硬幣，反饋中有7？郾4厘米、7？郾5厘米、7？郾3厘米，直徑分別是2？郾4厘米或2？郾5厘米。然后，開展周長和直徑的比值的討論，保留一位小數(shù)（約等于3？郾1）、保留兩位小數(shù)（有明顯區(qū)別）、保留三位小數(shù)（結(jié)果不準確且麻煩），最后想象結(jié)果保留四位、五位小數(shù)的情況。學生在交流中不但能了解測量的實際價值和局限，而且能加深對測量活動的認識。整體觀察表格時，學生很容易發(fā)現(xiàn)圓的周長總是直徑的3倍多一些。由此引入圓周率可謂水到渠成，用字母π表示圓周率、發(fā)現(xiàn)圓的周長公式也就順理成章了。

學生在獨立測量、計算和填表中，初步感知圓的周長是直徑的3倍多一點，但個例不能表示普遍規(guī)律，這就為他們的合情推理提供了猜測依據(jù)，同學交流使他們在相互交流中共享學習資源，在豐富的例證中體驗圓的周長和直徑之間的關(guān)系是一種普遍現(xiàn)象，最終提煉出圓周率的概念。學生在“感知猜測—交流驗證—抽象概括”中，不僅理解和掌握了圓周率的概念，體驗了規(guī)律抽象與歸納的過程，還豐富了對測量的認識。如此由直觀走向抽象，有助于學生初步形成“個例—規(guī)律”的合情推理經(jīng)驗，有助于學生進一步形成操作（測量）經(jīng)驗。

三、在應(yīng)用中提升數(shù)學活動經(jīng)驗

經(jīng)驗的內(nèi)隱性表明，學生有時很難明白或表達在數(shù)學活動中獲得的經(jīng)驗，如果多次經(jīng)歷類似的數(shù)學活動，就會把前一活動過程中獲得的經(jīng)驗應(yīng)用到新活動中，從而還原前一活動所獲得的經(jīng)驗。引導(dǎo)學生靈活應(yīng)用經(jīng)驗解決數(shù)學實際問題能幫助他們不斷“還原”數(shù)學活動經(jīng)驗，并產(chǎn)生新的數(shù)學活動經(jīng)驗———應(yīng)用的經(jīng)驗。因此，教師要引導(dǎo)學生主動聯(lián)系生活實際、在實際情境中解決問題。

教師先引導(dǎo)學生解決生活中的實際問題：一輛自行車后輪胎的半徑大約是33厘米。這輛自行車后輪轉(zhuǎn)1圈，大約可以走多遠？小明家離學校1千米，后輪轉(zhuǎn)480圈夠嗎？通過此題，學生在應(yīng)用圓的周長公式解決實際問題中加深對圓周率的認識，接著引導(dǎo)學生計算r=3cm、d=6cm和r=5cm時各圓的周長，幫助學生鞏固所學的周長公式，再引導(dǎo)學生根據(jù)圓桌面的周長是4？郾72米求直徑，解決實際問題。布置習題如下：

1. 一個圓形噴水池的半徑是5米，那么它的周長是多少米？

2. 在一個圓形亭子里，小麗沿著直徑從一端走12步到達另一端，每步長大約是55厘米。這個圓的周長大約是多少米？

3. 小紅量得一個古代建筑中大紅圓柱的周長是3？郾77米。這個圓柱的直徑是多少米？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

4. 一只掛鐘的分針長20厘米，經(jīng)過30分鐘后，分針的尖端所走的路程是多少厘米？經(jīng)過45分鐘呢？

5. 一個圓形牛欄的半徑是15米，要用多長的粗鐵絲才能把牛欄圍上3圈？（接頭處忽略不計）如果每隔2米打一根木樁，大約要打多少根木樁？

6. 雜技演員表演獨輪車走鋼絲，車輪的直徑為40厘米，要騎過50米長的鋼絲，車輪大約要轉(zhuǎn)動多少周？

各種生活實際內(nèi)容的交叉安排，不但能促進知識的相互融合，而且能啟發(fā)學生進行不同層次的數(shù)學思考，激發(fā)學生在解決問題的過程中進一步感悟圓周率概念。解決這些不同的實際問題，需要學生靈活應(yīng)用圓的周長公式，從正向運算到逆向運算，從根據(jù)周長計算直徑到根據(jù)周長計算半徑……對多數(shù)學生而言，如果他們具備應(yīng)用意識并順利解決這些問題，就說明他們已經(jīng)形成相關(guān)知識經(jīng)驗。正如朱德全教授所說的，應(yīng)用意識的生成是學生知識經(jīng)驗形成的標志。

四、在反思中內(nèi)化數(shù)學活動經(jīng)驗

引導(dǎo)學生恰當反思是幫助他們積累數(shù)學活動經(jīng)驗的一個重要渠道。教師引導(dǎo)學生反思的過程，就是引導(dǎo)他們對已有和剛形成的數(shù)學活動經(jīng)驗進行“數(shù)學化”的過程，就是幫助他們對既有經(jīng)驗實現(xiàn)篩選、整理、優(yōu)化和提升的過程，也是幫助學生實現(xiàn)經(jīng)驗的改造或重組的過程，有助于學生把數(shù)學活動經(jīng)驗由模糊變清晰、由片面變完善、由錯誤變正確、由零散變結(jié)構(gòu)化。

課末，可由教師引導(dǎo)學生反思，學生在教師引導(dǎo)下有序反思，有助于學生把一個個知識“點”梳理成知識“鏈”，甚至形成一張知識“網(wǎng)”。反思時，學生除了對操作的經(jīng)驗和思考的經(jīng)驗會有所感悟外，他們在“再創(chuàng)造”過程中的成功或失敗體驗也會獲得發(fā)展。學生在積累一些數(shù)學基本活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，他們的感性認識和情緒體驗便同時產(chǎn)生了，其他各種數(shù)學活動經(jīng)驗也能得到平衡發(fā)展。

（作者單位：江蘇省泰興市教師發(fā)展中心）