陶印修

【摘要】本市高職升本復(fù)習(xí)指南高數(shù)教材中第103頁(yè)的第10題，即關(guān)于兩向量夾角的一個(gè)例題展開(kāi)研究。之所以關(guān)注此題是因?yàn)?，不僅該教材對(duì)此題的解法中未發(fā)現(xiàn)（舍去）增解而有問(wèn)題，而且更為嚴(yán)重的問(wèn)題是本市高職升本2007年高數(shù)第15題（簡(jiǎn)寫(xiě)為0715）的答案也多了一個(gè)增解。強(qiáng)調(diào)兩向量夾角的唯一性，解題時(shí)應(yīng)注意細(xì)節(jié)，分析增解產(chǎn)生的原因，介紹不產(chǎn)生增解的解法。最后用完善與完美兩種解法來(lái)正確解答本市高職升本復(fù)習(xí)指南高數(shù)教材中第103頁(yè)的第10題。

【關(guān)鍵詞】本市高職升本高數(shù)0715，兩向量的夾角，舍去增解

一、兩向量夾角的唯一性

1.兩向量的夾角定義

2.兩向量夾角的唯一性

二、數(shù)量積關(guān)于夾角公式

由于余弦在第一象限為正，余弦在第二象限為負(fù)，故通常用數(shù)量積求兩向量的夾角，即求兩向量的夾角公式為：

三、模仿[1]中的解法解0715

1.0715與答案

（精通學(xué)院給出的答案與網(wǎng)上查到的答案均是此答案）。

2.模仿[1]中的解法解0715

下面模仿[1]（本市高職升本復(fù)習(xí)指南高數(shù)教材）中第103頁(yè)的第10題的解法解0715。

四、對(duì)模仿[1]中的解法解0715的存疑研究

1.模仿[1]中的解法解0715應(yīng)注意的細(xì)節(jié)

2.模仿[1]中的解法解0715應(yīng)注意增解的產(chǎn)生

3.模仿[1]中的解法解0715的完善解法

五、完美（創(chuàng)新）解法解0715

下面用不產(chǎn)生增解的方法解0715。由方程（2）乘8加方程（1）乘15得：

六、[1]中第103頁(yè)的第10題的完善、完美解法

1.[1]中第103頁(yè)的第10題

最后需要說(shuō)明，由于向量部分比較抽象，這也許是[1]中第103頁(yè)的第10題的解題過(guò)程忽視了細(xì)節(jié)，導(dǎo)致產(chǎn)生了增解，致使0715的答案也多了一個(gè)增解（精通學(xué)院給出的答案也如此）。