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        范希爾幾何思維水平對幾何教學(xué)的啟示

        2016-05-14 17:11:48陶紅強(qiáng)
        新教師 2016年9期
        關(guān)鍵詞:端點射線線段

        陶紅強(qiáng)

        關(guān)于學(xué)生幾何概念發(fā)展與學(xué)習(xí)的研究,范希爾的幾何思維水平是有著廣泛影響的。范希爾的幾何思維水平既可用于診斷學(xué)生的幾何思維水平,也可用于教學(xué)活動的設(shè)計。一線教師認(rèn)識和理解范希爾的幾何思維水平,有利于在幾何教學(xué)中組織有效教學(xué)活動,更好地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成。范希爾幾何思維水平分為五個等級,而小學(xué)生只能達(dá)到前三個等級。現(xiàn)結(jié)合前三個等級以“直線、射線和角”的教學(xué)為例,具體說一說范希爾幾何思維水平在幾何教學(xué)中的啟示。

        一、借助直觀,促進(jìn)理解(水平1)

        1. 關(guān)于水平1(直觀化)的解讀。

        處于這一水平的學(xué)生能按照外觀來識別、操作一些幾何圖形,學(xué)生的推理是由直覺主宰。也就是說在這個階段的學(xué)生往往只能從外觀上識別圖形,而不關(guān)心也沒有能力清楚地確定圖形的性質(zhì)。

        2. 體現(xiàn)出“直觀性”的心理特點。

        小學(xué)生的思維是以具體性和形象性為主的,所以對一些直觀的圖形和概念比較容易理解。對于那些比較抽象的幾何概念,理解存在一定困難,需要借助直觀的手段來理解。

        3. 對教學(xué)的啟示。

        在“直線、射線和角”的教學(xué)中,首先出示一組線,讓學(xué)生對其分類。此時通過對外觀的觀察可以按照直和曲的標(biāo)準(zhǔn)將其分類。通過這樣的標(biāo)準(zhǔn)分類,有利于學(xué)生從整體上感知射線、直線和線段的共同本質(zhì)特征——直,為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三線間的聯(lián)系做好鋪墊。盡管這樣的分類僅僅是從外觀上進(jìn)行的,而不是根據(jù)圖形的性質(zhì)來區(qū)分的,但這樣的處理卻把學(xué)生的思維由直觀引向圖形的性質(zhì)特征,以便更好地從直觀化水平向描述水平過渡。

        另外,關(guān)于射線、直線的認(rèn)識,也是需要聯(lián)系生活中熟悉的事物。例如在學(xué)習(xí)射線時,可借助課件向?qū)W生展示射向天空的光線。讓學(xué)生說一說這條射向天空的光線有什么特點。在學(xué)習(xí)直線時,則可展示孫悟空的金箍棒,然后動態(tài)展示金箍棒一直向兩端延長的動畫,并讓學(xué)生想象這樣一直延長下去的金箍棒會具有怎樣的特點。這種直觀化的手段,有利于學(xué)生整體感知光線(金箍棒)的特點及其構(gòu)成要素(端點和線)。盡管這種認(rèn)識還是基于經(jīng)驗性的,但在理解幾何概念及其發(fā)展空間觀念時卻起著重要作用。這里還涉及一個問題,那就是數(shù)學(xué)概念的心理表征問題。鄭毓信教授認(rèn)為:在大多數(shù)情況下,數(shù)學(xué)概念在人腦中的心理表征都不是相應(yīng)的嚴(yán)格定義,而是一種由多種成分組成的復(fù)合物(這就是所謂的概念意象),包括相應(yīng)的心智圖像、對其性質(zhì)及相關(guān)過程的記憶,以及具體的例子等。就幾何概念而言,其概念意象往往就包含有對其某個特例(或原型)的感性記憶。由此可以看出,通過直觀手段向?qū)W生展示生活原型或特例,在幾何概念的學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。過了很多年以后,學(xué)生也許早已忘記射線和直線的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義,但一直向兩端延長的金箍棒等數(shù)學(xué)情景畫面則可能牢牢地印在學(xué)生的頭腦中,而這個情景足以使其理解直線的定義和特征。

        二、在活動中探索圖形性質(zhì)(水平2)

        1. 關(guān)于水平2(描述、分析)的解讀。

        處在這一階段的學(xué)生能通過圖形的性質(zhì)來識別圖形,并能確定圖形的特征,卻看不出兩類圖形之間的關(guān)系。也就是說,在這個階段的學(xué)生,能通過觀察、測量、搭建等活動,經(jīng)驗性地建立圖形的性質(zhì),并用日常生活的經(jīng)驗用語將這些性質(zhì)描述出來。

        2. 體現(xiàn)出“偏重于明顯要素”和“描述性”等心理特點。

        圖形是由一些要素組成的,學(xué)生在認(rèn)識幾何圖形時,對于幾何圖形的各組成要素在感知時是有選擇性的。對于比較明顯的、突出的要素感知起來比較容易,反之則感知困難。“描述性”主要體現(xiàn)在學(xué)生交流時,一般使用自己的日常語言,而不是使用書上的那種標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言。

        3. 對教學(xué)的啟示。

        幾何圖形的學(xué)習(xí),一個非常重要的方面就是對圖形特征的學(xué)習(xí)。像線段特征的認(rèn)識、射線特征的認(rèn)識、直線特征的認(rèn)識,即屬于這個水平層次的學(xué)習(xí)。學(xué)生通過相關(guān)特征的學(xué)習(xí),能將圖形的性質(zhì)與一類圖形建立聯(lián)系,但不能在不同類圖形之間建立聯(lián)系。例如,學(xué)生在學(xué)習(xí)了射線的特征后,能根據(jù)射線的特征辨別某條線是不是屬于射線,但此時還不能對線段、射線和直線的關(guān)系與區(qū)別做出認(rèn)識。在具體教學(xué)中,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察光線、金箍棒等環(huán)節(jié)后,可以讓學(xué)生嘗試著動手將這樣的線畫出來。這里要說明的是,學(xué)生在畫的過程中必然伴隨著一個思考的過程,可以使頭腦中零散的、模糊的想法變得有關(guān)聯(lián)、清晰起來,從而加深對圖形性質(zhì)的理解。

        學(xué)生在探索圖形性質(zhì)時,具有偏向于明顯要素,而容易忽略隱含要素這一心理特點。具體表現(xiàn)在探索線段時,容易感知“兩個端點”與“直的”兩個要素,而容易忽略線段的“有限長”這一隱含要素。同樣,對于直線、射線的學(xué)習(xí),學(xué)生容易感知“有無端點”“直”等要素,對于“向一端無限延長”和“向兩端無限延長”這些要素的感知存在困難。針對這種心理特點,我們在教學(xué)時應(yīng)突出“有限長”“無限長”這一重點。為達(dá)成這一目的,對于線段可以讓學(xué)生開展畫一畫、量一量、說一說、比一比等活動,在活動和交流中體會線段的“有限長”。在認(rèn)識射線、直線的“無限長”時,可充分利用學(xué)生的生成資源,就如有的學(xué)生在畫射線(直線)時,畫得很長,一直畫到本子的邊緣。這時教師便可問:“這位同學(xué)畫這么長是想要表達(dá)什么呢?”(無限延長)

        另外,處在此水平階段的學(xué)生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念,一般來說,他們尚不能用精確的語言來刻畫數(shù)學(xué)概念。例如,學(xué)生在描述光線時,會說“一直射向天空,射得很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)”,用這種生活語言來描述射線的無限長這一特點。對于這種情況,教師首先要允許并鼓勵學(xué)生用自己的語言描述,但不能停留在這個水平上,待學(xué)生用自己的語言描述后,教師要說出精確的數(shù)學(xué)語言以便逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握精確的語言。同時這一心理特點也啟示我們,在概念的形成過程中,不能一步到位,也就是說不能直接出示定義概念,而是有一個概念的生成過程,是逐步形成或者說生成的。這一點,也符合皮亞杰的觀點:學(xué)生學(xué)習(xí)幾何,先有具體概念,再有定義概念。所以,我們在出示射線、直線的定義概念時,先出示其具體概念。具體來講,可以先出示射線、直線的圖形,然后指出:像這樣的圖形,在數(shù)學(xué)上,我們把它叫作射線(直線)。用這種具體直觀的描述性語言,學(xué)生容易理解。

        講到出示圖形,這里又不得不面對一個重要的問題:在探索圖形性質(zhì)特征時,我們?yōu)榱俗寣W(xué)生更好地進(jìn)行探索,往往給出的圖形都是標(biāo)準(zhǔn)的圖形或者說標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形。但要指出的是,我們不能只停留于對標(biāo)準(zhǔn)圖形的認(rèn)識,還要適當(dāng)?shù)刈儞Q方位,通過變式圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的比較,來突出標(biāo)準(zhǔn)圖形的本質(zhì)特征,從而正確地掌握圖形的基礎(chǔ)特征。事實上,只有通過各種變式圖形認(rèn)識了圖形的本質(zhì)特征,才能通過圖形的性質(zhì)與一類圖形建立聯(lián)系。

        三、在想象與推理中把握關(guān)系(水平3)

        1. 關(guān)于水平3(抽象、關(guān)聯(lián))的解讀。

        在這個水平階段的學(xué)生已能形成抽象的定義,區(qū)分概念的必要條件和充分條件。處于這階段的學(xué)生能注意到不同圖形性質(zhì)之間的聯(lián)系,并能進(jìn)行一些非正式的推理。

        2. 體現(xiàn)出“偏重于單個要素”的心理特點。

        幾何圖形分為單個要素和要素之間關(guān)系兩個方面。已有相關(guān)研究表明:小學(xué)生對幾何圖形的單個要素觀察起來比較容易,而對要素與要素之間的關(guān)系感知就比較困難。

        3. 對教學(xué)的啟示。

        對幾何知識的學(xué)習(xí),除了圖形特征外,圖形關(guān)系的學(xué)習(xí)也是非常重要的內(nèi)容。圖形的關(guān)系具體分為同一圖形各個要素之間的關(guān)系和不同圖形之間的關(guān)系。而同一圖形各個要素之間的關(guān)系往往反映了圖形的本質(zhì)特征;圖形與圖形之間的關(guān)系有利于學(xué)生整體把握幾何知識,形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以,圖形的學(xué)習(xí),應(yīng)針對學(xué)生偏重于單個要素的心理特點,通過引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用想象和推理來掌握關(guān)系。關(guān)于線段的三個要素(兩個端點、直的、有限長),學(xué)生認(rèn)識相對比較容易,而關(guān)于“兩個端點”與“有限長”的關(guān)系卻認(rèn)識不到,需要教師的引導(dǎo)。同樣,射線“只有一個端點”和“只能向一端無限延長”這兩個要素的關(guān)系也不能很好理解;對于直線“無端點”和“可以向兩端無限延長”這兩者之間的關(guān)系理解起來同樣存在困難。而這種關(guān)系恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì),因為正是有端點才使線段不能向兩端無限延長,進(jìn)而是有限長的;同樣,射線只有一個端點,射線才能向無端點的一方無限延長;直線沒有端點才可以向兩端無限延長。這里又引發(fā)我們思考這樣一個問題:在教學(xué)中,怎樣才能突出射線和直線的無限長這一關(guān)鍵特征。前文所講的僅讓學(xué)生來畫一畫是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,還要把學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)的本質(zhì)——端點的作用與能否無限延長。這里就有一個非正式的推理和想象的過程,也就是說可以在想象和推理中來把握各要素之間的關(guān)系。另外,也可以通過線段的有限長(端點的作用)來理解無限長。當(dāng)學(xué)生真正理解了什么是有限長及其表達(dá)方式(兩個端點),也就自然而然理解了無限長及其表達(dá)方式。

        就圖形與圖形之間的關(guān)系來講,本課的三線聯(lián)系也是非常重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)。三線的聯(lián)系是射線和線段都是直線的一部分。通過兩個環(huán)節(jié)可以引導(dǎo)學(xué)生很好地建構(gòu)這一關(guān)系。環(huán)節(jié)1:以線段為基礎(chǔ),讓學(xué)生在線段的基礎(chǔ)上分別變形出射線和直線,進(jìn)而適機(jī)總結(jié)出射線和直線的抽象定義。(把線段的一端無限延長,就得到一條射線;把線段的兩端無限延長,就得到一條直線)環(huán)節(jié)2:讓學(xué)生在直線上畫一條射線和線段,接著動態(tài)演示線段的端點和射線的端點在直線上移動,而線段和射線始終在直線上。通過這兩個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí),學(xué)生能很好地體驗到三線的聯(lián)系。

        (作者單位:江蘇省溧陽市文化小學(xué))

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