陶紅強(qiáng)

關(guān)于學(xué)生幾何概念發(fā)展與學(xué)習(xí)的研究，范希爾的幾何思維水平是有著廣泛影響的。范希爾的幾何思維水平既可用于診斷學(xué)生的幾何思維水平，也可用于教學(xué)活動的設(shè)計。一線教師認(rèn)識和理解范希爾的幾何思維水平，有利于在幾何教學(xué)中組織有效教學(xué)活動，更好地促進(jìn)學(xué)生空間觀念的形成。范希爾幾何思維水平分為五個等級，而小學(xué)生只能達(dá)到前三個等級。現(xiàn)結(jié)合前三個等級以“直線、射線和角”的教學(xué)為例，具體說一說范希爾幾何思維水平在幾何教學(xué)中的啟示。

一、借助直觀，促進(jìn)理解（水平1）

1. 關(guān)于水平1（直觀化）的解讀。

處于這一水平的學(xué)生能按照外觀來識別、操作一些幾何圖形，學(xué)生的推理是由直覺主宰。也就是說在這個階段的學(xué)生往往只能從外觀上識別圖形，而不關(guān)心也沒有能力清楚地確定圖形的性質(zhì)。

2. 體現(xiàn)出“直觀性”的心理特點。

小學(xué)生的思維是以具體性和形象性為主的，所以對一些直觀的圖形和概念比較容易理解。對于那些比較抽象的幾何概念，理解存在一定困難，需要借助直觀的手段來理解。

3. 對教學(xué)的啟示。

在“直線、射線和角”的教學(xué)中，首先出示一組線，讓學(xué)生對其分類。此時通過對外觀的觀察可以按照直和曲的標(biāo)準(zhǔn)將其分類。通過這樣的標(biāo)準(zhǔn)分類，有利于學(xué)生從整體上感知射線、直線和線段的共同本質(zhì)特征——直，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)三線間的聯(lián)系做好鋪墊。盡管這樣的分類僅僅是從外觀上進(jìn)行的，而不是根據(jù)圖形的性質(zhì)來區(qū)分的，但這樣的處理卻把學(xué)生的思維由直觀引向圖形的性質(zhì)特征，以便更好地從直觀化水平向描述水平過渡。

另外，關(guān)于射線、直線的認(rèn)識，也是需要聯(lián)系生活中熟悉的事物。例如在學(xué)習(xí)射線時，可借助課件向?qū)W生展示射向天空的光線。讓學(xué)生說一說這條射向天空的光線有什么特點。在學(xué)習(xí)直線時，則可展示孫悟空的金箍棒，然后動態(tài)展示金箍棒一直向兩端延長的動畫，并讓學(xué)生想象這樣一直延長下去的金箍棒會具有怎樣的特點。這種直觀化的手段，有利于學(xué)生整體感知光線（金箍棒）的特點及其構(gòu)成要素（端點和線）。盡管這種認(rèn)識還是基于經(jīng)驗性的，但在理解幾何概念及其發(fā)展空間觀念時卻起著重要作用。這里還涉及一個問題，那就是數(shù)學(xué)概念的心理表征問題。鄭毓信教授認(rèn)為：在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)概念在人腦中的心理表征都不是相應(yīng)的嚴(yán)格定義，而是一種由多種成分組成的復(fù)合物（這就是所謂的概念意象），包括相應(yīng)的心智圖像、對其性質(zhì)及相關(guān)過程的記憶，以及具體的例子等。就幾何概念而言，其概念意象往往就包含有對其某個特例（或原型）的感性記憶。由此可以看出，通過直觀手段向?qū)W生展示生活原型或特例，在幾何概念的學(xué)習(xí)中至關(guān)重要。過了很多年以后，學(xué)生也許早已忘記射線和直線的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，但一直向兩端延長的金箍棒等數(shù)學(xué)情景畫面則可能牢牢地印在學(xué)生的頭腦中，而這個情景足以使其理解直線的定義和特征。

二、在活動中探索圖形性質(zhì)（水平2）

1. 關(guān)于水平2（描述、分析）的解讀。

處在這一階段的學(xué)生能通過圖形的性質(zhì)來識別圖形，并能確定圖形的特征，卻看不出兩類圖形之間的關(guān)系。也就是說，在這個階段的學(xué)生，能通過觀察、測量、搭建等活動，經(jīng)驗性地建立圖形的性質(zhì)，并用日常生活的經(jīng)驗用語將這些性質(zhì)描述出來。

2. 體現(xiàn)出“偏重于明顯要素”和“描述性”等心理特點。

圖形是由一些要素組成的，學(xué)生在認(rèn)識幾何圖形時，對于幾何圖形的各組成要素在感知時是有選擇性的。對于比較明顯的、突出的要素感知起來比較容易，反之則感知困難。“描述性”主要體現(xiàn)在學(xué)生交流時，一般使用自己的日常語言，而不是使用書上的那種標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語言。

3. 對教學(xué)的啟示。

幾何圖形的學(xué)習(xí)，一個非常重要的方面就是對圖形特征的學(xué)習(xí)。像線段特征的認(rèn)識、射線特征的認(rèn)識、直線特征的認(rèn)識，即屬于這個水平層次的學(xué)習(xí)。學(xué)生通過相關(guān)特征的學(xué)習(xí)，能將圖形的性質(zhì)與一類圖形建立聯(lián)系，但不能在不同類圖形之間建立聯(lián)系。例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了射線的特征后，能根據(jù)射線的特征辨別某條線是不是屬于射線，但此時還不能對線段、射線和直線的關(guān)系與區(qū)別做出認(rèn)識。在具體教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察光線、金箍棒等環(huán)節(jié)后，可以讓學(xué)生嘗試著動手將這樣的線畫出來。這里要說明的是，學(xué)生在畫的過程中必然伴隨著一個思考的過程，可以使頭腦中零散的、模糊的想法變得有關(guān)聯(lián)、清晰起來，從而加深對圖形性質(zhì)的理解。

學(xué)生在探索圖形性質(zhì)時，具有偏向于明顯要素，而容易忽略隱含要素這一心理特點。具體表現(xiàn)在探索線段時，容易感知“兩個端點”與“直的”兩個要素，而容易忽略線段的“有限長”這一隱含要素。同樣，對于直線、射線的學(xué)習(xí)，學(xué)生容易感知“有無端點”“直”等要素，對于“向一端無限延長”和“向兩端無限延長”這些要素的感知存在困難。針對這種心理特點，我們在教學(xué)時應(yīng)突出“有限長”“無限長”這一重點。為達(dá)成這一目的，對于線段可以讓學(xué)生開展畫一畫、量一量、說一說、比一比等活動，在活動和交流中體會線段的“有限長”。在認(rèn)識射線、直線的“無限長”時，可充分利用學(xué)生的生成資源，就如有的學(xué)生在畫射線（直線）時，畫得很長，一直畫到本子的邊緣。這時教師便可問：“這位同學(xué)畫這么長是想要表達(dá)什么呢？”（無限延長）

另外，處在此水平階段的學(xué)生往往傾向于用日常用語來描述幾何概念，一般來說，他們尚不能用精確的語言來刻畫數(shù)學(xué)概念。例如，學(xué)生在描述光線時，會說“一直射向天空，射得很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)”，用這種生活語言來描述射線的無限長這一特點。對于這種情況，教師首先要允許并鼓勵學(xué)生用自己的語言描述，但不能停留在這個水平上，待學(xué)生用自己的語言描述后，教師要說出精確的數(shù)學(xué)語言以便逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握精確的語言。同時這一心理特點也啟示我們，在概念的形成過程中，不能一步到位，也就是說不能直接出示定義概念，而是有一個概念的生成過程，是逐步形成或者說生成的。這一點，也符合皮亞杰的觀點：學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，先有具體概念，再有定義概念。所以，我們在出示射線、直線的定義概念時，先出示其具體概念。具體來講，可以先出示射線、直線的圖形，然后指出：像這樣的圖形，在數(shù)學(xué)上，我們把它叫作射線（直線）。用這種具體直觀的描述性語言，學(xué)生容易理解。

講到出示圖形，這里又不得不面對一個重要的問題：在探索圖形性質(zhì)特征時，我們?yōu)榱俗寣W(xué)生更好地進(jìn)行探索，往往給出的圖形都是標(biāo)準(zhǔn)的圖形或者說標(biāo)準(zhǔn)位置的圖形。但要指出的是，我們不能只停留于對標(biāo)準(zhǔn)圖形的認(rèn)識，還要適當(dāng)?shù)刈儞Q方位，通過變式圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的比較，來突出標(biāo)準(zhǔn)圖形的本質(zhì)特征，從而正確地掌握圖形的基礎(chǔ)特征。事實上，只有通過各種變式圖形認(rèn)識了圖形的本質(zhì)特征，才能通過圖形的性質(zhì)與一類圖形建立聯(lián)系。

三、在想象與推理中把握關(guān)系（水平3）

1. 關(guān)于水平3（抽象、關(guān)聯(lián)）的解讀。

在這個水平階段的學(xué)生已能形成抽象的定義，區(qū)分概念的必要條件和充分條件。處于這階段的學(xué)生能注意到不同圖形性質(zhì)之間的聯(lián)系，并能進(jìn)行一些非正式的推理。

2. 體現(xiàn)出“偏重于單個要素”的心理特點。

幾何圖形分為單個要素和要素之間關(guān)系兩個方面。已有相關(guān)研究表明：小學(xué)生對幾何圖形的單個要素觀察起來比較容易，而對要素與要素之間的關(guān)系感知就比較困難。

3. 對教學(xué)的啟示。

對幾何知識的學(xué)習(xí)，除了圖形特征外，圖形關(guān)系的學(xué)習(xí)也是非常重要的內(nèi)容。圖形的關(guān)系具體分為同一圖形各個要素之間的關(guān)系和不同圖形之間的關(guān)系。而同一圖形各個要素之間的關(guān)系往往反映了圖形的本質(zhì)特征；圖形與圖形之間的關(guān)系有利于學(xué)生整體把握幾何知識，形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。所以，圖形的學(xué)習(xí)，應(yīng)針對學(xué)生偏重于單個要素的心理特點，通過引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用想象和推理來掌握關(guān)系。關(guān)于線段的三個要素（兩個端點、直的、有限長），學(xué)生認(rèn)識相對比較容易，而關(guān)于“兩個端點”與“有限長”的關(guān)系卻認(rèn)識不到，需要教師的引導(dǎo)。同樣，射線“只有一個端點”和“只能向一端無限延長”這兩個要素的關(guān)系也不能很好理解；對于直線“無端點”和“可以向兩端無限延長”這兩者之間的關(guān)系理解起來同樣存在困難。而這種關(guān)系恰恰體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因為正是有端點才使線段不能向兩端無限延長，進(jìn)而是有限長的；同樣，射線只有一個端點，射線才能向無端點的一方無限延長；直線沒有端點才可以向兩端無限延長。這里又引發(fā)我們思考這樣一個問題：在教學(xué)中，怎樣才能突出射線和直線的無限長這一關(guān)鍵特征。前文所講的僅讓學(xué)生來畫一畫是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要把學(xué)生的思維引向數(shù)學(xué)的本質(zhì)——端點的作用與能否無限延長。這里就有一個非正式的推理和想象的過程，也就是說可以在想象和推理中來把握各要素之間的關(guān)系。另外，也可以通過線段的有限長（端點的作用）來理解無限長。當(dāng)學(xué)生真正理解了什么是有限長及其表達(dá)方式（兩個端點），也就自然而然理解了無限長及其表達(dá)方式。

就圖形與圖形之間的關(guān)系來講，本課的三線聯(lián)系也是非常重要的學(xué)習(xí)目標(biāo)。三線的聯(lián)系是射線和線段都是直線的一部分。通過兩個環(huán)節(jié)可以引導(dǎo)學(xué)生很好地建構(gòu)這一關(guān)系。環(huán)節(jié)1：以線段為基礎(chǔ)，讓學(xué)生在線段的基礎(chǔ)上分別變形出射線和直線，進(jìn)而適機(jī)總結(jié)出射線和直線的抽象定義。（把線段的一端無限延長，就得到一條射線；把線段的兩端無限延長，就得到一條直線）環(huán)節(jié)2：讓學(xué)生在直線上畫一條射線和線段，接著動態(tài)演示線段的端點和射線的端點在直線上移動，而線段和射線始終在直線上。通過這兩個環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能很好地體驗到三線的聯(lián)系。

（作者單位：江蘇省溧陽市文化小學(xué)）