徐一鳴

[摘 要] 實驗是數(shù)學學習、研究的重要方法，關于實驗的教學，近年來成為初中數(shù)學教學不可或缺的組成部分. 本文筆者針對實驗教學最后一個環(huán)節(jié)中理性提升、數(shù)學化提煉不足的問題，提出了“數(shù)學實驗教學需要漂亮‘最后一躍”的觀點，并結(jié)合“拼圖實驗”課例，作進一步思考，尋找解決問題的策略.

[關鍵詞] 數(shù)學實驗；教學；問題；思考

因為數(shù)學實驗具有激發(fā)學生學習興趣、喚起學生對數(shù)學學習的信心等功能，所以受到越來越多數(shù)學教師的重視. 近兩年，使用蘇科版教材的地區(qū)，數(shù)學教師與學生有了董林偉先生主編的《數(shù)學實驗手冊》的相伴，大家對數(shù)學實驗教與學的熱情更是激增. 期間，筆者也聽了多位教師開設的“數(shù)學實驗專題課”，感覺到大家在用這本教材時可謂“百花齊放，各具風騷”. 但是在聽課過程中，時常有一種“最后一躍”不夠酣暢淋漓的感覺，就好像跳水運動員，起跳與空中姿態(tài)都很好，但入水時水花偏大，留下了較多遺憾. 筆者選取了一節(jié)以《數(shù)學實驗手冊（七年級下冊）》第9個實驗——“拼圖”為課題的教學案例，從對具體案例的分析中，談一點自己的拙見.

課堂流程概述

這節(jié)課分三個環(huán)節(jié).

第一個環(huán)節(jié)，教師要求學生用三種紙片——A型紙片（邊長為a的正方形）、B型紙片（邊長為b的正方形）、C型紙片（長為a、寬為b的長方形）中的若干張拼長方形. 然后用不同的代數(shù)式分別表示所拼長方形的面積，再根據(jù)面積恒等的原理，得到一些等式，進而感受“形”與“數(shù)”的關系，以及拼圖與整式乘法、因式分解之間的聯(lián)系.

第二個環(huán)節(jié)，學生用拼圖方法完成對a2+4ab+3b2的因式分解，從中體會、歸納不同紙片的選擇數(shù)量與系數(shù)之間的關系. 再利用小結(jié)出來的拼圖方法完成對2a2+5ab+2b2的因式分解. 之后，學生之間互相出題，一個學生寫一個二次三項式，另一個學生用拼圖法進行因式分解. 這一步，讓學生在不斷熟悉方法的同時，自主發(fā)現(xiàn)能因式分解的二次三項式的系數(shù)有一定的局限性.

第三個環(huán)節(jié)，教師讓學生不動手拼圖，而是直接對a2+5ab+6b2進行因式分解.

問題解析及改進建議

1. 問題解析

從流程看，教師教學環(huán)節(jié)的編排很清晰，層次也很鮮明. 先是從任意拼長方形的過程中發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)拼圖寫出多項式因式分解后的形式，然后用拼圖的方法對一些二次三項式進行因式分解，最后不拼圖，直接對二次三項式進行因式分解. 環(huán)環(huán)相扣，似乎沒有問題. 但筆者在課堂接近尾聲時發(fā)現(xiàn)，最后一個環(huán)節(jié)能完成的學生很少，很多學生還是忍不住要去拼圖. 筆者就在想：教學環(huán)節(jié)中是否有需要改進的地方？學生能否做到不借助拼圖工具，僅靠一支筆、一張紙就快速地對某些二次三項式進行因式分解呢？

經(jīng)過對這節(jié)課的反復研究，筆者認為可以在第三個環(huán)節(jié)做文章. 因為課上呈現(xiàn)出的問題是學生不能應付第三環(huán)節(jié)，它相對于第二個環(huán)節(jié)來講，思維難度陡然提升. 從動手拼圖、能直觀地看到長方形的長和寬，直接跳躍到了在腦海里進行構(gòu)圖，甚至脫離圖形，從“感性”一下子上升到“理性”，學生還不能完全轉(zhuǎn)過彎來. 再者，第三個環(huán)節(jié)本應承擔著“承上啟下”的義務，讓學生通過本節(jié)課的學習為后續(xù)學習“十字相乘法”做鋪墊，但學生在課堂上沒有充分感悟到這一點. 所以，筆者在借鑒其他教師一些做法的基礎上，對本節(jié)課的第三個環(huán)節(jié)進行了改進，希望能讓這個實驗教學的“最后一躍”更漂亮一些.

2. 改進建議

第三個環(huán)節(jié)再分兩個教學步驟.

第一步：（1）當學生完成拼圖后，教師向?qū)W生展示其中的兩幅拼圖（若沒有學生拼出這樣的圖形，可由教師引導給出），圖1中長方形的面積為a2+4ab+3b2，根據(jù)圖形可寫出因式分解的結(jié)果為a2+4ab+3b2=（a+3b）（a+b）；圖2中長方形的面積為3a2+4ab+b2，因式分解的結(jié)果為3a2+4ab+b2=（3a+b）（a+b）. 請學生仔細觀察兩張拼圖，發(fā)現(xiàn)A，B，C三種紙片在位置分布上具有什么共同特征. （2）請學生仿照老師的拼圖方法拼出面積為2a2+5ab+2b2的長方形.

設計意圖：學生在拼圖時往往是達到目的就算成功，忽略了在拼圖過程中找到規(guī)律性的方法. 例如，拼一個面積為a2+4ab+3b2的長方形，學生可以拼出多個組合（僅舉兩例，如圖3和圖4），這些長方形的長和寬都是（a+3b）和（a+b），大部分學生以能否拼出更多的組合而沾沾自喜，部分教師在課堂上也僅僅滿足于學生成果的“多樣化”，但能否找到一種快速有效的拼圖方法卻是順利完成后續(xù)教學的關鍵.

筆者設計這一步就是想讓學生掌握這種快速拼圖的方法. 教師引導學生觀察圖1和圖2中A，B，C三種紙片的位置的共同特征：A，B兩種紙片大致分布在長方形的左上部分與右下部分，且各自構(gòu)成一個長方形（如陰影所示）； A型正方形不與B型正方形有重合邊，它只與同類型的正方形或C型長方形有重合邊； B型正方形不與A型正方形有重合邊，它只與同類型的正方形或C型長方形有重合邊. 掌握了這種拼圖技巧后，我們就可以迅速地根據(jù)各種類型紙片的張數(shù)拼出符合面積要求的長方形了. 例如拼面積為2a2+5ab+2b2的長方形，按照上述方法，可先拼好A，B型紙片，再拼C型紙片，可能會拼出圖5的圖形，但馬上會發(fā)現(xiàn)C型紙片的數(shù)量不對，多出一張，再調(diào)整一下一張A的位置，拼出圖6的長方形，完全符合要求，于是因式分解的式子很快就能寫出來了.

第二步：請學生不借助拼圖工具，僅憑一支筆、一張紙快速地對a2+5ab+6b2進行因式分解.

設計意圖：學生在掌握了快速拼圖法后，借助紙和筆就能很快地畫出長方形，即使第一次沒有畫對，但只要再經(jīng)過1～2次的嘗試也能成功，進而可以對多項式進行因式分解了. 這種畫圖法比拼圖法對思維的要求要高，但比直接在腦子里構(gòu)圖要求要低，是學生思維的中間地帶，學生比較容易理解、模仿，并且可以通過一定量的練習逐漸內(nèi)化為自己的知識. 不僅如此，這種方法其實和“十字相乘法”是相通的，如將正方形A，B分別拼在圖形的左上角、右下角，而且同種類型的正方形拼在一起要構(gòu)成一個長方形，不就相當于將平方項前的系數(shù)拆成兩個整數(shù)相乘的形式嗎？通過將空缺處補上長方形C，核對數(shù)量是否正好，不就相當于拆分后的因數(shù)交叉相乘再求和，檢驗是否與中間項的系數(shù)相等的步驟嗎？有了這樣的畫圖體驗，學生在學習“十字相乘法”時，就會更容易理解每一個步驟的目的，而不是死記硬背了.

思考

筆者在本文中所說的“最后一躍”其實是打了個比方，確切地說是指數(shù)學實驗教學過程的最后一個步驟應該對學生有一個提升，要引導他們將實驗所得的結(jié)果或者方法進行數(shù)學化，從借助有關工具的直觀思維回歸到抽象思維. 數(shù)學實驗畢竟與物理、化學等實驗不同，后者更注重實驗的操作，以及對實驗現(xiàn)象的觀察，而前者在關注實驗表象的同時，更注重將活動對象及過程進行提煉、概括，使其上升為相應的數(shù)學概念或數(shù)學思想方法. 所以，教師在教學過程中，既不能忽視數(shù)學實驗的價值，又不能過分夸大. 沒有實驗的數(shù)學教學會讓學生缺乏直觀感受，不僅枯燥乏味，而且對學生合情推理能力的提高、學習興趣的培養(yǎng)都會有消極影響. 但只有實驗的數(shù)學教學，又會阻礙學生演繹推理能力、抽象數(shù)學思維的發(fā)展，而且會形成看問題不會由表及里、不會抓本質(zhì)的弊端. 數(shù)學實驗這種新型的學習方式要與傳統(tǒng)學習方式互做有益補充，這樣才能達到相輔相成的效果.

那么，如何跳出漂亮的“最后一躍”呢？筆者認為可以從兩方面著手.

1. 把握好數(shù)學實驗目的

數(shù)學實驗是動手動腦“做”數(shù)學的一種數(shù)學學習活動，目的是通過“做”揭示現(xiàn)象背后的本質(zhì)，為達成課時目標提供有效的抓手. 如果這個根本目的沒有把握住，就會造成離本趨末的問題，或者是出現(xiàn)“撿了芝麻而丟了西瓜”的失誤. 比如“拼圖”這節(jié)課，如果僅讓學生學會用所給紙片拼長方形，那就完全沒有把握住實驗目的. 對于絕大多數(shù)的七年級學生來說，這是已有經(jīng)驗，不需要花一課時專門研究. 而如果通過拼圖僅實現(xiàn)了學生由“長方形面積”向“因式分解”的轉(zhuǎn)換，那這個目標還只能算是低層次目標，讓經(jīng)驗只停留在感性階段，沒有及時將感性思維理性化，缺乏思維的深刻性. 高層次的目標是讓學生形成以“形”為手段、以“數(shù)”為目的的認識，也就是要學生通過“拼圖”的方法進一步衍生出通過對數(shù)的拆分來進行因式分解的方法，即“十字相乘法”，這就是實驗的升華. 因為實現(xiàn)高層次的目標有一定的難度，對學生的要求也比較高，所以這個升華往往放在課的后半節(jié)，就似畫龍過后的點睛之筆. 當然，這里需要教師作適當?shù)囊龑? 教師在進行數(shù)學實驗教學前，一定要認真研究課標、分析課本和數(shù)學實驗手冊，設計實驗內(nèi)容、步驟，確保實驗吻合課標，貼合教材.

2. 抓住學生的“最近發(fā)展區(qū)”

“最后一躍”是從感性到理性的攀登，具有一定的難度，有的學生不一定能成功，這時候就需要教師搭好腳手架，幫助其登高. 依據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，學生的現(xiàn)有水平與可能發(fā)展水平之間的差異就是最近發(fā)展區(qū)，腳手架就搭建在最近發(fā)展區(qū). 為學生提供帶有難度的內(nèi)容，調(diào)動學生的積極性，讓他們能超越最近發(fā)展區(qū)而到達下一發(fā)展階段. 比如，在本文的實驗教學中，學生能通過拼圖對二次三項式進行因式分解，這是“現(xiàn)有水平”，因式分解中的“十字相乘法”是“可能發(fā)展水平”，兩者之間的“最近發(fā)展區(qū)”就是用快速畫圖法畫出符合要求的長方形，再對多項式因式分解. 通過教師在最近發(fā)展區(qū)的引導，學生就能從拼圖中受到啟發(fā)，觀察多項式系數(shù)的特征，拆分系數(shù)，完成多項式的因式分解. 教師是學生學習的組織者、引導者與合作者，在學生遇到困難時，教師要指點迷津，而且要指導得法，幫助學生脫離困境.

對于數(shù)學實驗，廣大教師都還在路上，我們應且行且思，不斷嘗試、反思、修正，關注數(shù)學實驗的價值，充分發(fā)揮其對學生發(fā)展的促進作用.