陳新 左建平

摘 要：張量的概念和張量分析在力學(xué)和物理學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。目前在高等院校理工科本科教學(xué)中，不可避免地涉及到《張量分析》課程或相關(guān)內(nèi)容的講授。在該課程教學(xué)中，除了訓(xùn)練學(xué)生扎實(shí)、系統(tǒng)地掌握張量的定義、本質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用外，還應(yīng)注重對(duì)學(xué)生綜合能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。結(jié)合筆者教學(xué)工作體會(huì)，為了提高教學(xué)效果提出了課程教學(xué)內(nèi)容改革的措施，包括優(yōu)化和拓展教學(xué)內(nèi)容、加強(qiáng)與先修和后修課程的聯(lián)系等。實(shí)踐證明，該方法的教學(xué)效果良好。

關(guān)鍵詞：張量分析 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)改革

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2016）03（c）-0116-02

Abstract：The concept of tensor and tensor analyses has wide application in mechanics and physics.At present，teaching tensor analyses as an independent course or a chapter in relevant courses is very popular for science and engineering undergraduate students in college or university.For the course of tensor analysis，the objective is to systematically training the students to master the definition，basic characters，calculation and application of tensor algebra，as well as to improve their comprehensive，practical and innovation abilities in scientific thinking.Based on many years teaching experience of the authors，some reformation measures on the course content are proposed to improve teaching effect， which includes optimization and extension of course content and strengthen the relation with the prerequisites and subsequent courses.The application of these measures in teaching has received good effect.

key Words：Tensor analysis；The course content；Teaching reformation

自愛(ài)因斯坦以張量分析作為數(shù)學(xué)工具提出的廣義相對(duì)論獲得巨大成功后，張量分析在力學(xué)和物理學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用。張量整體在坐標(biāo)變換下的不變性揭示了力學(xué)物理量的本質(zhì)屬性，而張量在曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的微分運(yùn)算則是研究非線(xiàn)性大變形問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具。近幾十年來(lái)，越來(lái)越多的力學(xué)文獻(xiàn)和教材都采用張量符號(hào)書(shū)寫(xiě)，張量概念和張量分析方法已經(jīng)成為力學(xué)工作者必需掌握的數(shù)學(xué)工具。

目前，在高等院校理工科類(lèi)本科生的教學(xué)中，或多或少地涉及到了張量分析的內(nèi)容。直線(xiàn)直角坐標(biāo)系下的張量分析，包括指標(biāo)符號(hào)系統(tǒng)、張量的定義、張量代數(shù)和笛卡爾張量的微分運(yùn)算等內(nèi)容，已經(jīng)滲透到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)各分支學(xué)科的教材和專(zhuān)著中，且掌握起來(lái)較為容易，通常作為非力學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生的彈性力學(xué)或流體力學(xué)等課程的某一章節(jié)進(jìn)行講授。而一般曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的張量分析則較為復(fù)雜和抽象，初學(xué)者不易理解和掌握，通常作為力學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生或理工科類(lèi)（電氣、土木、水利、地質(zhì)、力學(xué)等專(zhuān)業(yè)）研究生的課程進(jìn)行講授。

張量分析作為筆者學(xué)校工程力學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生的專(zhuān)業(yè)必修課，教學(xué)時(shí)數(shù)為32學(xué)時(shí)。所用教材為該校宋彥琦教授編著的講義《張量及其應(yīng)用簡(jiǎn)明教程》，內(nèi)容主要涉及到直線(xiàn)直角坐標(biāo)系下的張量分析和一般曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的張量分析初步。為了培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力、提高教學(xué)質(zhì)量，筆者及所在教研室教師結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，以培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)、系統(tǒng)地掌握張量的定義、本質(zhì)、運(yùn)算和應(yīng)用方面的綜合能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力為目標(biāo)，在課程的教學(xué)內(nèi)容上進(jìn)行了優(yōu)化和改革，形成了獨(dú)具特色的教學(xué)內(nèi)容新體系。

1 突出基本概念和核心內(nèi)容

課程教學(xué)內(nèi)容包括：第1章緒論、第2章張量代數(shù)、第3章張量微分和在第4章張量分析的應(yīng)用。其中，第2章和第3章為核心內(nèi)容，第1章和第4章為拓展內(nèi)容。課程最為基本的概念當(dāng)屬?gòu)埩康亩x。

張量作為整體在坐標(biāo)變換下不變，而其在具體坐標(biāo)系下的分量，當(dāng)發(fā)生坐標(biāo)變換時(shí)滿(mǎn)足一定的變換規(guī)律，稱(chēng)之為協(xié)變性。整體不變、分量協(xié)變是張量定義的核心，反映了張量是真正的幾何量從而與坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)的本質(zhì)屬性。

張量作為矢量概念向高階的推廣，在坐標(biāo)變換下的分量協(xié)變關(guān)系，是由其組成特點(diǎn)決定的。張量由基張量和其對(duì)應(yīng)的張量分量組成。張量的分量則是基張量標(biāo)尺下的具體讀數(shù)，二者協(xié)調(diào)變化以保持張量的整體不變性。例如，設(shè)有新舊兩個(gè)直線(xiàn)直角坐標(biāo)系和，對(duì)應(yīng)的基矢量分別為和。則任意的N階張量在兩個(gè)坐標(biāo)系下的分量形式分別為：

上述張量定義的解讀建立了張量分析與矢量分析的內(nèi)在聯(lián)系，以此將核心內(nèi)容如指標(biāo)符號(hào)系統(tǒng)、張量代數(shù)、直線(xiàn)直角坐標(biāo)系和一般曲線(xiàn)坐標(biāo)系下張量的微分運(yùn)算等以知識(shí)單元串聯(lián)起來(lái)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)和鞏固矢量運(yùn)算相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上理解和掌握張量運(yùn)算，就順理成章了。

2 加強(qiáng)與其他課程的聯(lián)系

筆者學(xué)校張量分析本科生課程在大學(xué)三年級(jí)上學(xué)期或二年級(jí)下學(xué)期開(kāi)設(shè)。為了提高學(xué)生的綜合能力和實(shí)踐能力，在課程內(nèi)容中加強(qiáng)與相關(guān)課程的聯(lián)系是十分必要的。

張量分析的先修課程為高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)和矢量分析，課程相關(guān)內(nèi)容包括：（1）線(xiàn)性代數(shù)的相關(guān)知識(shí)[1]，如行列式、矩陣運(yùn)算、線(xiàn)性變換等；（2）高等數(shù)學(xué)和矢量分析中標(biāo)量和矢量微分運(yùn)算，如梯度、散度、旋度、高斯公式和斯托克斯公式等。上述內(nèi)容在張量分析中的基礎(chǔ)作用不容忽視，需要對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固、復(fù)習(xí)和采用新視角進(jìn)行解讀，加強(qiáng)學(xué)生融會(huì)貫通應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力。

張量分析對(duì)于后續(xù)課程如流體力學(xué)和彈性力學(xué)等的作用體現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1）實(shí)用性：利用指標(biāo)記法能把繁瑣的方程寫(xiě)的簡(jiǎn)潔、緊湊、物理意義明確；（2）必要性：張量方程能滿(mǎn)足物理定律必須與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的特性，且曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的微分運(yùn)算方法是研究非線(xiàn)性大變形問(wèn)題必備的數(shù)學(xué)工具。

張量分析的先修無(wú)疑給后續(xù)課程的學(xué)習(xí)帶來(lái)了方便[2]，但也給教師的講解帶來(lái)一定的困難。要求教師重點(diǎn)說(shuō)明張量分析在后續(xù)課程中的應(yīng)用原理，提綱挈領(lǐng)地介紹彈性力學(xué)和流體力學(xué)中相關(guān)方程的基本概念和核心思想，不過(guò)多涉及其詳細(xì)內(nèi)容，把握好講授的深度與廣度。

為此，將第四章內(nèi)容進(jìn)行了大幅度調(diào)整。結(jié)合給研究生講授連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)固體力學(xué)和流體力學(xué)中的張量方程建立及轉(zhuǎn)換為曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的形式，以平衡方程為例只介紹基本方法和一般步驟，而將重點(diǎn)放在介紹基本方程在笛卡爾坐標(biāo)系下的分量形式和不變性形式。對(duì)這些張量方程的知識(shí)背景和推導(dǎo)過(guò)程，則通過(guò)給學(xué)生下發(fā)補(bǔ)充講義做詳細(xì)介紹。這樣一來(lái)，即使學(xué)生當(dāng)時(shí)不能完全理解，在后續(xù)課程學(xué)習(xí)中也可以進(jìn)行翻閱和自學(xué)，從而將張量分析和其他課程有機(jī)地進(jìn)行融合。否則，若過(guò)多地涉及各張量方程在曲線(xiàn)坐標(biāo)系下的具體形式，不僅繁瑣、枯燥、學(xué)時(shí)不夠，還使得學(xué)生一頭霧水。

3 拓展教學(xué)內(nèi)容激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、開(kāi)闊視野，增加了教學(xué)的拓展內(nèi)容。

通過(guò)查閱相關(guān)資料和文獻(xiàn)[3]，在第1章緒論中給學(xué)生系統(tǒng)地介紹張量分析的發(fā)展歷史。包括：（1）張量概念的起源：凱萊的抽象代數(shù)、非歐幾何、高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想、黎曼的高維彎曲空間思想和流形概念；（2）張量分析的建立：貝爾特拉米的曲線(xiàn)微分幾何和微分形式不變量、克里斯托弗符號(hào)、里奇和契維塔的絕對(duì)微分學(xué)；（3）張量分析的應(yīng)用——愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論：基于微分幾何學(xué)的時(shí)空度規(guī)張量與以張量方程表達(dá)的引力方程。

此外，積極拓展課堂外的教學(xué)活動(dòng)，包括開(kāi)展文獻(xiàn)閱讀課、研討課等。例如，結(jié)合教師與張量分析有關(guān)的科研課題“張量在油井井壁穩(wěn)定分析中的應(yīng)用”，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的張量分析知識(shí)參與課題的研究討論，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

4 教學(xué)內(nèi)容改革的實(shí)踐效果

經(jīng)過(guò)近幾年的教學(xué)內(nèi)容改革實(shí)踐，在教學(xué)中取得了顯著成效：（1）通過(guò)優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，突出基本概念和核心內(nèi)容，節(jié)約了課時(shí)，為引入拓展內(nèi)容提供了條件；（2）通過(guò)加強(qiáng)與先修和后修課程的聯(lián)系，提高了學(xué)生對(duì)知識(shí)的貫通和應(yīng)用能力；（3）通過(guò)拓展教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)拓了學(xué)生的視野、激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)了創(chuàng)新意識(shí)。

上述教學(xué)內(nèi)容的改革提高了教學(xué)質(zhì)量，學(xué)生在張量分析基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、應(yīng)用方面較為扎實(shí)，綜合能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力都有所提高，為該校創(chuàng)新性人才的培養(yǎng)貢獻(xiàn)了力量。

參考文獻(xiàn)

[1] 徐菲.線(xiàn)性代數(shù)在張量分析中的基礎(chǔ)作用[J].科技信息，2008（30）：167.

[2] 彭樂(lè)生.在力學(xué)教學(xué)中及早普及張量的建議[J].教材通訊，1985（2）：14-15.

[3] 黃勇.張量概念的形成與張量分析的建立[D].山西大學(xué)，2004.