劉雪芹，李登仟

(重慶理工大學(xué) 光電信息學(xué)院，重慶　400054)

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利用光電效應(yīng)原理估算孤立帶電金屬球上的電荷數(shù)量

劉雪芹，李登仟

(重慶理工大學(xué) 光電信息學(xué)院，重慶400054)

摘要：介紹了帶電金屬板所產(chǎn)生的光電效應(yīng)，探討了在一定溫度下，將帶電金屬板的光電效應(yīng)理論應(yīng)用于孤立的帶電金屬球上求解其所含電荷個(gè)數(shù)。因?yàn)榇嬖跐q落和誤差，該計(jì)算方法為近似處理。此外，還運(yùn)用計(jì)算結(jié)果結(jié)合光電效應(yīng)討論其對(duì)尖端放電的影響。

關(guān)鍵詞：孤立金屬球；電荷；電子；光電效應(yīng)；電容

赫茲于1887年在做電磁波實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)了光電效應(yīng)現(xiàn)象。1905年，愛(ài)因斯坦受普朗克啟發(fā)，提出“確實(shí)，在我看來(lái)，關(guān)于‘黑體輻射’、光致發(fā)光、紫外光產(chǎn)生陰極射線，以及其他一些有關(guān)光的發(fā)射和轉(zhuǎn)化的現(xiàn)象的觀察，如果用光的能量在空間中不是連續(xù)地分布的這種假說(shuō)來(lái)解釋，似乎就更容易理解”[1]的觀點(diǎn)，進(jìn)而假設(shè)光的量子性，成功解釋了光電效應(yīng)，并于1906年3月將光電效應(yīng)理論推廣至帶電金屬板的光電效應(yīng)理論。這篇帶電金屬板的光電效應(yīng)理論的論文《論光的產(chǎn)生和吸收》于當(dāng)年發(fā)表在德國(guó)的《物理學(xué)雜志》[2]。

1905年，愛(ài)因斯坦在對(duì)光電效應(yīng)進(jìn)行解釋時(shí)，做了“電子只吸收一個(gè)光子”的假設(shè)，僅停留在研究單光子吸收的問(wèn)題。1929年，德國(guó)科學(xué)家瑪利亞估計(jì)：當(dāng)光子密度不低于每秒每平方厘米1024時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生雙光子或多光子吸收現(xiàn)象[3]。之后，人們?cè)诠怆娦?yīng)方面的研究越來(lái)越多，光電效應(yīng)廣泛用于工業(yè)、軍事領(lǐng)域。高科技軍事產(chǎn)品之一的夜視器材就是光電效應(yīng)的典范[4]。本文主要探討一個(gè)帶電金屬球所含的電荷個(gè)數(shù)，并研究如何根據(jù)帶電金屬板的光電效應(yīng)理論來(lái)求解帶電金屬球的電勢(shì)。

1帶電金屬板的光電效應(yīng)

1906年3月，愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)了光電散射和伏打之間可預(yù)期的定量關(guān)系，而定量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)又伴隨著帶電金屬板的光電效應(yīng)理論[5](一種推廣的光電效應(yīng)理論)的提出。

帶電金屬板的光電效應(yīng)理論大致可描述為：讓金屬板帶正電荷，金屬板就會(huì)與空氣之間形成電勢(shì)差即電壓U。如果用光照射使其上面的電子逸出，至少要克服電勢(shì)U的功。這是對(duì)該理論的定性描述。關(guān)于帶電金屬板更詳細(xì)的介紹可參看相關(guān)文獻(xiàn)。如果將帶電金屬板產(chǎn)生的光電效應(yīng)轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，可表述為

(1)

或

這里，忽略了電子的熱運(yùn)動(dòng)(初動(dòng)能)和逸出功w兩項(xiàng)，在第2節(jié)中將對(duì)其原因做出理論解釋。式(1)表明：如果忽略電子的熱運(yùn)動(dòng)和其逸出功，只要光量子的能量超過(guò)Uq，光電子就可從金屬中逸出。

設(shè)想有2塊不同的帶電金屬板A1、A2，即使不用電壓表也可以測(cè)量出這2塊帶電金屬板之間的電壓。用ν1、ν2分別表示這2塊不同金屬板對(duì)應(yīng)的能引起光電效應(yīng)產(chǎn)生的最小頻率，那么有

(2)

根據(jù)式(2)不難看出：只要清楚能引起2塊金屬板產(chǎn)生光電效應(yīng)的最小頻率就可以計(jì)算出這2塊金屬板之間的電壓。有趣的是，可以利用這個(gè)原理去測(cè)量極其微小的電壓甚至超高電壓值(在不考慮金屬板被擊穿之前)，因而帶電金屬板的光電效應(yīng)理論的提出為新型電壓表的研發(fā)提供了一定的理論依據(jù)。

目前看來(lái)，帶電金屬板產(chǎn)生的光電效應(yīng)理論非常簡(jiǎn)潔，但其蘊(yùn)含的物理規(guī)律卻相對(duì)復(fù)雜。這里介紹帶電金屬板產(chǎn)生的光電效應(yīng)為接下來(lái)計(jì)算帶電金屬球所含正電荷個(gè)數(shù)提供了依據(jù)。

2為什么忽略電子的初動(dòng)能和逸出功

量子理論認(rèn)為，金屬中的自由電子可看作“電子氣體”模型，電子氣體的能量分布服從費(fèi)米—狄拉克統(tǒng)計(jì)。量子力學(xué)認(rèn)為，金屬的逸出功應(yīng)為

(3)

其中：χ為位能勢(shì)能；EF為費(fèi)米能量，見(jiàn)圖1。

圖1　電子逸出功示意圖

按量子理論，逸出功是指處在費(fèi)米能級(jí)上電子的能量與其在真空中距金屬表面無(wú)窮遠(yuǎn)處的能量之差，即逸出功是電子逸出金屬表面需要做的最小功[2]。根據(jù)愛(ài)因斯坦的光電效應(yīng)方程

(4)

其中：ν、υ分別為光子的頻率、光電子逸出速度，即逸出功是電子逸出金屬表面所需做的最小功，這就意味著式(4)可改為

(5)

表1　 幾種常見(jiàn)金屬的電子熱運(yùn)動(dòng)參量

在第1節(jié)中忽略了電子本身的逸出功，但愛(ài)因斯坦在文獻(xiàn)中并沒(méi)有給出解釋，本文將對(duì)此作出一定的解釋。

在一塊帶正電的金屬板上，凈正電荷產(chǎn)生的電勢(shì)U為

(6)

這是一個(gè)電荷所產(chǎn)生的電勢(shì)，帶電金屬板上的所有凈正電荷n所激發(fā)的電勢(shì)應(yīng)為

(7)

這樣，帶電金屬板上的所有凈正電荷n對(duì)1個(gè)電子在Ri處產(chǎn)生的束縛功為

(8)

由于凈正電荷只分布在金屬板表面，這里認(rèn)為所有的凈正電荷與空氣層的距離均為Ri>R≈Re，Re為電子軌道的經(jīng)典半徑。對(duì)Uq的值做一個(gè)大致的估計(jì)，取R>Re=10-10m(為簡(jiǎn)化計(jì)算，在數(shù)量級(jí)上做了近似處理)，則

(9)

根據(jù)式(9)，如果想把Uq的值和電子本身的逸出功w(一般為1 eV,有時(shí)甚至更高，不同金屬板逸出功數(shù)量級(jí)基本相同，這里取近似估算值w=1 eV)作比較，并使其遠(yuǎn)大于電子的本身逸出功w，則必須使得式(9)中的值2.3×10-18·n遠(yuǎn)大于w=1 eV=1.602×10-19J，即n?0.07,從而使得Uq?w。因此，愛(ài)因斯坦在對(duì)帶電金屬板的光電效應(yīng)方程做近似處理時(shí)，應(yīng)認(rèn)為帶電金屬板上的凈電子數(shù)量n?0.07，才可以把電子本身逸出功w忽略掉。事實(shí)上，帶電金屬板上的凈正電荷的個(gè)數(shù)n?0.07是可以滿足的，且具有普遍性。至于帶電金屬板上帶的是凈正電荷或凈負(fù)電荷則并不重要，由于電荷上的對(duì)稱性以及所研究問(wèn)題只和電性相關(guān)，從而上述表述對(duì)帶電金屬板帶凈負(fù)電荷也成立。

3帶電金屬球所含電荷的個(gè)數(shù)

設(shè)想有一個(gè)孤立(這樣就可以避免擊穿電壓的影響)的半徑為R的金屬球，從四面八方往上面打帶正的電荷。計(jì)算這個(gè)孤立的半徑為R的帶電金屬球(以下簡(jiǎn)稱帶電金屬球)所含的帶正電荷的個(gè)數(shù)。

一個(gè)半徑為R的孤立導(dǎo)體球的電容為[6]

(10)

如果假設(shè)帶電金屬球上面的帶正的電荷個(gè)數(shù)為n，那么存在

(11)

由式(10)和(11)得

(12)

可見(jiàn)，如果知道了帶電金屬球所含電荷個(gè)數(shù)n時(shí)的電壓值，就可以計(jì)算出此時(shí)n值的大小。由第1節(jié)介紹的帶電金屬板所產(chǎn)生的光電效應(yīng)可知：能引起帶電金屬板產(chǎn)生光電效應(yīng)的光子的最小頻率為

(13)

事實(shí)上，不管是帶電金屬板還是帶電金屬球，上式都應(yīng)成立。為了求出在帶電金屬球上面含有n個(gè)帶正電荷時(shí)的電壓，可以將一定頻率的光子打在此時(shí)所對(duì)應(yīng)的金屬球上面，則總能找到能引起帶電金屬球產(chǎn)生光電效應(yīng)的光子的最小頻率v0，即為此時(shí)帶電金屬球表面的電勢(shì)U。于是將式(13)代入式(12)可得

(14)

式(14)即為帶電金屬球所含帶正電荷的個(gè)數(shù)?？梢?jiàn)，如果測(cè)得該帶電金屬球的半徑R和此時(shí)能引起帶電金屬球產(chǎn)生光電效應(yīng)的光子的最小頻率v0，就能夠測(cè)得此時(shí)帶電金屬球上所帶電荷的數(shù)量。

以上研究的是1個(gè)帶電金屬球所含帶正的電荷的個(gè)數(shù)，而我們更想知道一個(gè)帶電金屬球所含電子個(gè)數(shù)的多少。由于電荷上的對(duì)稱性，以及所研究對(duì)象和電荷的質(zhì)量無(wú)關(guān)，因而式(14)不僅對(duì)帶正的電荷是適用的，對(duì)電子仍然適用。事實(shí)上，式(14)只在趨于絕對(duì)零度下才近似成立，因?yàn)槭?13)是在趨于絕對(duì)零度才嚴(yán)格成立，并沒(méi)有考慮電荷的初動(dòng)能在其中的作用。

在上面的討論中，僅討論了趨于絕對(duì)零度下一個(gè)帶電金屬球所含電子(電荷)個(gè)數(shù)的情況，而本文希望求得一定溫度(帶電金屬球能保持固態(tài)的溫度)下帶電金屬球所含電子個(gè)數(shù)的情況。

文獻(xiàn)[5]表明：帶電金屬板完整的光電效應(yīng)方程為

(15)

(16)

將式(16)代入式(14)，求得

(17)

文獻(xiàn)[5]還表明：光電子在逸出金屬板前后的動(dòng)能減去外界提供的正或負(fù)的能量是一常數(shù)，稱為光電子的凈能量守恒方程，其數(shù)學(xué)表述為

(18)

將式(16)和(17)整理可得

(19)

其中C常數(shù)代表常數(shù)，它只和電子所處的初始狀態(tài)有關(guān)。式(19)就是所求的結(jié)果，即一般溫度下一個(gè)帶電金屬球所含電子個(gè)數(shù)的計(jì)算公式。也就是說(shuō)，如果能測(cè)得在某一狀態(tài)下1個(gè)帶電金屬球的溫度T和帶電金屬球上電子的狀態(tài)常數(shù)C常數(shù)，那么就可以算得此時(shí)帶電金屬球所含電子的個(gè)數(shù)。

盡管找到了可以計(jì)算帶電金屬球上所含電荷個(gè)數(shù)的計(jì)算方法，但應(yīng)注意的是：以上計(jì)算方法仍存在一些缺陷，因?yàn)楹暧^的帶電金屬球上所帶的電荷必然很多，由于存在漲落，式(19)的計(jì)算方法只能是一種近似。

4光電效應(yīng)對(duì)尖端放電的影響

導(dǎo)體尖端的電荷分布特別密集，尖端附近的電場(chǎng)很強(qiáng)時(shí)就會(huì)發(fā)生尖端放電。作為一個(gè)很好近似處理，可以把一個(gè)導(dǎo)體的尖端的最尖銳部分看作很小的球，這樣就可以利用式(19)來(lái)討論光對(duì)尖端放電的影響。

尖端放電在實(shí)際生活中有著重要的應(yīng)用，尤其是在避雷針?lè)矫?。在尖端放電?shí)驗(yàn)中，如果帶電的尖端曲率越大，那么所產(chǎn)生的電場(chǎng)也越大，數(shù)學(xué)表述為

(20)

根據(jù)式(20)，要使得尖端放電的效應(yīng)越明顯，就要使尖端的電荷面密度σe越大，從而使得電場(chǎng)強(qiáng)度更強(qiáng)。大致說(shuō)來(lái)，在一個(gè)孤立導(dǎo)體上，電荷面密度的大小與表面的曲率有關(guān)，導(dǎo)體表面曲率大的地方，電荷面密度較大；導(dǎo)體表面曲率小的地方，電荷面密度較小。但應(yīng)注意，孤立導(dǎo)體表面的電荷密度σe與曲率之間并不存在單一的函數(shù)關(guān)系[6]。

4.1光照對(duì)帶正電荷的尖端的影響

假設(shè)有一尖端導(dǎo)體，帶正電荷。如果將此尖端放到周圍都是空氣的黑暗環(huán)境中，那么只要尖端上的電荷足夠密集，就能產(chǎn)生足夠大的電場(chǎng)，也就能發(fā)生尖端放電。而如果此時(shí)對(duì)尖端給予一定頻率的光照,若能使得電子恰好逸出，那么必然滿足方程

(21)

由于導(dǎo)體帶正電，電子從上面逸出更加困難，因而所給予的光照頻率要比平時(shí)使用不帶電金屬板打出電子的頻率高得多(在這里不做具體討論)。如果尖端帶正電荷，那么一旦給予一定頻率的光照，就會(huì)跑出更多的電子，也就使得尖端所帶的正電荷更多，以至于尖端的面密度σe變大。因而，給予能使電子逸出的頻率光照，將會(huì)使尖端放電的效應(yīng)加強(qiáng)。光照的頻率越高，尖端放電加強(qiáng)效應(yīng)越明顯。

4.2光照對(duì)帶負(fù)電荷的尖端的影響

同上，使得尖端帶負(fù)電荷，將其放置在同等環(huán)境下，若尖端可以發(fā)生尖端放電，給予一定頻率的光照，且電子能從尖端剛好逸出，那么必然滿足

(22)

對(duì)尖端帶正電荷，當(dāng)尖端帶負(fù)電荷時(shí)，給予同等頻率的光照(同4.1節(jié)中能使電子從帶正電荷的尖端剛好逸出的光照)，那么根據(jù)式(22)，由于存在庫(kù)侖力，凈余負(fù)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)會(huì)把電子向外推，電子的逸出將會(huì)更加容易。但是隨著光照的不斷進(jìn)行，尖端上的負(fù)電荷不斷減少，以至于尖端放電現(xiàn)象會(huì)停下來(lái)，隨著光照的進(jìn)行，尖端上的負(fù)電荷減少至零，然后又開始出現(xiàn)正電荷，直到出現(xiàn)新的尖端放電現(xiàn)象，從而回到4.1節(jié)的“光照對(duì)帶正電荷的尖端的影響”的討論上面。

因而，對(duì)于初始帶負(fù)電荷的尖端來(lái)說(shuō)，隨著一定頻率光的照射，尖端放電現(xiàn)象將會(huì)減弱至零，然后隨著尖端上正電荷的增多，尖端放電現(xiàn)象開始產(chǎn)生進(jìn)而逐漸加強(qiáng)。

5結(jié)束語(yǔ)

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(責(zé)任編輯楊黎麗)

Estimation of Number of Charges on Isolated Charged Metal Spheres Using Photoelectric Effect Thsory

LI Xue-qin， LI Deng-qian

(College of Optical and Electronic Information, Chongqing University of Technology,Chongqing 400054, China)

Abstract:The photoelectric effect of charged metal plate was introduced and the theory of the photoelectric effect was applied to calculate the charge number of the charged metal spheres. This method is approximation calculation because of fluctuation and error. In addition, the imfluence of the tip discharge was discussed by using the results and the photoelectric effect.

Key words:isolated metal ball; charge; electron; photoelectric effect; electronic capacitor

中圖分類號(hào)：O422.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 1674-8425(2016)03-0116-05

doi:10.3969/j.issn.1674-8425(z).2016.03.020

作者簡(jiǎn)介：劉雪芹(1971—)，男，重慶人，博士，教授，主要從事新能源材料與器件研究；通訊作者 李登仟(1994—)，男，重慶人，主要從事新能源材料研究。

基金項(xiàng)目：重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計(jì)劃項(xiàng)目(cstc2015jcyjA50033)

收稿日期：2015-10-10

引用格式：劉雪芹，李登仟.利用光電效應(yīng)原理估算孤立帶電金屬球上的電荷數(shù)量[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué))，2016(3):116-120.

Citation format：LI Xue-qin，LI Deng-qian.Estimation of Number of Charges on Isolated Charged Metal Spheres Using Photoelectric Effect Thsory[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2016(3):116-120.